Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Июль 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

_Ayl_
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 731
∙ повысить рейтинг >> 		Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Специалист
Рейтинг: 706
∙ повысить рейтинг >> 		Kom906
Статус: 5-й класс
Рейтинг: 656
∙ повысить рейтинг >>

∙ / НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Выпуск № 962 от 13.07.2009, 22:05
Администратор рассылки: Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
В рассылке: подписчиков - 229, экспертов - 134
В номере: вопросов - 1, ответов - 1

Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
оценить выпуск >>

Вопрос № 170268: Пользуясь определением сходимости числового ряда,исследовать на сходимость ряд ∑(n=0 to ∞) 2/(4n2+8n+3) и в случае сходимости найти его сумму...

Вопрос № 170268:

Пользуясь определением сходимости числового ряда,исследовать на сходимость ряд ∑(n=0 to ∞) 2/(4n2+8n+3) и в случае сходимости найти его сумму

Отправлен: 08.07.2009, 13:28
Вопрос задал: Alik4546, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса >>

Отвечает Kom906, 5-й класс :
Здравствуйте, Alik4546.

1. Доказательство сходимости

Сравним данный ряд со сходящимся рядом, общий член которого:
b(n) = 1/(n^2)

Пусть формула общего члена исходного ряда:
a(n) = 2/(4*(n^2)+8*n+3)

Тогда
lim(a(n)/b(n)) = lim {(4*(n^2)+8*n+3)/(2*(n^2))} = lim {[(4*(n^2)+8*n+3):(n^2)] / [(2*(n^2)):(n^2)]} = lim {[4+(8/n)+(3/(n^2))] / 2} = 4/2 = 2

здесь lim-знак предела, предел стремится к бесконечности, (),{},[] - просто скобки, знак ^ - знак степени, запись вида (n^2) означает "n в степени 2 (то есть в квадрате)"

Так как im(a(n)/b(n)) = 2 >0, тос согласно второму признаку сравнения, оба ряда сходятся или расходятся одновременно.
Значит исходный ряд сходящийся

2. Сумма ряда

Так как 4*(n^2)+8*n+3 = 4*(n+0,5)*(n+1,5) = (2*n+1)*(2*n+3)
(числа (-0,5) и (-1,5) легко находятся из уравнения 4*(n^2)+8*n+3 = 0),
тогда представим дробь 2/(4*(n^2)+8*n+3) в виде суммы дробей

2/(4*(n^2)+8*n+3) = А/(2*n+1) + В/(2*n+3)

2 = А*(2*n+3) + В*(2*n+1) = 2*(А+В)*n + (3*A+B)

Получим систему уравнений:
{ А+В = 0
{ 3*А+В = 2

Решаем систему: А = 1 и В = -1

Тогда 2/(4*(n^2)+8*n+3) = 1/(2*n+1) - 1/(2*n+3)

Составляем частичную сумму ряда, то есть сумму первых m членов

S(m) = a(0) + a(1) + a(2) + ... + a(m-1) + a(m) =

= {1/(2*0+1) - 1/(2*0+3)} + {1/(2*1+1) - 1/(2*1+3)} + {1/(2*2+1) - 1/(2*2+3)} + ... + {1/(2*(m-1)+1) - 1/(2*(m-1)+3)} + {1/(2*m+1) - 1/(2*m+3)} =

= {1 - 1/3} + {1/3 - 1/5} + {1/5 - 1/7} + ... + {1/(2*m-1) - 1/(2*m+1)} + {1/(2*m+1) - 1/(2*m+3)} = /как видно большая часть слагаемых сокращается/ =

= 1 - 1/(2*m+3)

Тогда сумма всего ряда - это предел частичной суммы при m стремящемся к бесконечности

S = lim{1 - 1/(2*m+3)} = 1

Итак, сумма ряда равна 1.

Ответ отправил: Kom906, 5-й класс
Ответ отправлен: 08.07.2009, 15:02

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 251977 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки. Вы можете оценить этот выпуск по пятибалльной шкале, пройдя по ссылке:
    оценить выпуск >>

    подать вопрос экспертам этой рассылки >>

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров >>

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.5 от 08.07.2009
    В избранное