Вопрос № 67009: Уважаемые эксперты!
помогите пожалуйста найти интеграл от выражения:
(4sinx +10 + 10cosx) / (cos^2x +2cosx +2sinxcosx + sinx +1)...Вопрос № 67023: здравствуйте,уважаемые эксперты.Помогите пожалуйста решить пример.Я ООООчень вас прошу!
Вычислить предел при Х,стремящемся к 3 для функции (lnx-ln3)/(x-3).
..Вопрос № 67040: Здравствуйте уважаемые Эксперты! Я так и не смог вспомнить первые курсы института, а очень надо помочь человеку, mathcad конечно решает эти вещи но нужен порядок решения:
Найти частные производные и дифференциалы первого порядка от функций:<...Вопрос № 67061: Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5....Вопрос № 67067: Уважаемые эксперты:
Линия задана уравнением r=r(ϕ) в полярной системе координат . Требуеться :
1 Построить линию по точкам начиная от ϕ=0 до ϕ=2π и придавая ϕ значение через промежуток π/8;
2 найти уравнение ...Вопрос № 67118: Уважаемые эксперты, очень прошу, пожалуйста, помогите сделать данное задание! (возникли проблемы при их решении)
Используя прием – непосредственного интегрирования, то есть, используя тождественные преобразования подынтегральных выражений, примен...Вопрос № 67151: Уважаемые эксперты, пожалуйста, помогите, если вас не затруднит, решить задания!
С помощью соответствующей замены переменной интегрирования (подстановки) найти интегралы:
1. ∫ ^7 √(sin^2 x) cosx dx
2. ∫ x^3 dx ...
Вопрос № 67.009
Уважаемые эксперты!
помогите пожалуйста найти интеграл от выражения:
(4sinx +10 + 10cosx) / (cos^2x +2cosx +2sinxcosx + sinx +1)
Отправлен: 14.12.2006, 20:34
Вопрос задала: Dayana (статус: 5-ый класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Олег Владимирович
Здравствуйте, Dayana!
Это где ж вы такой нашли? :) Проверьте условие, что-то у меня вызывает сомнение такой ответ, который получился.
Все интегралы, представляющие собой дробно-рациональную функцию от синуса и косинуса [R(sinx,cosx)] берутся подстановкой
t=tg(x/2); sin x = 2t/(1+t²); cos x = (1-t²)/(1+t²); x=2arctg t; dx = 2dt/(1+t²),
которая сводит интеграл к дробно-рациональной функции; её раскладывают на сумму простейших дробей, которые легко интегрируются. Это теория.
На практике всё не так красиво {проверьте арифметику}:
∫(4sinx +10 + 10cosx)dx / (cos²x +2cosx +2sinxcosx + sinx +1)=
(домножая на 1+t² числитель и знаменатель)
=∫(8t+10+10t²+10-10t²)2dt/(1+t²){(1-2t²+t^4)/(1+t²)+2-2t²+(4t-4t³)/(1+t²)2t+1+t²}
=∫(8t+20)2dt/(1-2t²+t^4+2+2t²-2t²-2t^4+4t-4t³+2t+2t³+1+t²+t²+t^4)=
=∫(16t+40)dt/(-2t³+6t+4)=-4∫(2t+5)dt/(t³-3t-2)=
=-4∫(-t²+t+2-t+2+t²+2t+1)dt/(t+1)²(t-2)=-4(∫(-dt)/(t+1) + ∫(-dt)/(t+1)² + ∫dt/(t-2)) =
=-4(-ln|t+1|+1/(t+1)+ln|t-2|) = -4(ln|(t-2)/(t+1)| + 1/(t+1))+C =
= -4(ln|(tg(x/2)-2)/(tg(x/2)+1)|+1/(tg(x/2)+1)) +C.
Удачи!
--------- Факультет ПМ-ПУ - лучший в СПбГУ!
Ответ отправил: Олег Владимирович (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 14.12.2006, 22:34 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 67.023
здравствуйте,уважаемые эксперты.Помогите пожалуйста решить пример.Я ООООчень вас прошу!
Вычислить предел при Х,стремящемся к 3 для функции (lnx-ln3)/(x-3).
Отправлен: 14.12.2006, 21:57
Вопрос задала: Пупсик (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Speedimon
Здравствуйте, Янусик!
Используем правило Лопиталя, получаем (1/x)/1 при x->3, то есть (1/3)/1, то есть просто 1/3.
Ответ отправил: Speedimon (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 14.12.2006, 22:08
Отвечает: Mystic
Здравствуйте, Янусик!
Есть несколько способв (в зависимости от того, какой нужно использовать):
1) lnx - ln3 = ln(x/3) далее по формуле Тейлора
ln(x/3) = 1/3(x-3) + o((x-3)^2) (степень в о малом точно не помню, может и 1)
2) по правилу Лопиталя (этот способ уже рассматривался другим экспертом). Иногда преподы говорят найти предел другим способом, поэтому и привожу их.
Ответ отправил: Mystic (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 15.12.2006, 15:32 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 67.040
Здравствуйте уважаемые Эксперты! Я так и не смог вспомнить первые курсы института, а очень надо помочь человеку, mathcad конечно решает эти вещи но нужен порядок решения:
Найти частные производные и дифференциалы первого порядка от функций:
Ответ отправил: Mystic (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 15.12.2006, 15:42
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Art120684!
Решение второго задания.
1) Находим частные производные первого порядка: ∂z/∂x=2*x+y-2, ∂z/∂y=x+2*y-1.
Находим координаты стационарной точки: 2*x+y-2=0, x+2*y-1=0, откуда x=1, y=0.
Находим вторые производные и их значения в стационарной точке: A=∂^2(z)/∂x^2=2, B=∂^2(z)/(∂x*∂y)=1, C=∂^2(z)/∂y^2=2.
Составляем дискриминант: ∆=A*C-B^2=2*2-1=3.
Поскольку ∆>0 и A>0, то в стационарной точке функция z(x, y) имеет минимум zmin=z(1; 0)=-1.
Ответ: минимум zmin=-1 в точке (1; 0).
2) Действуя аналогично указанному выше, находим:
∂z/∂x=3*x^2+3*y^2-15, ∂z/∂y=6*x*y-12;
3*x^2+3*y^2-15=0, 6*x*y-12=0, откуда получаем координаты четырех стационарных точек:
М1(-2; -1), М2(-1; -2), М3(1; 2), М4(2; 1);
A=∂^2(z)/∂x^2=6*х,
B=∂^2(z)/(∂x*∂y)=6*y,
C=∂^2(z)/∂y^2=6*x;
в точке М1 A=-12<0, B=-6, C=-12, ∆=108>0, поэтому М1 – точка максимума, zmax=z(-2; -1)=28;
в точке М2 A=-6, B=-12, C=-6, ∆=-108<0, поэтому в точке М2 экстремума нет;
в точке М3 A=6, B=12, C=6, ∆=-108<0, поэтому в точке М3 экстремума нет;
в точке М4 A=12>0, B=6, C=12, ∆=108>0, поэтому М4 – точка минимума, zmin=z(2; 1)=-28.
Ответ: минимум zmin=-28 в точке (2; 1), максимум zmax=28 в точке (-2; -1).
С уважением,
Mr. Andy.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Студент)
Ответ отправлен: 19.12.2006, 09:20 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 67.061
Составить уравнение и построить линию, расстояние каждой точки которой от точки А(2;0) и от прямой 2х+5=0 относятся как 4:5.
Отправлен: 15.12.2006, 08:39
Вопрос задал: 122333
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mystic
Здравствуйте, 122333!
Могу предположить, что это решается так:
((x-2)^2 + y^2)^0.5 = (x + 5/2) * 4/5;
Слева - расстояние до точки, справа - расстояние до прямой, умноженное на коэффициент отношения.
Решая получим примерно следующее (не проверял на правильность, мог запутаться в расчетах):
y^2 = -9/25 * x^2 + 7.2x;
Ну а построить по нему уже не проблема.
Ответ отправил: Mystic (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 15.12.2006, 16:42
Вопрос № 67.067
Уважаемые эксперты:
Линия задана уравнением r=r(ϕ) в полярной системе координат . Требуеться :
1 Построить линию по точкам начиная от ϕ=0 до ϕ=2π и придавая ϕ значение через промежуток π/8;
2 найти уравнение данной линии в декартовой прямоугольной системе координат, у каторой начало совподает с плюсом , а положительная полуось абцис - с полярной осью;
3 по уравнению в декартовой прямоугольной системе координат определить , какая это линия.
r=1/(2+2cosϕ)
Помогите решить!! немогу разобраться совсем!!
Отправлен: 15.12.2006, 09:12
Вопрос задал: 122333
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mystic
Здравствуйте, 122333!
1. Строим как обычный график в декартовой системе (y = r, x = ϕ)
2. Не очень понял про систему координат, но предположу, что имелось в виду, что r - расстояние от начала координат, ϕ - угол, отсчитываемый от положительного направления оси абсцисс против часовой стрелки.
Тогда x = r * cosϕ; y = r * sinϕ;
x^2 + y^2 = r^2;
отсюда
r = 1/(2+2cosϕ); 2r + 2r*cosϕ = 1; 2*(x^2 + y^2)^0.5 + 2x = 1
Отсюда y^2 = 1/4 - x; y = +-(0.25 - x)^0.5;
3. Здесь достаточно просто.
Примечание: возможны ошибки в рассуждениях (в частности, при ϕ = pi получается что-то не то, но главное - идея :) )
Ответ отправил: Mystic (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 15.12.2006, 17:08
Вопрос № 67.118
Уважаемые эксперты, очень прошу, пожалуйста, помогите сделать данное задание! (возникли проблемы при их решении)
Используя прием – непосредственного интегрирования, то есть, используя тождественные преобразования подынтегральных выражений, применяя свойства неопределенного интеграла и
основные формулы интегрирования, найти интегралы:
1. ∫ (10x^2-6^x – 4^2x / 2^x) dx
2. ∫ dx / cos^2 x(1+tg^2 x)
3. ∫(3tg^2 x- ^5√x^2 = 5/x)dx
4. ∫ √3+lnx – 6^√x /x ∙ dx
5. ∫ (2^x+5 - 1/√1-4x2) dx.
Отправлен: 15.12.2006, 14:26
Вопрос задал: XDRIVE (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: fsl
Здравствуйте, XDRIVE!
1.
Т.к.
4^2x / 2^x = 2^(4x)/2^x = 2^(3x)
то
∫ (10x^2-6^x – 2^(3*x) dx =
10*x^3/3- 6^x/ln(6) - 8^x/ln(8)
2)
Т.к.
(1+tg^2 x) = 1/cos^2x
то
∫ dx / cos^2 x(1+tg^2 x) =
=∫ cos^2x / cos^2 x dx=∫1dx =x
3)
tg^2 x представьте ввиде
sin^2x/cos^2x
Далее интегрирование по частям.
В остальном аналогично пп. 1,2.
Удачи!
--------- Ну, Вы спросили!
Ответ отправил: fsl (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 15.12.2006, 14:51
Вопрос № 67.151
Уважаемые эксперты, пожалуйста, помогите, если вас не затруднит, решить задания!
С помощью соответствующей замены переменной интегрирования (подстановки) найти интегралы:
1. ∫ ^7 √(sin^2 x) cosx dx
2. ∫ x^3 dx / x^8 +16
3. ∫ 2^(x^2+3) x dx
Отправлен: 15.12.2006, 18:29
Вопрос задал: XDRIVE (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Олег Владимирович
Здравствуйте, XDRIVE!
1. ∫sin^(2/7)x * cosx dx = ∫sin^(2/7)x dsinx = 7/9 sin^(9/7)x + C.
Здесь неявная замена t = sin x.
2. Замена x^4 = t
∫ x^3 dx / (x^8+16) = 1/4 ∫d(x^4) / ((x^4)^2 + 16) = 1/16 arctg (x/4) + C.
3. Заменить x^2 + 3
∫2^(x^2+3)xdx = 1/2 ∫2^(x^2+3)d(x^2+3) = 2^(x^2 + 2) / ln2 + C.
Удачи!
--------- Факультет ПМ-ПУ - лучший в СПбГУ!
Ответ отправил: Олег Владимирович (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 15.12.2006, 19:16
