Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Апрель 2011   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Консультации по математике


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Лучшие эксперты данной рассылки

Асмик Александровна
Статус: Академик
Рейтинг: 7629
∙ повысить рейтинг » 		Орловский Дмитрий
Статус: Академик
Рейтинг: 4416
∙ повысить рейтинг » 		vitalkise
Статус: Профессионал
Рейтинг: 4316
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая

Номер выпуска:1415
Дата выхода:03.04.2011, 17:00
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
Подписчиков / экспертов:130 / 189
Вопросов / ответов:1 / 3

Вопрос № 182663: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти общее решение уравнения: (3x-y)∙y´=x+3y (1+x^2 )∙y´+3y=arctg 1/x; y´+y/x=x^2+y^4. Решить систему линейных уравнений dx/dt=x-3y,

Вопрос № 182663:

Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Найти общее решение уравнения:
(3x-y)∙y´=x+3y
(1+x^2 )∙y´+3y=arctg 1/x;
y´+y/x=x^2+y^4.
Решить систему линейных уравнений
dx/dt=x-3y,
dy/dt=3x+y
с начальными условиями x (0) = 1, у (0) = 2.

Спасибо!

Отправлен: 29.03.2011, 16:30
Вопрос задал: alya_koshka (4-й класс)
Всего ответов: 3
Страница вопроса »

Отвечает Саныч (Профессионал) :
Здравствуйте, alya_koshka!
Предлагаю Вам решение системы дифференциальных уравнений.
Продифференцируем первое уравнение по t. Получим
x''=x'-3y'. Теперь при помощи второго уравнения заменим y' на 3x+y и получим x''=x'-9x-3y. Из первого уравнения имеем 3y=x-x'. Подставим это в полученное уравнение: x''=x'-9x+x'-x; откуда получим уравнение x''-2x'+10x=0. Это однородное уравнение с постоянными коэффициентами. Составляем характеристическое уравнение: r2-2r+10=0, откуда r1=1+3i, r2=1-3i. Общее решение уравнения запишется в виде
x(t)=et(C1cos 3t+C2sin 3t).
Теперь подставив полученное решение в первое уравнение, получим y=x/3-x'/3=et(C1cos 3t+C2sin 3t)/3-
-et(C1cos 3t+C2sin 3t)/3-et(3C2cos 3t-3C1< /sub>sin 3t)/3=
=et(-C2cos 3t+C1sin 3t).
Используем теперь начальные условия: x(0)=1 -> C1=1; y(0)=2 -> C2=-2
Итак, получим частное решение системы уравнений:
x(t)=et(cos 3t-2sin 3t),
y(t)=et(2cos 3t+sin 3t).

Ответ отправил: Саныч (Профессионал)
Ответ отправлен: 29.03.2011, 18:08
Номер ответа: 266449
Россия, Самара
Абонент Skype: valera_kuz47

Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 266449 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:

    • Отвечает Орловский Дмитрий (Академик) :
    Здравствуйте, alya_koshka!
    Решение первого уравнения:
    y'=(x+3y)/(3x-y) (однородное уравнение)

    Переходим к переменной z=y/x ---> y=zx
    z'x+z=(x+3zx)/(3x-zx)
    z'x+z=(1+3z)/(3-z)
    z'x=(1+3z)/(3-z)-z
    z'x=(1+z2)/(3-z)
    (3-z)dz/(1+z2)=dx/x

    После интегрирования получаем
    3arctg z-0.5ln(1+z2)=ln|x|+const

    Возвращаясь к переменной y, получаем
    3arctg(y/x)-0.5ln((x2+y2)/x2)=ln|x|+const
    3arctg(y/x)-0.5ln((x2+y2)+ln|x|=ln|x|+const
    3arctg(y/x)-0.5ln(x2+y2)=const
    Ответ: 3arctg(y/x)-0.5ln(x2+y2)=C

    Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Академик)
    Ответ отправлен: 29.03.2011, 19:35
    Номер ответа: 266451
    Россия, Москва
    Организация: МИФИ

    Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 266451 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:

    • Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) :
    Здравствуйте, alya_koshka!

    Рассмотрим первое уравнение.

    Пусть (3x - y)y´= x + 3y. Выполним следующие преобразования этого уравнения:
    (3x - y)dy = (x + 3y)dx,
    (x + 3y)dx - (3x - y)dy = 0. (1)
    Получили уравнение вида P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0, где P(x, y) = x + 3y, Q(x, y) = 3x - y.

    При этом
    P(ax, ay) = ax + 3ay = a(x + 3y) = aP(x, y),
    Q(ax, ay) = 3ax - ay = a(3x - y) =aQ(x, y),
    следовательно, P(x, y) и Q(x, y) - однородные функции первого измерения, а уравнение (1) (а с ним и исходное уравнение) - однородное дифференциальное уравнение.

    Положим y = ux. Тогда dy = xdu + udx, и из уравнения (1) получим
    (x + 3ux)dx - (3x - ux)(xdu + udx) = 0,
    xdx + 3uxdx - 3x2du - 3uxdx + ux2du + u2xdx = 0,
    xdx + u2xdx - 3x2du + ux2du = 0,
    x(u2 + 1)dx - x2(3 - u)du = 0,
    x(u2 + 1)dx = x2(3 - u)du,
    dx/x = (3 - u)/(u2 + 1) ∙ du. (2)

    Так как
    ∫dx/x = ln |x| (постоянную интегрирования опускаем),
    ∫(3 - u)/(u2 + 1) ∙ du = 3∫du/(u2 + 1) - ∫udu/(u2 + 1) = 3∫du/(u2 + 1) - 1/2 ∙ ∫2udu/(u2 + 1) = 3∫du/(u2 + 1) - 1/2 ∙ ∫d(u2 + 1)/(u2 + 1) =
    = 3 ∙ arctg u - 1/2 ∙ ln (u2 + 1) (постоянную интегрирования опускаем),
    то после интегрирования уравнения (2) получим
    ∫dx/x = ∫(3 - u)/(u2 + 1) ∙ du,
    ln |x| = 3 ∙ arctg u - 1/2 ∙ ln (u2 + 1) + C,
    ln |x| - 3 ∙ arctg u + 1/2 ∙ ln (u2 + 1) = C,
    ln |x| - 3 ∙ arctg (y/x) + 1/2 ∙ ln ((y/x)2 + 1) = C - общий интеграл исходного уравнения.

    С уважением.
    -----
    Пусть говорят дела

    Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
    Ответ отправлен: 29.03.2011, 20:05
    Номер ответа: 266453
    Беларусь, Минск

    Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 266453 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:

    • Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Калашников О.А. | Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2011.6.31 от 03.04.2011
    В избранное