Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RusFAQ.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 670
∙ повысить рейтинг >> 		_Ayl_
Статус: 8-й класс
Рейтинг: 592
∙ повысить рейтинг >> 		And0809
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 539
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 952 от 01.07.2009, 15:35
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 228, экспертов - 130
В номере: вопросов - 3, ответов - 5

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 169867: Здравствуйте уважемые эксперты, помогите пожалуйста найти общее решение дифференциального уравнения: а) xy`=3y^3 + 6yx^2 / 2y^2 + 3x^2 б) y``- 4y`= e^2x + sin6x - x + 1 Найти решение задач Коши а) yx``y` = 1/x ; y(1) = 1 , y`(1) = 2 ...

Вопрос № 169869: Помогите с двумя примерчиками. ...
Вопрос № 169874: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста с уравнением. Уравнение необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде: z=f(x,y)) Есть готовый пример: (x^2\9)+(y^2\4)+z^2=1 решение: z=√1-(x^2\9)-...
Вопрос № 169867:

Здравствуйте уважемые эксперты, помогите пожалуйста найти общее решение дифференциального уравнения:
а) xy`=3y^3 + 6yx^2 / 2y^2 + 3x^2
б) y``- 4y`= e^2x + sin6x - x + 1

Найти решение задач Коши
а) yx``y` = 1/x ; y(1) = 1 , y`(1) = 2
б) 8(4y^3 + xy -y) y` = 1 ; y(0) = 0
Заранее огромнейшее спасибо!!!

Отправлен: 25.06.2009, 15:44
Вопрос задал: Норберт, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Норберт.

Отвечаю на Ваши первые два задания.

1.1. С учетом Вашего сообщения в мини-форуме вопроса правильная запись заданного уравнения имеет следующий вид:
xy’ = (3y3 + 6yx2)/(2y2 + 3x2). (1)

Преобразуем выражение (1) следующим образом:
xdy/dx = (3y3 + 6yx2)/(2y2 + 3x2),
(3y3 + 6yx2)dx – x(2y2 + 3x2)dy = 0. (2)

Обозначим в уравнении (2) P(x, y) = 3y3 + 6yx2, Q(x, y) = -x(2y2 + 3x2).
Поскольку
P(λx, λy) = 3(λy)3 + 6λy(λx)2 = λ3(3y3 + 6yx2) = λ3P(x, y),
Q(λx, λy) = -λx(2(λy)2 + 3(λx)2) = -λ3x(2y2 + 3x2) = λ3Q(x, y),
то P(x, y) и Q(x, y) – о днородные функции третьего измерения, а уравнение (2) – однородное.

С помощью подстановки y = tx приводим уравнение (2) к уравнению с разделяющимися переменными по отношению к новой неизвестной функции t:
dy = xdt + tdx,
(3t3x3 + 6tx3)dx – (2t2x3 + 3x3)(xdt + tdx) = 0,
3t3x3dx + 6tx3dx – 2t2x4dt – 3x4dt – 2t3x3dx – 3tx3dx = 0,
t3x3dx + 3tx3dx – 2t2x4dt – 3x4dt = 0,
2t2x4dt + 3x4dt = t3x3dx + 3tx3dx,
x4(2t2 + 3)dt = x3(t3 + 3t)dx,
(2t2 + 3)dt/(t3 + 3t) = x3dx/x4,
(2t2 + 3)dt/(t(t2 + 3)) = dx/x. (3)

Решаем полученное уравнение (3) с разделе нными переменными:
∫(2t2 + 3)dt/(t(t2 + 3)) = ∫dx/x,
(2t2 + 3)/(t(t2 + 3)) = (t2 + 3)/(t(t2 + 3)) + t2/(t(t2 + 3)) = 1/t + t/(t2 + 3),
∫(2t2 + 3)dt/(t(t2 + 3)) = ∫dt/t + ∫tdt/(t2 + 3),
∫dt/t + ∫tdt/(t2 + 3) = ∫dx/x,
ln |t| + 1/2 ∙ ln (t2 + 3) = ln |x| + ln |C|,
t√(t2 + 3) = Cx. (4)

Переходим от переменной t к переменной y в выражении (4):
(y/x)√((y/x)2 + 3) = Cx,
y√((y/x)2 + 3) = Cx2 – искомый общий интеграл.

1.2. Решаем соответствующее однородное уравнение:
y” – 4y’ = 0;
корнями характеристического уравнения k2 – 4k = 0 являются k1 = 0 и k2 = 4 – различные действительные числа. Поэтому общее решение однородного уравнения имеет вид
y* = C1 + C2e4x.

Находим частное решение заданного неоднородного уравнения. Для этого воспользуемся методом вариации произвольных постоянных. Заданное уравнение представим в следующем виде:
y” – 4y’ = f1(x) + f2(x) + f3(x),
где f1(x) = e2x, f2(x) = sin 6x, f3(x) = -x + 1,
и найдем частные решения уравнений
y” – 4y’ = e2x, (1)
y” – 4y’ = sin 6x, (2)
y” – 4y’ = -x + 1. (3)

Находим частное решение уравнения (1). Ищем его в виде
y1** = Ae2x.
Тогда
y1**’ = 2Ae2x,
y1**” = 4Ae2x,
и после подстановки в уравнение (1) получаем
4Ae2x – 8Ae2x = e2x,
-4Ae2x = e2x,
-4A = 1,
A = -1/4.
Следовательно,
y1** = -1/4 ∙ e2x – частное решение уравнения (1).

Находим ч астное решение уравнения (2). Ищем его в виде
y2** = B ∙ cos 6x + D ∙ sin 6x.
Тогда
y2**’ = -6B ∙ sin 6x + 6D ∙ cos 6x,
y2**” = -36B ∙ cos 6x – 36D ∙ sin 6x,
и после подстановки в уравнение (2) получаем
-36B ∙ cos 6x – 36D ∙ sin 6x – 4(-6B ∙ sin 6x + 6D ∙ cos 6x) = sin 6x,
-36B ∙ cos 6x – 36D ∙ sin 6x + 24B ∙ sin 6x – 24D ∙ cos 6x = sin 6x,
(-36B – 24D)cos 6x + (24B – 36D)sin 6x = sin 6x,
-36B – 24D = 0,
24B – 36D = 1,
-6B – 4D = 0,
6B – 9D = 1/4,
-13D = 1/4, D = -1/52,
-6B + 1/13 = 0, 6B = 1/13, B = 1/78.
Следовательно,
y2** = 1/78 ∙ cos 6x – 1/52 ∙ sin 6x – частное решение уравнения (2).

Находим частное решение уравнения (3). Ищем его в виде
y3** = x(Ex + F) = Ex2 + Fx.
Тогда
y3**’ = 2Ex + F,
y3**” = 2E,
и после подстановки в уравнение (3) получаем
2E – 4(2Ex + F) = -x + 1,
-8Ex + 2E – 4F = -x + 1,
-8E = -1, E = 1/8,
2E – 4F = 1, 1/4 – 4F = 1, 4F = -3/4, F = -3/16.
Следовательно,
y3** = 1/8 ∙ x2 – 3/16 ∙ x – частное решение уравнения (3).

Находим частное решение заданного уравнения:
y** = y1** + y2** + y3** = -1/4 ∙ e2x + 1/78 ∙ cos 6x – 1/52 ∙ sin 6x + 1/8 ∙ x2 – 3/16 ∙ x
и его общее решение:
y = y* + y** = C1 + C2e4x – 1/4 ∙ e2x + 1/78 ∙ cos 6x – 1/52 ∙ sin 6x + 1/8 ∙ x2 – 3/16 ∙ x.

Что касается третьего и четвертого заданий, смотрите, пожалуйста, мое сообщение в мини-форуме вопроса.

Проверьте выкладки и старайтесь впредь не помещать в одном вопросе несколько заданий.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 28.06.2009, 10:49

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 251576 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 169869:

    Помогите с двумя примерчиками.



    Отправлен: 25.06.2009, 15:54
    Вопрос задал: Кондаков Александр Олегович, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает And0809, 5-й класс :
    Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович.

    1.
    обозначение [int_0^(Pi/2)] - интеграл с нижним пределом 0 верхний предел Pi/2
    V=Pi* [int_0^(Pi/2)] y^2*dx=Pi* [int_0^(Pi/2)] (cos(x))^2*dx= { (cos(x))^2=1/2*(1+cos(2x)) }=Pi/2* [int_0^(Pi/2)] (1+cos(2x))*dx=
    =Pi/2* (x+1/2*sin(2x))|_0^(Pi/2)=Pi/2* [ (Pi/2+1/2*sin(2Pi/2))-(0+1/2*sin(0))]=Pi/2* [ Pi/2+1/2*sin(Pi)-1/2*sin(0)]=Pi/2*Pi/2=Pi^2/4

    Ответ отправил: And0809, 5-й класс
    Ответ отправлен: 25.06.2009, 18:10

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 251480 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Вера Агеева, Студент :
    Здравствуйте, Кондаков Александр Олегович.

    2. Найдем радиус сходимости ряда:

    R = lim (n -> oo) |cn/Cn+1| = lim (n -> oo) |2n/n2 : 2n+1/(n+1)2| =
    = lim (n -> oo) |2n(n+1)2/2n+1n2| = lim (n -> oo) |(n2+2n+1)/2n2| =
    = lim (n -> oo) |(1+2/n+1/n2)/2| = 1/2,

    т.е. интервал сходимости ряда (-1/2 ; 1/2).

    Теперь выясним поведение ряда на концах интервала сходимости. На левом конце при x=1/2 данный ряд принимает вид
    Σ3n/n2. Этот ряд расходится по признаку Даламбера, так как

    lim (n -> oo) un+1/un = lim (n -> oo) 3n+1/(n+1)2 : 3n/n2 =
    = lim (n -> oo) 3n+1n2/3n(n+1)2 = lim (n -> oo) 3n2/(n2+2n+1)=
    = lim (n -> oo) 3/(1+2/n+1/n2) = 3 > 1.

    На правом конце, при x=1/2 получаем ряд Σ5n/n2, который по признаку Даламбера также расходится:

    lim (n -> oo) un+1/un = lim (n -> oo) 5n+1/(n+1)2 : 5n/n2 =
    = lim (n -> oo) 5n+1n2/5n(n+1)2 = lim (n -> oo) 5n2/(n2+2n+1)=
    = lim (n -> oo) 5/(1+2/n+1/n2) = 5 > 1.

    Итак, область сходимости степенного ряда (-1/2 ; 1/2).
    -----
    Экономика должна быть математической

    Ответ отправил: Вера Агеева, Студент
    Ответ отправлен: 25.06.2009, 21:51

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 251491 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 169874:

    Здравствуйте, уважаемые эксперты!
    Помогите пожалуйста с уравнением. Уравнение необходимо разрешить относительно переменной z (представить в виде: z=f(x,y))

    Есть готовый пример:
    (x^2\9)+(y^2\4)+z^2=1

    решение:
    z=√1-(x^2\9)-(y^2\4)

    И тоже самое нужно проделать с уравнением:
    (x^2\4)+(y^2\9)-(z^2\4)=0

    Ещё прошу проверить правильно ли я сделал:

    пример:
    (x^2\9)+(-y^2\4)=2z

    решение:
    z=(2x^2\9)+(-y^2\2)

    Отправлен: 25.06.2009, 17:49
    Вопрос задал: Slayder, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса >>

    Отвечает And0809, 5-й класс :
    Здравствуйте, Slayder.
    1)
    пример: (x^2\9)+(y^2\4)+z^2=1
    решение: z=√1-(x^2\9)-(y^2\4) --- решение неправильно - забыли +-
    правильное решение: |z|= √1-(x^2\9)-(y^2\4) или z=+- √1-(x^2\9)-(y^2\4)

    2)
    (x^2\4)+(y^2\9)-(z^2\4)=0
    решение:
    z^2\4=(x^2\4)+(y^2\9)
    z^2=4*(x^2\4)+4*(y^2\9)
    z^2=x^2+4/9*y^2
    |z|= √x^2+4/9*y^2
    z=+- √x^2+4/9*y^2

    3)
    пример:
    (x^2\9)+(-y^2\4)=2z
    решение: z=(2x^2\9)+(-y^2\2) --- решение неправильно
    правильное решение: z=1/2*[(x^2\9)+(-y^2\4)]=(x^2\18)+(-y^2\8)

    Ответ отправил: And0809, 5-й класс
    Ответ отправлен: 25.06.2009, 18:18

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 251482 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Отвечает Lenchiks, 5-й класс :
    Здравствуйте, Slayder!
    (x^2\4)+(y^2\9)-(z^2\4)=0
    решение:
    z=√(x^2)+(4*y^2\9)
    "Ещё прошу проверить правильно ли я сделал:

    пример:
    (x^2\9)+(-y^2\4)=2z

    решение:
    z=(2x^2\9)+(-y^2\2) "
    должно быть: z=(x^2\18)+(-y^2\2)

    Ответ отправил: Lenchiks, 5-й класс
    Ответ отправлен: 25.06.2009, 19:42

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 251487 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.3 от 20.06.2009
    В избранное