RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / МатематикаВыпуск № 971 от 23.07.2009, 02:35Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал В рассылке: подписчиков - 228, экспертов - 135 В номере: вопросов - 6, ответов - 8
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: Вопрос № 170501: Исследовать на сходимость знакопеременный ряд: ∑(n=1...∞)(-1)n+1/(5n+3)... Вопрос № 170506: Исследовать на сходимость знакопеременный ряд: ∑(n=1...∞)(-1)n+1/n7/5... Вопрос № 170509: Найти области сходимости степенного ряда: ∑(n=1...∞)xn/(n*9n)... Вопрос № 170513: Найти области сходимости степенного ряда: ∑(n=1...∞)(n5xn)/(n2+1)... Вопрос № 170516: Пользуясь разложением функции cosx2 в степенной ряд,вычислить приближённое значение этой функции при x=Пи/6 с точностью до 10-5.... Вопрос № 170518: Пользуясь степенным логарифмическим рядом,вычислить приближённое значение ln65 с точностью до 10-5.... Вопрос № 170501:
Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:
Отправлен: 17.07.2009, 09:35 Отвечает And0809, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. Рассмотрим ряд ∑(n=1...∞)(-1)n+1/(5n+3)=1/5*∑(n=1...∞)(-1)n+1/(n+3/5). Как известно знакочередующийся ряд ∑(n=1...∞)(-1)n+1 1/n сходится. Скорость роста знаменателя определяется числом n. Числа n и n+3/5 примерно равны при n→∞, поэтому ряд ∑(n=1...∞)(-1)n+1/(n+3/5) также будет сходиться. Следовательно ряд ∑(n=1...∞)(-1)n+1/(5n+3) сходится.
Ответ отправил: And0809, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170506:
Исследовать на сходимость знакопеременный ряд:
Отправлен: 17.07.2009, 12:24 Отвечает And0809, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. Докажем, что ряд сходится абсолютно. Т.е. докажем сходимость ряда ∑(n=1...∞)1/n7/5. Применим URL >>интегральный признак Коши. an = 1/n7/5, то положим f(x) = 1/x7/5. Т.к. выполняются условия: функция f(x) непрерывна, положительна и монотонно убывает на промежутке (1; +∞), то можно использовать интегральный признак Коши. Вычислим несобственный интеграл ∫1∞ 1/x7/5 dx = x-7/5+1 /(-7/5+1) |1∞ = = -5/2*1/x2/5 |1∞ = -5/2*(0-1)=5/2 Т.к. несобственный интеграл сходится, то по инт. призн. Коши сходится и ряд . Ответ: ряд сходится абсолютно.
Ответ отправил: And0809, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170509:
Найти области сходимости степенного ряда:
Отправлен: 17.07.2009, 13:25 Отвечает Kom906, 5-й класс : Здравствуйте, Alik4546. 1. Находим интервал сходимости Применяем признак Д'Аламбера an = xn/(n*9n) an+1 = xn+1/((n+1)*9n+1) = (x*xn)/((n+1)*9*9n) I = lim{n->∞} |an+1/an| = lim{n->∞} |(x*n)/(9*(n+1))| = |x/9| * lim{n->∞}n/(n+1) = |x|/9 < 1 Получим неравенство, определяющее интервал сходимости: |x|/9 < 1 ---> |x| < 9 Тогда интервал сходимости - это (-9)<x<9, и радиус сходимости R = 9 2. При х = 9 Получим ряд: ∑{n=1...∞}9n/(n*9n) = ∑{n=1...∞}1/n Даныый ряд является гармоническим и расходящимся 3. При х = -9 Получим ряд: ∑{n=1...∞}(-9)n/(n*9n) = ∑{n=1...∞}(-1)n/n Данный ряд является знакочередующимся и сходящи мся согласно признаку Лейбница, так как |an+1| - |an| = |(-1)n+1/(n+1)| - |(-1)n/n| = (1/(n+1)) - (1/n) = -1/(n*(n+1)) < 0, то есть |an+1| < |an| Но так как ряд, составленный из модулей, то есть ряд ∑{n=1...∞}1/n, расходится, то ряд ∑{n=1...∞}(-1)n/n сходится условно 4. Итак, исходный ряд сходится при (-9) ≤ х < 9, это и есть область сходимости. Также при (-9) < x < 9 ряд сходится абсолютно, а при х = -9 - условно
Исправление по просьбе автора ответа.
----- ∙ Отредактировал: sir Henry, Модератор ∙ Дата редактирования: 17.07.2009, 15:32 (время московское)
Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Alik4546. Используем признак Даламбера: ряд {an} сходится в тогда, когда предел отношения an+1/an меньше 1. В случае, когда предел равен 1, ряд может как сходиться, так и расходиться. Запишем выражение для an: an = xn/(n*9n) = (1/n) * (x/9)n) = (1/n) * cn, где c = x/9. Вычислим предел отношения an+1/an при n →∞: an+1/an = ((1/(n+1)) * cn+1) / ((1/n) * cn) = (n/(n+1)) * c Тогда предел при n →∞ будет равен: lim {n→∞}((n/(n+1))*c) = c * lim {n→∞}(n/(n+1)) = c Тогда из соотношения lim {n→∞}(an+1/an) < 1 получаем соотношение: c < 1 ⇔ x/9 < 1 ⇔ x < 9 А из соотношения с = 1 следует, что x = 9. Проверим, что получится при x=9. При x=9 исходный ряд преобразуется в ряд ∑{n=1..∞}(1/n), который, как известно, расходится. Т.ч. область сходимости степенного ряда равна (-9; 9). !!! При x = -9 ряд также сходится.
См. дополнения в тексте ответа.
----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель, Академик ∙ Дата редактирования: 22.07.2009, 00:21 (время московское)
Ответ отправил: _Ayl_, Студент
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170513:
Найти области сходимости степенного ряда:
Отправлен: 17.07.2009, 15:05 Отвечает _Ayl_, Студент : Здравствуйте, Alik4546. По признаку д'Аламбера: lim {n→∞} (|an+1| / |an|) = lim {n→∞} (((n+1)5 / ((n+1)2+1)) * (|x|)n+1) / ((n5 / (n2+1)) * (|x|)n) = |x| * lim {n→∞} ((n+1)5(n2+1) / (n5(n2+2n+2)) = |x| * lim {n→∞} (((n+1)/n)5) * ((n2+1) / (n2+2n+2) = |x|. Для сходимости требуется, чтобы данный предел был строго меньше 1. Т.е. при |x| < 1 ряд абсолютно сходится. Разберем граничные случаи (|x| = 1). Абсолютное значение общего члена последовательности равно n5/(n2+1), предел которого при n →∞ равен ∞, то есть ряд расходится, т.к. для сходимости требуется, чтобы указанный предел был равен 0. Т.о. исследуемый ряд абсолютно сходится на отрезке (-1; 1).
Добавлено пропущенное [/sup].
----- ∙ Отредактировал: Агапов Марсель, Академик ∙ Дата редактирования: 22.07.2009, 00:12 (время московское)
Ответ отправил: _Ayl_, Студент
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Alik4546. Применим признак Даламбера. Имеем |an + 1/an| = |(n + 1)5 ∙ xn + 1/((n + 1)2 + 1) : [n5 ∙ xn/(n2 + 1)]| = = |(n + 1)5 ∙ xn + 1 ∙ (n2 + 1)/[((n + 1)2 + 1) ∙ n5 ∙ xn]| = |(n + 1)5 ∙ x ∙ (n2 + 1)/[((n + 1)2 + 1) ∙ n5]| = = |x| ∙ (n + 1)5/n5 ∙ (n2 + 1)/((n + 1)2 + 1) = |x| ∙ (1 + 1/n)5 ∙ (n2 + 1)/(n2 + 2n + 2) = = |x| ∙ (1 + 1/n)5 ∙ (1 + 1/n2)/(1 + 2/n + 2/n2), lim n → ∞ |an + 1/an| = lim n → ∞ |x| ∙ (1 + 1/n)5 ∙ (1 + 1/n2)/(1 + 2/n + 2/n2) = |x|. Следовательно, при -1 < x < 1 заданный ряд сходится абсолютно, а при -∞ < x < -1 и 1 < x < +∞ - расходится. Исследуем ряд на сходимость при x = -1 и x = 1. При x = 1 получаем ряд Σ n = 1∞ n5/(n2 + 1). Поскольку при n →∞ n5/(n2 + 1) ~ n5/n2 = n3 → ∞, то этот ряд расходится. При x = -1 получаем знакочередующийся ряд Σ n = 1∞ (-1)n ∙ n5/(n2 + 1), для которого ряд, составленный из абсолютных величин его членов (Σn = 1∞ n5/(n2 + 1)), как было установлено выше, расходится. Однако, из этого не следует расходимость заданного ряда. Применяя признак Даламбера к ряду Σ n = 1∞ n5/(n2 + 1), получим lim n U 94; ∞ |an + 1/an| = lim n → ∞ (n + 1)5/n5 ∙ (n2 + 1)/((n + 1)2 + 1) = = lim n → ∞ (1 + 1/n)5 ∙ (1 + 1/n2)/(1 + 2/n + 2/n2) = 1. Мы установили, что заданный ряд не является абсолютно сходящимся – ведь ряд, составленный из абсолютных величин его членов, расходится. Достаточный признак сходимости Лейбница (монотонное убывание последовательности абсолютных величин членов и стремление к нулю общего члена) для заданного ряда не выполняется. Рассмотрим заданный ряд подробнее. Имеем при x = -1 a1 = 15 ∙ (-1)1/(12 + 1) = -1/2, a2 = 25 ∙ (-1)2/(22 + 1) = 32/5, a3 = 35 ∙ (-1)3/(32 + 1) = -243/10, a4 = 45 ∙ (-1)4/ (42 + 1) = 1024/17, … Нетрудно видеть, что частичная сумма Sn (n > 1) любого числа членов ряда неограниченно возрастает с увеличением n. Аналогичная ситуация и при x = 1. Отсюда можно сделать вывод, что заданный ряд расходится при x = ±1. Ответ: при -1 < x < 1 заданный ряд сходится абсолютно, а при -∞ < x ≤ -1 и 1 < x ≤ +∞ - расходится. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170516: Пользуясь разложением функции cosx2 в степенной ряд,вычислить приближённое значение этой функции при x=Пи/6 с точностью до 10-5.
Отправлен: 17.07.2009, 17:38 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. Разложение функции cos u в ряд по степеням u имеет вид cos u = Σ n = 0∞ (-1)n ∙ u2n/(2n)! = 1 – u2/2! + u4/4! - … + (-1)n ∙ u2n/(2n)! + … . Положим u = x2 = (π/6)2 = π2/36 ≈ 0,274156. Поскольку u0 = 1, u1 = -(π2/36)2/2 = -π4/2592 ≈ -0,037581, u2 = (π2/36)4/24 = π8/40310784 ≈ 0,000235, u3 = -(π2/36)6/720 = -π12/1567283281920 ≈ -5,9 ∙ 10-7, |u3| < 10-5, для решения поставленной задачи достаточно первых трех слагаемых: cos (π/6)2 ≈ 1 - 0,037581 + 0,000235 ≈ 0,96265. Ответ: 0,96265. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Вопрос № 170518: Пользуясь степенным логарифмическим рядом,вычислить приближённое значение ln65 с точностью до 10-5.
Отправлен: 17.07.2009, 18:52 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист : Здравствуйте, Alik4546. Представим заданное число так: 65 = 1 + 64 и воспользуемся формулой ln (1 + t) = ln t + 2 ∙ [1/(2t + 1) + 1/(3 ∙ (2t + 1)3) + 1/(5 ∙ (2t + 1)5) + …]. Сначала находим ln 2. Для того, чтобы удовлетворить требованию к точности вычислений, ln 2 найдем с точностью приблизительно до 10-7. Для оценки погрешности вычислений имеем формулу Ra < 1/[4 ∙ (2n + 1) ∙ 32n - 1]. Подбираем n так, чтобы выполнялось условие Ra ≈ 10-7. Тогда при n = 6 Ra < 1/[4 ∙ 13 ∙ 311] = 1,09 ∙ 10-7, и ln 2 ≈ 2 ∙ [1/3 + 1/81 + 1/1215 + 1/15309 + 1/177147 + 1/1948617] = 0,6931471. Далее находим Ra < 1/[2 ∙ (2n + 1) ∙ 64 ∙ 65 ∙ 1292n - 1], при n = 2 Ra < 1/[2 ∙ 5 ∙ 64 ∙ 65 ∙ 1293] = 1,1 ∙ 10-11, ln 65 ≈ 6 ∙ ln 2 + 2 ∙ [1/129 + 1/6440067] = 4,17439. Погрешность приближения не превышает числа δ = 6 ∙ 1,09 ∙ 10-7 + 2 ∙ 1,1 ∙ 10-11 < 10-5. Ответ: 4,17439. С уважением. Прошу Вас давать свою оценку ответам экспертов. Это нужно хотя бы для того, чтобы ответивший Вам эксперт знал, удовлетворяет ли Вас качество ответа. Кроме того, оценка повышает рейтинг эксперта. И не боясь показаться неделикатным, обращаю Ваше внимание на то, что решая с помощью экспертов математические задачи, Вы одновременно решаете и свои проблемы. Это имеет соответствующий денежный эквивалент. Поэтому хотя бы иногда пополняйте кошелек экспертов... 
----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Специалист
Оценка ответа: 5
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке: оценить выпуск >>
подать вопрос экспертам этой рассылки >>Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009 |
| В избранное | ||
