RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / МатематикаВыпуск № 972 от 24.07.2009, 03:05Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал В рассылке: подписчиков - 228, экспертов - 135 В номере: вопросов - 4, ответов - 6
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: Вопрос № 170533: Пользуясь степенным биномиальным рядом,вычислить приближённое значение 151/4 с точностью до 10-5.... Вопрос № 170539: Пользуясь табличными (известными) разложениями элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена),вычислить (методом выделения главной части) предел: lim(x→0)(e5x-e3x)/(sin2x-sinx)... Вопрос № 170547: Пользуясь разложением подынтегральной функции в степенной ряд,вычислить приближённо определённый интеграл (от 0 до 1)∫cos(5x2)dx.... Вопрос № 170563: Найти решение дифференциального уравнения y''-xy'=x в виде степенного ряда,удовлетворяющее начальным условиям y=0,y'=1 при х=0.... Вопрос № 170533: Пользуясь степенным биномиальным рядом,вычислить приближённое значение 151/4 с точностью до 10-5.
Отправлен: 18.07.2009, 09:50 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. Имеем 15 = 16 – 1 = 24 – 1, 151/4 = (24 – 1)1/4 = 4√(24 – 1) = 4√[24 ∙ (1 – 1/24)] = 2 ∙ 4√(1 – 1/16) = 2 ∙ 4√(1 – 0,0625). Воспользуемся теперь разложением (1 + x)n в ряд, полагая x = -0,0625: 4√(1 – 0,0625) = (1 – 0,0625)0,25 = = 1 + 0,25 ∙ (-0,0625)/1 + 0,25 ∙ (-0,75) ∙ (-0,0625)2/2 + 0,25 ∙ (-0,75) ∙ (-1,75) ∙ (-0,0625)3/6 + … ≈ ≈ 1 – 0,015625 – 0,000366 – 0,000013 - … ≈ 0,983996. Остальные члены разложения отбрасываем ввиду их малости. 151/4 ≈ 2 ∙ 0,983996 ≈ 1,96799. Ответ: 1,96799. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170539:
Пользуясь табличными (известными) разложениями элементарных функций в степенные ряды (ряды Тейлора и Маклорена),вычислить (методом выделения главной части) предел:
Отправлен: 18.07.2009, 11:49 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. Элементарные функции, присутствующие в заданном выражении, разлагаются следующим образом: e5x = 1 + 5x + 25x2/2 + 125x3/6 + 0(x3), e3x = 1 + 3x + 9x2/2 + 27x3/6 + 0(x3), sin 2x = 2x – 8x3/6 + 0(x3), sin x = x – x3/6 + 0(x3). Поэтому при x → 0 (e5x – e3x)/(sin 2x – sin x) ~ [1 + 5x + 25x2/2 + 125x3/6 – (1 + 3x + 9x2/2 + 27x3/6)]/[2x – 8x3/6 – (x – x3/6)] = = (2x + 8x2 + 49x3/3)/(x – 7x3/6) = (2 + 8x + 49x2/3)/(1 – 7x2/6) → 2. Ответ: 2. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Alik4546. Воспользуемся разложением в ряд Маклорена функций: ex = 1 + ∑{n=1...∞}xn/n! = 1 + (x/1!) + (x2/2!) + (x3/3!) + ... , (при любом действительном x) sinx = ∑{n=1...∞}(-1)(n+1)*x2n-1/(2n-1)! = x - (x3/3!) + (x5/5!) - (x7/7!) + ... , (при любом действительном x) Для вычисления предела достаточно разложить функции до первой степени х. e5x ^^^ 1+(5x/1!) , e3x ^^^ 1+(3x/1!) , sin2x ^^^ 2x , sinx ^^^ x , под записью "^^^" я имел виду знак приблизительно равно (две волнистые линии) lim{x->0} (e5x-e3x) / (sin2x-sinx) = lim{x->0} [(1+(5x/1!)) - (1+(3x/1!))] / [(2x) - (x)] = lim{x->0} (5x-3x)/(2x-x) = lim{x->0} 2x/x = lim{x->0} 2 = 2 Итак lim{x->0} (e5x-e3x) / (sin2x-sinx) = 2 Данный пред ел можно вычмслить и без применения разложения в ряд: lim{x->0} (e5x-e3x) / (sin2x-sinx) = lim{x->0} [e3x*(e2x-1)] / [2*sinx*cosx-sinx] = lim{x->0} [e3x*(e2x-1)] / [sinx*(2*cosx-1] = = / e3x=1 и (2*cosx-1)=1 при х = 0/ = lim{x->0} [e2x-1] / sinx = lim{x->0} [(e2x-1)*2x] / [(sinx)*2x] = = lim{x->0} {[(e2x-1) / (2x)] * [x/(sinx)] * 2} = 1 * 1 * 2 = 2
Редактирование по просьбе ответившего
----- ∙ Отредактировал: Sel, Модератор ∙ Дата редактирования: 18.07.2009, 15:20 (время московское)
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170547: Пользуясь разложением подынтегральной функции в степенной ряд,вычислить приближённо определённый интеграл (от 0 до 1)∫cos(5x2)dx.
Отправлен: 18.07.2009, 15:23 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. 0∫1 cos 5x2 ∙ dx = 0∫1 (1 – 52x4/2! + 54x8/4! – 56x12/6! + 58x16/8! – 510x20/10! + + 512x24/12! – 514x28/14! + 516x32/16! – 518x36/18! + …) ∙ dx = = x – 52x5/(2!5) + 54x9/(4!9) – 56x13/(6!13) + 58x17/(8!17) – 510x21/(10!21) + + 512x25/(12!25) – 514x29/(14!29) + 516x33/(16!33) – 518x37/(18!37) + …)|01 ≈ ≈ 1 – 2,5 + 2,893519 – 1,669337 + 0,569889 – 0,128150 + 0,020387 – 0,002414 + 0,000210 – 0,000016 + … ≈ 0,18409. Отве т: 0,18409. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170563: Найти решение дифференциального уравнения y''-xy'=x в виде степенного ряда,удовлетворяющее начальным условиям y=0,y'=1 при х=0.
Отправлен: 18.07.2009, 20:53 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. 1. Представим искомую функцию, то есть частное решение диф. уравнения, в виде степенного ряда y(x) = A0 + A1*x + A2*x2 + A3*x3 + ... + An*xn + ... где An - неизвестные коэффициенты Тогда: y'(x) = A1 + 2*A2*x + 3*A3*x2 + ... + n*An*x(n-1) + ... y''(x) = 2*A2 + 2*3*A3*x + 3*4*A4*x2 + ... + (n-1)*n*An*x(n-2) + ... 2. Применим начальные условия диф. уравнения: y(0) = A0 = 0 , ⇒ A0 = 0 y'(0) = A1 = 1 , ⇒ A1 = 1 3. Подставим разложения в диф. уравнение: y'' - x*y' = x 2*A2 + 2*3*A3*x + 3*4*A4*x2 + 4*5*A5*x - A1*x - 2*A2*x2 - 3*A3*x3 - ... - n*An*xn - ... = x Левая и правая части представляют собой многочлен, для того, что бы они были тождественно равны, должны совпадать коэффициенты при различных степенях х. Сравнивая левую и правую части получим систему уравнений: { 2*A2 = 0 { 2*3*A3 - A1 = 1 { (n-1)*n*An = (n-2)*A(n-2), для n ≥ 4 Так как A1 = 1, то из второго уравнения получим A3 = 1/3. Также учитывая, что A2 = 0, то A4 = 0, согласно третьему уравнению, тогда и все коэффициенты An с четными номерами равны нулю. 4. Итак, для коэффициентов имеем: A2k = 0, где k = 0, 1, 2, 3, ..... A1 = 1 A3 = 1/3 An = [( n-2)/(n*(n-1))] * An-2, для n = 5, 7, 9, 11, ... Для нахождения неизвестных еще коэф., рассмотрим коэф., к примеру, A9 A9 = [7/(8*9)] * A7 = [7/(8*9)] * [5/(6*7)] * A5 = [7/(8*9)] * [5/(6*7)] * [3/(4*5)] * A3 = [7/(8*9)] * [5/(6*7)] * [3/(4*5)] * (1/3) = = [5*7] / [4*5*6*7*8*9] = 1 / [4*6*8*9] = 1 / [(2*2)*(2*3)*(2*4)*9] = 1 / [23 * 2*3*4 *9] = 1 / [23 * (4!) *9] Тогда в общем случае: An = 1 / [2((n-3)/2) * (((n-1)/2)!) * n] , для n ≥ 5, 7, 9, 11, ... Нечетные коэф. перевыражаем по формуле n = (2m+3), m = 1, 2, 3, 5, ... Тогда: Am = 1 / [2m * (m+1)! * (2m+3)] , для m = 1, 2, 3, 5, ... Итак, решение имеет вид: y(x) = x + (x3/3) + ∑{m=1...∞} x2m+3 / [2m*(m+1)!*(2m+3)] 5. Проверим область сходимости ряда ∑{m=1...&# 8734;} x2m+3 / [2m*(m+1)!*(2m+3)] am = x2m+3 / [2m*(m+1)!*(2m+3)] am+1 = x2(m+1)+3 / [2(m+1)*(m+1+1)!*(2(m+1)+3)] = [x2*x2m+3] / [2*2m*(m+1)!*(m+1)*(2m+5)] Применим признак Д'Аламбера I = lim{m->∞} |am+1/am| = lim{m->∞} |[x2*(2m+3)] / [2*(m+1)*(2m+5)]| = |x2/2| * lim{m->∞} (2m+3) / [(m+1)*(2m+5)] = = |x2/2| * lim{m->∞} [(2m+3):m2] / [(m+1)*(2m+5):m2] = |x2/2| * lim{m->∞} [(2/m)+(3/m2)] / [(1+(1/m))*(2+(5/m))] = = |x2/2| * 0 = 0 < 1 То есть ряд сходится при любом х
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Alik4546. Пусть y = C0 + C1x + C2x2 + C3x3 + C4x4 + C5x5 + … + Cnxn + Cn + 1xn + 1 + Cn + 2xn + 2 + … = Σ n = 0∞ Cnxn = C0 + C1x + Σ n = 2∞ Cnxn. (1) Тогда y’ = C1 + 2C2x + 3C3x2 + 4C4x3 + … + (n + 1)Cn + 1xn + (n + 2)Cn + 2xn + 1 + … = Σ n = 1∞ nCnxn – 1 = C1 + Σ n = 2∞ nCnxn – 1, (2) y” = 2C2 + 6C3x + 12C4x2 + 20C5x3 + … + (n + 2)(n + 1)Cn + 2xn + … = Σ n = 2∞ n(n – 1)Cnxn - 2, (3) и заданное уравнение принимает следующий вид: Σ n = 2∞ n(n – 1)Cnxn – 2 – x ∙ (C1 + Σ n = 2∞ nCnxn – 1) = x, Σ n = 2∞ n(n – 1)Cnxn – 2 – (C1x + Σ n = 2∞ nCnxn) = x, (2C2 + 6C3x + 12C4x2 + 20C5x3 + … + (n + 2)(n + 1)Cn + 2xn + …) – x(C1 + 2C2x + 3C3x2 + 4C4x3 + … + (n + 1)Cn + 1xn + …) = x, 2C2 + (6C3 – C1)x + (12C4 – 2C2)x2 + (20C5 – 3C3)x 3 + … + ((n + 2)(n + 1)Cn + 2 – nCn)xn + … = x. (4) Из уравнения (1) в соответствии с начальными условиями находим 0 = С0. Из уравнения (2) в соответствии с начальными условиями находим 1 = С1. Из уравнения (4) находим Cn + 2 = nCn/[(n + 2)(n + 1)], следовательно, С2 = С0 = 0, С3 = С1/6 = 1/(3 ∙ 2) = 1/6, C4 = 2C2/12 = 0, C5 = 3C3/20 = 1/3! ∙ 3/(4 ∙ 5) = 1 ∙ 3/5! = 1/(2 ∙ 4 ∙ 5) = 1/40, C6 = 4C4/30 = 0, C7 = 5C5/42 = 1 ∙ 3/5! ∙ 5/(6 ∙ 7) = 1 ∙ 3 ∙ 5/7! = 1/(2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 7) = 1/336, C8 = 6C6/56 = 0, С9 = 7С7/72 = 3 ∙ 5/7! ∙ 7/(8 ∙ 9) = 1 ∙ 3 ∙ 5 ∙ 7/9! = 1/(2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ 8 ∙ 9) = 1/3456, … Можно, конечно, вывести формулу для определения коэффициента при xk. Но в этом нет необходимости, поскольку найдены рекуррентные соотношения. В случае численного интегрирования дифференциального уравнения все равно берется конечное число членов ряда. Следовательно, искомый ряд суть y = x + x3/6 + x5/40 + x7/336 + x9/3456 + … . Ответ: y = x + x3/6 + x5/40 + x7/336 + x9/3456 + … . С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: оценить выпуск >>
подать вопрос экспертам этой рассылки >>Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009 |
| В избранное | ||
