Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

_Ayl_
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 730
∙ повысить рейтинг >> 		Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 692
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 628
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 961 от 12.07.2009, 21:35
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 228, экспертов - 133
В номере: вопросов - 2, ответов - 2

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170219: Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу: Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (ξ,ɳ): Вопрос № 170220: Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу: Хронометраж затрат времени на сборку узла машин у 50-ти слесарей дал следующие результаты (мин.):

Вопрос № 170219:

Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу:
Задано распределение вероятностей дискретной двумерной случайной величины (ξ,ɳ):

Найти:
1) законы распределения составляющих ξ и ɳ ;
2) условный закон распределения случайной величины ξ при условии, что ɳ=yi ;
3) M = (ξ/ɳ=yi) ;
4) коэффициент корреляции rξɳ

Отправлен: 07.07.2009, 09:44
Вопрос задал: Чаркин Иван Александрович, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.

1. Случайная величина ξ принимает два значения: ξ1 = -3 и ξ2 = 1. Соответствующие этим значениям вероятности равны p1 = 0,15 + 0,25 + 0,15 =
= 0,55 и p2 = 0,20 + 0,10 + 0,15 = 0,45. Поэтому закон распределения случайной величины ξ можно представить в следующем виде:
ξi pi
-3 0,55
1 0,45

Случайная величина η принимает три значения: -5, -2, 3. Соответствующие этим значениям вероятности равны p1 = 0,15 + 0,20 = 0,35,
p2 = 0,25 + 0,10 = 0,35, p3 = 0,15 + 0,15 = 0,30. Поэтому закон распределения случайной величины η можно представить в следующем виде:
ηj pj
-5 0,35
-2 0,35
3 0,30

2. Вероятности значений случайной величины ξ при η = -2 находим с помощью формулы
P{ξ = ξi | η = ηj} = P{ξ = ξi, η = ηj}/P{η = ηj}, i = 1, …, n, j = 1, …, m.

Имеем
P{η = -2} = 0,25 + 0,10 = 0,35,
P{ξ = -3 | η = -2} = 0,25/0,35 = 5/7,
P{ξ = 1 | η = -2}= 0,10/0,35 = 2/7.

Следовательно, условный закон распределения случайной величины ξ при η = -2 следующий:
ξi Pη = -2
-3 5/7
1 2/7

3. Математическое ожидание случайной величины ξ при η = -2 равно
M(ξ | η = -2) = -3 ∙ 5/7 + 1 ∙ 2/7 = -13/7 ≈ -1,86.

4. Находим математические ожидания:
M(ξ) = -3 ∙ 0,55 + 1 ∙ 0,45 = -1,2,
M(η) = -5 ∙ 0,35 + (-2) ∙ 0,35 + 3 ∙ 0,30 = -1,55,
M(ξη) = -3 ∙ (-5) ∙ 0,15 + (-3) ∙ (-2) ∙ 0,25 + (-3) ∙ 3 ∙ 0,15 + 1 ∙ (-5) ∙ 0,20 + 1 ∙ (-2) ∙ 0,10 + 1 ∙ 3 ∙ 0,15 = 1,65.

Находим дисперсии:
D(ξ) = [M(ξ2) – ((M(ξ))2] = (-3)2 ∙ 0,55 + 12 ∙ 0,45 – (-1,2)2 = 4,95 + 0,45 – 1,44 = 3,96,
D(η) = [M(η2) – ((M(η))2] = (-5)2 ∙ 0,35 + (-2)2 ∙ 0,35 + 32 ∙ 0,30 – (-1,55)2 = 8,75 + 1,4 + 2,7 – 2,4025 ≈ 10,45.

Находим коэффициент корреляции:
rξη = (1,65 – (-1,2) ∙ (-1,55))/(√(3,96) ∙ √(10,45)) ≈ -0,033.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Ответ отправлен: 11.07.2009, 09:08

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252067 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 170220:

    Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите пожалуйста решить задачу:
    Хронометраж затрат времени на сборку узла машин у 50-ти слесарей дал следующие результаты (мин.):

    Требуется:
    1) представить выборку в виде статистического ряда распределения;
    2) найти точечные оценки математического ожидания и среднего квадратического отклонения σξ генеральной совокупности;
    3) определить доверительные интервалы для математического ожидания mξ и среднего квадратического отклонения σξ генеральной совокупности с доверительной вероятностью Y=0,95 , предполагая, что выборка взята из нормально распределенной генеральной совокупности;
    4) найти размах выборки, разделить его на пять равных частей, построить полигон относительных ч астот сгруппированной выборки;
    5) построить эмпирическую функцию распределения F*(x) сгруппированной выборки;
    6) проверить гипотезу о нормальном законе распределении генеральной совокупности по критерию X2 при уровне значимости α=0,05.

    Отправлен: 07.07.2009, 09:59
    Вопрос задал: Чаркин Иван Александрович, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса >>

    Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист :
    Здравствуйте, Чаркин Иван Александрович.

    1. Для удобства расположим полученные данные в порядке возрастания: 1, 1, 2, 4, 7, 7, 7, 8, 9, 9, 9, 10, 10, 10, 10, 11, 12, 12, 12, 12, 12, 13, 13, 13, 13, 14, 14, 14, 14, 14, 14, 15, 15, 15, 15, 15, 15, 16, 16, 16, 16, 16, 17, 17, 17, 17, 18, 18, 20, 21. Получили вариационный ряд.

    Подсчитав частоту ni и частость p*i вариант x1 = 1, x2 = 2, …, x17 = 21, получим следующий дискретный статистический ряд:
    xi ni p*i
    1 2 0,04
    2 1 0,02
    4 1 0,02
    7 3 0,06
    8 1 0,02
    9 3 0,06
    10 4 0,08
    11 1 0,02
    12 5 0,10
    13 4 0,08
    14 6 0,12
    15 6 0,12
    16 5 0,10
    17 4 0,08
    18 2 0,04
    20 1 0,02
    21 1 0,02

    2. Как это принято в теории оценок, чтобы подчеркнуть случайный характер величин xi, обозначим их через Xi.

    В качестве оценки математического ожидания используется среднее арифметическ ое. В нашем случае
    MXв = Xˉ = 1/n ∙ Σi = 1i = n Xi =
    = 1/50 ∙ (1 ∙ 2 + 2 ∙ 1 + 4 ∙ 1 + 7 ∙ 3 + 8 ∙ 1 + 9 ∙ 3 + 10 ∙ 4 + 11 ∙ 1 + 12 ∙ 5 + 13 ∙ 4 + 14 ∙ 6 + 15 ∙ 6 + 16 ∙ 5 +
    + 17 ∙ 4 + 18 ∙ 2 + 20 ∙ 1 + 21 ∙ 1) = 12,52 (мин.).

    Находим выборочную дисперсию – смещенную оценку дисперсии:
    MDв = 1/n ∙ Σi = 1i = n (Xi - Xˉ)2 =
    = 1/50 ∙ ((1 – 12,52)2 ∙ 2 + (2 – 12,52)2 ∙ 1 + (4 – 12,52)2 ∙ 1 + (7 – 12,52)2 ∙ 3 + (8 – 12,52)2 ∙ 1 + (9 – 12,52)2 ∙ 3 +
    + (10 – 12,52)2 ∙ 4 + (11 – 12,52)2 ∙ 1 + (12 – 12,52)2 ∙ 5 + (13 – 12,52)2 ∙ 4 + (14 – 12,52) 2 ∙ 6 + (15 – 12,52)2 ∙ 6 +
    + (16 – 12,52)2 ∙ 5 + (17 – 12,52)2 ∙ 4 + (18 – 12,52)2 ∙ 2 + (20 – 12,52)2 ∙ 1 + (21 – 12,52)2 ∙ 1) ≈ 20,1296 (мин.2).

    Несмещенной оценкой дисперсии является исправленная выборочная дисперсия
    DXв = n/(n – 1) ∙ MDв = S2 = 50/49 ∙ 20,1296 ≈ 20,54 (мин.2)..

    Выборочное среднее квадратичное отклонение равно
    σв = √Dв ≈ √20,13 ≈ 4,487 (мин.),
    а исправленное выборочное среднее квадратичное отклонение равно
    σ = √S2 = √20,54 ≈ 4,532 (мин.).

    3. Находим интервал для оценки математического ожидания с доверительной вероятностью γ = 0,95 при известном σ. Имеем 2Ф0(t) = 0,95, откуда Ф0(t) = 0,475. По таблице значений функции Лапласа находим
    t = 1,96. Тогда
    Xˉ – σt/√n = 12,52 – 4,532 ∙ 1,96/√50 = 11,26;
    Xˉ + σt/√n = 12,52 + 4,532 ∙ 1,96/√50 = 13,78.
    Следовательно,
    11,26 < MX < 13,78 – искомый доверительный интервал.

    Находим интервал для оценки среднего квадратичного отклонения с доверительной вероятностью γ = 0,95 при известном MX. Имеем
    (1 + γ)/2 = (1 + 0,95)/2 = 0,975, (1 - γ)/2 = (1 - 0,95)/2 = 0,025, χ21 = χ2(0,975; 50),
    χ22 = χ2(0,975; 50) – квантили χ2 – распределения (ввиду отсутствия нужной таблицы не определяем), а искомый интервал – суть (4,487 ∙ √50/χ2) < σ < (4,487 ∙ √50/χ1).

    4. Размах выборки равен R = x17 – x1 = 21 – 1 = 20 (мин.). Для составления интервального статистического ряда разбивае м вариационный ряд на пять интервалов длиной h = R/5 = 20/5 = 4 (мин.): [1; 5[, [5; 9[, [9; 13[, [13; 17[, [17; 21]. Подсчитываем для кажд ого интервала частости и результаты сводим в следующую таблицу:

    Интервал Частость
    [1; 5[ 0,08
    [5; 9[ 0,08
    [9; 13[ 0,26
    [13; 17[ 0,42
    [17; 21] 0,16

    По данным таблицы строим полигон частостей.



    5. Эмпирическая функция распределения имеет следующий вид: F*50(x) =
    0 при x < 1,
    0,08 при 1 ≤ x < 5,
    0,16 при 1 ≤ x < 9,
    0,42 при 1 ≤ x < 13,
    0,84 при 1 ≤ x < 17,
    1,0 при 1 ≤ x ≤ 21,
    0 при x > 21.

    6. Число наблюдений в первых двух интервалах меньше пяти, поэтому объединяем эти интервалы. Получим следующий ряд распределения
    (n = 50):

    [xi; xi + 1[ ni
    [1; 9[ 8
    [9; 13[ 13
    [13; 17[ 21
    [17; 21] 8

    Случайную величину – время сборки узла – обозначим через X. Имеем (см. пункт 2) a = Xˉ = 12, 52 мин, σ = 4,532 мин. Находим pi (i = 1, 2, …, 6). Поскольку нормально распределенная случайная величина определена на интервале ]-∞; +∞[, то крайние интервалы в ряде распределения заменяем соответственно на ]-∞; 9[ и ]17; +∞[. Тогда
    p1 = Ф0((9 – 12,52)/4,532) – Ф0(-∞) ≈ Ф0(-0,78) – Ф0(-∞) = -0,2823 + 0,5 = 0,2177, np1 = 50 ∙ 0,2177 ≈ 10,89;
    p2 = Ф0((13 – 12,52)/4,532) – Ф0((9 – 12,52)/4,532) ≈ Ф0(0,11) – Ф0(-0,78) = 0,0438 – (-0,2823) = 0,3261,
    np2 = 50 ∙ 0,3261 ≈ 16,31;
    p3 = Ф0((17 – 12,52)/4,532) – Ф0((13 – 12,52)/4,532) ≈ Ф0(0,99) – Ф0(0,11) = 0,3389 – 0,0438 = 0,2951,
    np3 = 50 ∙ 0,2951 ≈ 14,76;
    p4 = Ф0(+∞) – Ф0((17 – 12,52)/4,532) ͭ 6; Ф0(+∞) – Ф0(0,99) = 0,5 – 0,3389 = 0,1611, np4 = 50 ∙ 0,1611 ≈ 8,06.

    Полученные результаты сводим в следующую таблицу:

    [xi; xi + 1[ ni n’ = npi
    [-∞; 9[ 8 10,89
    [9; 13[ 13 16,31
    [13; 17[ 21 14,76
    [17; +∞] 8 8,06

    Определяем выборочное значение статистики критерия
    χ2набл = Σi = 1i = 4 (ni2/(npi)) – n = 82/10,89 + (13)2/16,31 + (21)2/14,76 + 82/8,06 – 50 = 5,877 + 10,362 + 29,878 +
    + 7,940 – 50 = 4,057.

    Находим число степеней свободы k. По выборке рассчитаны два параметра (a и σ), следовательно, r = 2. Количество интервалов m = 4. Следовательно, k = m – r – 1 = 4 – 2 – 1 = 1.

    По таблице χ2 – распределения при уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы k = 1 находим
    χ2α, k = 3,8. Поскольку χ2набл > χ2α, k, то гипотеза о нормальном законе распределения случайной величины X не принимается.

    Такова примерная последовательность выполнения вашей задачи. Проверьте выкладки, если собираетесь списывать!

    с уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
    Ответ отправлен: 11.07.2009, 16:25

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 252076 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009
    В избранное