RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / МатематикаВыпуск № 964 от 15.07.2009, 23:05Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал В рассылке: подписчиков - 229, экспертов - 134 В номере: вопросов - 1, ответов - 3
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: Вопрос № 170323: Разложить в степенной ряд по степеням х функцию f(x)=15/(1+2x-8x2)... Вопрос № 170323:
Разложить в степенной ряд по степеням х функцию
Отправлен: 10.07.2009, 13:02 Отвечает Jimhucksly, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546! Возможно здесь нужно применить формулу Маклорена, которая является частным случаем формулы Тейлора при (a=0): f(x)=f(a)+xf^'(a)+(x^2/2!)*f^''(a)+⋯+(x^n/n!)*f^((n))(a). Здесь f^' - первая производная функции, f^((n)) - n-ая производная.
Ответ отправил: Jimhucksly, 5-й класс
Здравствуйте, Alik4546. f(x) = f(0) + ∑{k=1..+∞}(ak*xk/k!), где ak = f(k)(0) f(0) = 15/(1+2*0-8*0*0) = 15 Найдем корни выражения -8x2+2x+1 D = (-b/2)2-ac = 1+8 = 9. √9 = 3 x1 = -1/4; x2 = 1/2 Тогда -8x2+2x+1 = -8(x+1/4)(x-1/2) = -(4x+1)(2x-1) f(x) = 15 / (1+2x-8x2) = 15 / (-(4x+1)(2x-1)) = -15 / (4x+1)(2x-1) Представим данную дробь в виде двух слагаемых: f(x) = A/(4x+1) + B/(2x-1) Тогда: A/(4x+1) + B/(2x-1) = A(2x-1) + B(4x+1) = 2Ax - A + 4Bx + B = (2A + 4B)x - A + B Приравняем данное выражение -15: (2A + 4B)x - A + B = -15 Отсюда получаем систему: { 2A+4B=0; -A+B=-15 A = -2B ⇒ 3B = -15 ⇒ B = -5 ⇒ A = 10 Т.о., f(x) = 10/(4x+1) - 5/(2x-1) = 10(4x+1)-1 - 5(2x-1)-1 Распишем несколько производных: f'(x) = 10*(-1)*(4x+1)-2 *4 - 5*(-1)*(2x-1)-2*2 = (-1)*10*1!*4*(4x+1)-2 - (-1)*5*1!*2*(2x+1)-2 f''(x) = (-1)*10*1*4*(-2)*(4x+1)-3*4 - (-1)*5*1*2*(-2)*(2x+1)-2*2 = (-1)2*10*2!*42*(4x+1)-3 - (-1)2*5*2!*22*(2x+1)-3 ... f(k) = (-1)k*10*k!*4k*(4x+1)-(k+1) - (-1)k*5*k!*2k*(2x+1)-(k+1) Заметим, что при x=0 (4x+1)-(k+1) = 1, а (2x-1)-(k+1) = (-1)k+1" Тогда выражение (-1)k*5*k!*2k*(2x-1)-(k+1) при x=0 будет равно (-1)k*5*k!*2k*(-1)k+1 = -5*k!*2k и, соответственно, выражение для k-ой производной выглядит так: f(k)(0) = (-1)k*10*k!*4k - 5*k!*2k = 5*k!*2k*((-1)k*2*2k-1) = 5*k!*2k< /sup>*((-1)k*2k+1-1) И окончательный ряд записывается так: f(x) = ∑{k=0..+∞}(ak*xk/k!) = ∑{k=0..+∞}(5*2k*((-1)k*2k+1-1)*xk)
по просьбе автора
----- ∙ Отредактировал: Victor Pyrlik, Модератор ∙ Дата редактирования: 10.07.2009, 16:25 (время московское)
Ответ отправил: _Ayl_, 10-й класс
Здравствуйте, Alik4546. 1. Разложим дробь 15/(1+2x-8*(x^2)) на элементарные Так как 1+2x-8*(x^2) = - 8*(x+(1/4))*(x-(1/2)) = - (4x+1)*(2x-1), числа (-1/4) и (1/2) легко находятся из уравнения 1+2x-8*(x^2) = 0, то представим исходную дробь в виде суммы двух дробей 15/(1+2x-8*(x^2)) = A/(4x+1) + B/(2x-1) Тогда: 15 = A*(2x-1) + B*(4x+1) = (2A + 4B)*x + (- A + B) Получаем систему уравнений: { 2A + 4B = 0 { - A + B = - 15 Решая ее, получим: A = 10 и B = - 5. Значит 15/(1+2x-8*(x^2)) = 10/(4x+1) - 5/(2x-1) 2. Так как корни знаменателя исходной дроби равны (-1/4) и (1/2), то получим три интервала: а) x < -1/2 и x > 1/2 б) -1/2 < x < -1/4 и 1/4 < x < 1/2 в) -1/4 < x < 1/4 3. При x < -1/2 и x > 1/2 Так как 1/(1-x) = ∑ {от n=0 до ∞} (x^n) при -1<x<1, то 10/(4x+1) = 10/(1-(-4x)) = 10* ∑ {от n=0 до ∞} (-4x)^n = 10* ∑ {от n=0 до ∞} ((-1)^n)*(4^n)*(x^n) Этот ряд сходится при -1<-4x<1, или при x<-1/4 и x>1/4, в нужный интервал попадает 5/(2x-1) = 5/[2x*(1-(1/(2x)))] = 2.5/[x*(1-(1/(2x)))] = (2.5/x)*∑ {от n=0 до ∞} (1/(2x))^n = (2.5/x)*∑ {от n=0 до ∞} (x^(-n))/(2^n) = = 5*∑ {от n=0 до ∞} (x^(-n-1))/(2^(n+1)) Этот ряд сходится при -1<(1/(2x))<1, или при x < -1/2 и x > 1/2, в нужный интервал попадает Значит при x < -1/2 и x > 1/2 f(x) = 10* ∑ {от n=0 до ∞} ((-1)^n)*(4^n)*(x^n) - 5*∑ {от n=0 до ∞} (x^(-n-1))/(2^(n+1)) 4. При -1/2 < x < -1/4 и 1/4 < x < 1/2 Так как 1/(1-x) = ∑ {от n=0 до ∞} (x^n) при -1<x<1, то 10/(4x+1) = 10/(1-(-4x)) = 10* ∑ {от n=0 до ∞} (-4x)^n = 10* ∑ {от n=0 до ∞} ((-1)^n)*(4^n)*(x^n) Этот ряд сходится при -1<-4x<1, или при x<-1/4 и x>1/4, в нужный интервал попадает 5/(2x-1) = -5/(1-2x) = -5*∑ {от n=0 до ∞} (2x)^n = -5*∑ {от n=0 до ∞} (2^n)*(x^n) Этот ряд сходится при -1<2x<1, или при -1/2<x<1/2, в нужный интервал попадает Значит при -1/2 < x < -1/4 и 1/4 < x < 1/2 f(x) = 10* ∑ {от n=0 до ∞} ((-1)^n)*(4^n)*(x^n) + 5*∑ {от n=0 до ∞} (2^n)*(x^n) = = 5*∑ {от n=0 до ∞} [2*((-1)^n)*(4^n)+(2^n)]*(x^n) 5. При -1/4 < x < 1/4 Так как 1/(1-x) = ∑ {от n=0 до ∞} (x^n) при -1<x<1, то 10/(4x+1) = 10/[4x*(1+(1/(4x)))] = 10/[4x*(1-(-1/(4x)))] = (10/(4x))*∑ {от n=0 до ∞}1/[(-4x)^n] = (10/(4x))*∑ {от n=0 до ∞}((-1)^n)*(x^(-n))/(4^n) = = 10*∑ {от n=0 до ∞}((-1)^n)*(x^(-n-1))/(4^(n+1)) Этот ряд сходится при -1<(-1/(4x))<1, или при -1/4 < x < 1/4, в нужный интервал попадает 5/(2x-1) = -5/(1-2x) = -5*∑ {от n=0 до ∞} (2x)^n = -5* ∑ {от n=0 до ∞} (2^n)*(x^n) Этот ряд сходится при -1<2x<1, или при -1/2<x<1/2, в нужный интервал попадает Значит при -1/4 < x < 1/4 f(x) = 10*∑ {от n=0 до ∞}((-1)^n)*(x^(-n-1))/(4^(n+1)) + 5*∑ {от n=0 до ∞} (2^n)*(x^n)
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: оценить выпуск >>
подать вопрос экспертам этой рассылки >>Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009 |
| В избранное | ||
