Вопрос № 120218: Добрый день эксперты, возникли проблемы в решении следующего задания: Найти три первых, отличных от 0 члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x;y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=yo.
y'=y+y^2; y(...Вопрос № 120351: Помогите разложить функцию (Z+3)/(z*z-1) в ряд Лорана в окрестности точки z0=-2+3i.Заранее спасибо!!!)...
Вопрос № 120.218
Добрый день эксперты, возникли проблемы в решении следующего задания: Найти три первых, отличных от 0 члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x;y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=yo.
y'=y+y^2; y(0)=3
Отвечает: lyalya
Здравствуйте, Елена Ковальчук!
ищем решение уравнения в виде
y=y(0)+(y'(0)/1!) *x + (y''(0)/2!) *x^2 + (y'''(0)/3!) * x^3 + ...
x(0)=0, y(0)=3
тогда y'(0)=y(0)+y(0)^2=3+3^2=12
Найдем y''
y''=y'+2yy'
y''(0)=y'(0)+2y(0)y'(0)=3+3*12=84
Подставляю данные значения и получим ряд
y=3+(12/1!) * x + (84/2!) * x^2
вот первые три члена ряда
Ответ отправила: lyalya (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 26.01.2008, 10:52
Отвечает: Yulia Tsvilenko
Здравствуйте, Елена Ковальчук!
y(x)=y(x0)+E(Aк*(x-x0)^k), Е-сумма по к от 1 до бесконечности, Ак- к-тый коэффициент, х0 - точка, в окрестности которой происходит разложение.
f(x,y)=y+y^2
f'x(x,y)=f''xx(x,y)=f''xy(x,y)=f''yx(x,y)=0
f'y(x,y)=1+2y^2
f''yy(x,y)=4y
А1=у'0=f(x0,y0),
A1=12
A2=(f'x(x0,y0)+f'y(x0,y0)*f(x0,y0))/2!
A2=114
A3=(f''xx(x0,y0)+2f''xy(x0,y0)*f(x0,y0)+f''y(x0,y0)*(f(x0,y0))^2+f'y(x0,y0)*y''x)/3!
A3=1200
y(x)=1200 x^3+114 x+12x+3
Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 26.01.2008, 11:35
Вопрос № 120.351
Помогите разложить функцию (Z+3)/(z*z-1) в ряд Лорана в окрестности точки z0=-2+3i.Заранее спасибо!!!)
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Столяровов Александр Александрович!
Разложим на простые дроби A, B - неопределенные множители.
(z+3)/(z^2-1) = A/(1-z) + B/(1+z).
Для A и B имеем след. уравнение:
A*(1+z)+B*(1-z) = (A-B)*z + (A+B) = -(z+3),
откуда A = -2, В = -1.
Разложим 1/(1-z) и в 1/(1-z) ряды в окрестности z0, пользуясь формулой для геом. прогрессии:
1/(1-z) = 1/(1-z0 - (z-z0)) = (1/(1-z0))/(1 - (z-z0)/(1-z0)) = (1/(1-z0))*сумма ((z-z0)/(1-z0))^n =
= сумма (z-z0)^n/(1-z0)^(n+1).
Аналогично:
1/(1+z) = 1/(1+z0 + (z-z0)) = (1/(1+z0))/(1 + (z-z0)/(1+z0)) =
= (1/(1+z0))*сумма (-1)^n*((z-z0)/(1+z0))^n = - сумма (-1)^n*(z-z0)^n/(1+z0)^(n+1).
Складывая ряды (с учетом A и B), получим формулу для коэффициента при x^n:
bn = 2*(1/(1-z0))^(n+1) - (-1/(1+z0))^(n+1).
Подставляем значение z0, избавляемся от комплексных чисел в знаменателях, и получаем
для первой дроби:
1/(1-z0) = (1-z0*)/|1-z0|^2 = (1 + 2 + 3i)/18 = (1/6)+i*(1/6);
для второй дроби:
-1/(1+z0) = -(1+z0*)/|1+z0|^2 = -(1 - 2 - 3i)/10 = (1/10)+i*(3/10).
В результате:
bn = (1/10 +i*3/10)^(n+1) - 2*(1/6+i/6)^(n+1),
а искомый ряд есть сумма членов bn*(z-z0)^n по n = 0, 1, 2, ... .
Ответ отправил: Lang21 (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 30.01.2008, 14:45
