Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 1258
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 1050
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 905
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 976 от 28.07.2009, 05:05
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 227, экспертов - 135
В номере: вопросов - 1, ответов - 1

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170677: Найти все лорановские разложения функции (5z-100)/(z4+5z3-50z2) по степеням z....

Вопрос № 170677:

Найти все лорановские разложения функции (5z-100)/(z4+5z3-50z2) по степеням z.

Отправлен: 22.07.2009, 08:02
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Alik4546.

Преобразуем выражение для заданной функции:
f(z) = 5(z – 20)/[z2(z2 + 5z – 50)] = 5(z – 20)/[z2(z - 5)(z + 10)]. (1)

Разложим дробь (1) в сумму простейших дробей. Разложение будем искать в виде
(z – 20)/[z2(z - 5)(z + 10)] = A/z + B/z2 + C/(z – 5) + D/(z + 10).
Имеем
(z – 20)/[z2(z - 5)(z + 10)] =
= [Az(z – 5)(z + 10) + B(z – 5)(z + 10) + Cz2(z + 10) + Dz2(z – 5)]/[z2(z - 5)(z + 10)].
Отсюда следует, что
z – 20 = Az(z – 5)(z + 10) + B(z – 5)(z + 10) + Cz2(z + 10) + Dz2(z – 5), (2)
причем равенство выполнено и при значениях z = 0, z = 5, z = -10.
При z = 0 получаем
-20 = -50B, то есть B = -20/(-50) = 2/5,
при z = 5 получаем
-15 = 375C, то есть C = -15/375 = -1/25,
при z = -10 получаем
-30 = -1500D, то есть D = -30/(-1500) = 1/50.
Приравнивая в обеих частях выражения (2) коэффициенты при z3, получаем
0 = A + C + D,
A = -C – D = 1/25 – 1/50 = 1/50.
Следовательно, заданная функция разлагается на простейшие дроби следующим образом:
f(z) = (z – 20)/[z2(z - 5)(z + 10)] = 5 ∙ [1/50 ∙ 1/z + 2/5 ∙ 1/z2 – 1/25 ∙ 1/(z – 5) + 1/50 ∙ 1/(z + 10)] =
= 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z2 – 1/5 ∙ 1/(z – 5) + 1/10 ∙ 1/(z + 10).

Заданная функция имеет особые точки z = -10, z = 0, z = 5. Она является аналитической в следующих областях:
1) 0 < |z| < 5;
2) 5 < |z| < 10;
3) |z| > 10.

Так как дроби 1/10 ∙ 1/z и 2 ∙ 1/z2 уже представлены в виде суммы двух членов вида cnzn, то остается найти разложения дробей -1/5 ∙ 1/(z – 5) и 1/10 ∙ 1/(z + 10). Для этого воспользуемся известным разложением дроби 1/(1 – z) = Σ n = 0∞ zn в бесконечно убывающую г еометрическую прогрессию со знаменателем q = z в той области, где z «мало», то есть в открытом круге q = |z| < 1, и получим
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = 1/5 ∙ 1/(5 – z) = 1/25 ∙ 1/(1 – z/5) = 1/25 ∙ [1 + z/5 + (z/5)2 + … + (z/5)n + …] =
= 1/25 + z/53 + z2/54 + z3/55 + … + zn/5n + 2 + … (этот ряд – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия - сходится при |q| = |z/5| < 1, то есть в открытом круге |z/5| < 1, или |z| < 5);
1/10 ∙ 1/(z + 10) = 1/100 ∙ 1/[1 – (-z/10)] = 1/100 ∙ [1 – z/10 + (-z/10)2 - … + (-z/10)n + …] =
= 1/100 – z/(10)3 + z2/(10)4 + … + (-z)n/(10)n + 2 + … (этот ряд – бесконечно убывающая геометрическая прогрессия – сходится при |q| = |-z/10| < 1, или |z| < 10).

Аналогично находим:
при |z| > 5
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = -1/5 ∙ 1/z ∙ 1 /(1 – 5/z) = -1/5 ∙ 1/z ∙ [1 + 5/z + (5/z)2 + … + (5/z)n + …] =
= -[1/(5z) + 1/z2 + 5/z3 + … + 5n – 1/zn + 1 + …] = -Σ n = 0∞ 5n – 1/zn + 1,
при |z| > 10
1/10 ∙ 1/(z + 10) = 1/10 ∙ 1/z ∙ 1/[1 – (-10/z)] = 1/10 ∙ 1/z ∙ [1 – 10/z + (-10/z)2 + … + (-10/z)n + …] =
= 1/(10z) – 1/z2 + 10/z3 + … + (-1)n(10)n – 1/zn + 1 + …] = Σ n = 0∞ (-1)n(10)n – 1/zn + 1.

Следовательно,
1) при 0 < |z| < 5
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = Σ n = 0∞ zn/5n + 2,
1/10 ∙ 1/(z + 10) = Σ n = 0∞ (-1)nzn/(10)n + 2,
f(z) = 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z2 + ] 1; n = 0∞ [zn/5n + 2 + (-z)n/(10)n + 2] =
= 1/(10z) + 2/z2 + Σ n = 0∞ zn/(10)n + 2 ∙ [2n + 2 + (-1)n];
2) при 5 < |z| < 10
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = -Σ n = 0∞ 5n – 1/zn + 1,
1/10 ∙ 1/(z + 10) = Σ n = 0∞ (-1)nzn/(10)n + 2,
f(z) = 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z2 – 1/5 ∙ 1/z – 1/z2 + (-Σ n =2∞ 5n – 1/zn + 1) + Σ n = 0∞ (-1)nzn/(10)n + 2 =
= -1/(10z) + 1/z2 - Σ n =2∞ 5n – 1/zn + 1 + Σ n = 0∞ (-1)nzn/(10)n + 2;
3) при |z| > 10
-1/5 ∙ 1/(z – 5) = -Σ n = 0∞ 5n – 1/zn + 1,
1/10 ∙ 1/(z + 10) = Σ n = 0∞ (-1)n(10)n – 1/zn + 1,
f(z) = 1/10 ∙ 1/z + 2 ∙ 1/z2 – 1/5 ∙ 1/z – 1/z2 - Σ n =2∞ 5n – 1/zn + 1 + 1/10 ∙ 1/z – 1/z2 + Σ n = 2∞ (-1)n(10)n – 1/zn + 1 =
= Σ n = 2∞ [(-1)n(10)n – 1/zn + 1 - 5n – 1/zn + 1] = Σ n = 2∞ 5n - 1[(-1)n2n - 1 – 1]/zn + 1.

Выделенное жирным шрифтом и составляет ответ на вопрос задачи.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 23.07.2009, 14:38

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252520 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.6 от 21.07.2009
    В избранное