Вопрос № 163220: помогите пожалуйста, знаю что вопросы не трудные, но никак не могу решить: 1) lim (ln (1-7x)/cos (П(х+7)) х стремится к 0 не знаю как с интегралом решать и как применить формулу приведения 2) lim (1-cos2x)/(cos7x-cos3x) x стрем...
Вопрос № 163228: Помогите, пожалуйста, решить пример: arctg6 + arctg(23/27) + arctg(-5/3) Спасибо за внимание!...Вопрос № 163230: Еще 2 вопроса:
1) Найти частные решения линейного диф уравнения , удовлетворяющего заданным начальным условиям: y''+y'-1+cos x, y(0)=2, y'(0)=1 2) Исследовать сходимость ряда (признак Лейбница): сумма (от n=2 до бескон...Вопрос № 163237: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Помогите, пожалуйста, решить уравнение: 2 + cosх = √3|sin(3x/4)|sinx Читается так: два плюс косинус икс равно корень из трёх умноженное на модуль с
инуса трёх икс делённое на четыре умноженное на с...Вопрос № 163266: Здравствуйте ! помогите пожалуйста решить неопределенный интеграл, S ((х3-1)/х2-2х-3) dx, не знаю что делать с числителем, пыталась сделать замену в знаменателе (х-1=t) yj ничего не получилось...
Вопрос № 163.220
помогите пожалуйста, знаю что вопросы не трудные, но никак не могу решить:
1) lim (ln (1-7x)/cos (П(х+7)) х стремится к 0 не знаю как с интегралом решать и как применить формулу приведения
2) lim (1-cos2x)/(cos7x-cos3x) x стремится к 0 тут знаю что первый замеч. предел, но как его тут применить?
Отвечает: Botsman
Здравствуйте, Биндер Мария! Помогаю со второй задачей. Используем формулу разности косинусов: cosx-cosy=-2*sin((x+y)/2)*sin((x-y)/2) а также формулы: cos2x=cos2x-sin2x cos2x+sin2x=1
Редактирование Удаление двойных копии строк в ответе по просьбе автора ответа эксперта Botsman
--------
∙ Отредактировал: ValeryN, Профессор
∙ Дата редактирования: 25.03.2009, 15:06 (время московское)
--------- Хочешь победить Excel? Спроси меня как! ;)
Ответ отправил: Botsman (статус: Студент)
Ответ отправлен: 25.03.2009, 13:17
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 246047 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Отвечает: Бизин Михаил Анатольевич
Здравствуйте, Болдырев Тимофей Игоревич! Не знаю, как насчёт решить, но упростить можно. Воспользуемся выражением: tg(a+b)=(tg(a)+tg(b))/(1-tg(a)*tg(b)) Употребим к нашему случаю: tg(arctg(x)+arctg(y))=(x+y)/(1-x*y) получаем arctg(x)+arctg(y)=arctg((x+y)/(1-x*y)) Вычисляем сумму первых двух слагаемых arctg(6)+arctg(23/27)=arctg((6+23/27)/(1-6*23/27))=arctg(-5/3) Добавляем третье слагаемое arctg(-5/3)+arctg(-5/3)=arctg((-5/3-5/3)/(1-(-5/3)*(-5/3)))=arctg(15/8) Ответ: arctg(15/8)
Отвечает: Botsman
Здравствуйте, Биндер Мария! Помогаю с первой задачей.
y''+y'-1 +cosx =0, y(0)=2, y'(0)=1 Преобразуем: y''+y'+ 0y = 1-cosx Имеем линейное неоднородное дифференциальное уравнение (ЛНДУ) 2-го порядка с постоянными
коэффициентами. Значит общее решение Yон есть сумма Yoo общего решения однородного
дифференциального уравнения (ОДУ) y''+y'+ 0y=0 и некоторого Yчн частного решения
неоднородного. {теория здесь: http://www.exponenta.ru/educat/class/courses/ode/theme10/theory.asp} Найдем
общее решение ОДУ. Характеристическое уравнение: λ2+λ+0=0. Решая квадратное уравнение, находим λ1=0 λ2=-1 Поскольку λ1≠λ2, общее решение ОДУ имеет вид Y(x)=C1eλ1x+C2eλ2x. Т.е. y(x)=C1e0x+C2e(-1)x=C1+C2e-x Правая часть состоит из двух слагаемых, притом структура этих слагаемых различна:
второе
содержит функцию cosβx, а первое - нет (точнее содержит, но β=0). Поэтому воспользуемся
теоремой о наложении решений {Если Yчн1(x) - частное решение неоднородного уравнения
Ln(y) = f1(x), yчн2(x) - частное решение неоднородного уравнения Ln(y) = f2(x), то
функция f(x)=α1Yчн1(x)+α2Yчн2(x) является частным решением неоднородного уравнения
Ln(y)=α1f1(x)+α2f2(x)} и будем искать 2 частных решения,т.е. Yчн=Yчн1+Yчн2. a) Y''чн1+Y'чн1=1
Поскольку λ1=0, Yчн1 ищем в виде Yчн1 = Ax.Y'чн1=A, Y''чн1=0. Подставляем: 0+A=1. A=1, т.е. Yчн1=x б) Y''чн2+Y'чн2=-cosx Поскольку число iβ=i не является корнем характеристического уравнения,Yчн2 ищем в виде Yчн2=Acosx+Bsinx Y'чн2 = -Asinx+Bcosx Y''чн2= -Acosx-Bsinx Подставим рассчитанные выражения в исходное уравнение -Acosx-Bsinx-Asinx+Bcosx=-cosx (B-A)cosx-(B+A)sinx = -cosx Пр
иравнивая соответствующие коэффициенты при sin и cos, получим систему B-A=-1, B+A=0. Отсюда A=0.5, B=-0.5. т.е. Yчн2=0.5cosx-0.5sinx Значит, Yчн=x+0.5cosx-0.5sinx Теперь запишем общее решение исходного ЛНДУ: Yон=C1+C2e-x+x+0.5cosx-0.5sinx Найдем C1 и С2, удовлетворяющие начальным условиям y(0)=2, y'(0)=1 Подставляем Yон=2 и x=0: 2=C1+C2+0.5, т.е.C1+C2=1.5(1) Найдем Y'он=-C2e-x+1-0.5sinx-0.5cosx Подставляем Y'он=1 и x=0: 1=-C2+1-0.5 Отсюда С2=-0.5.
Подставляя в (1) найдем C1=2. Значит искомое решение имеет вид. Y=2-0.5e-x+x+0.5cosx-0.5sinx Все. Рад был помочь!
--------- Хочешь победить Excel? Спроси меня как! ;)
Ответ отправил: Botsman (статус: Студент)
Ответ отправлен: 26.03.2009, 12:13
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 246113 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Отвечает: Izmtimur
Здравствуйте, Болдырев Тимофей Игоревич! Будем обозначать квадратный корень числа a как sqrt(a). Уравнение с учетом этого замечания запишется следующим образом: 2+cos(x)= sqrt(3)*|sin(3*x/4)|*sin(x) (1) Сразу заметим, что cos(x)>=-1 (>= означает "больше или равно"), отсюда 2+cos(x)>=1>0, в правой же части стоит прозведение трех чисел, два из которых - неотрицательны (квадратный корень и модуль). Следовательно, sin(x)>0. Это понадобится нам в дальнейшем. Разделим обе части
уравнения на 2: 1+(1/2)*cos(x)= (sqrt(3)/2)*|sin(3*x/4)|*sin(x) Перенесем 1 в правую часть и домножим обе части на -1: (1/2)*cos(x)= -1+(sqrt(3)/2)*|sin(3*x/4)|*sin(x) -(1/2)*cos(x)= 1-(sqrt(3)/2)*|sin(3*x/4)|*sin(x) Прибавим к обеим частям (sqrt(3)/2)*sin(x): (sqrt(3)/2)*sin(x)-(1/2)*cos(x)= 1-(sqrt(3)/2)*|sin(3*x/4)|*sin(x)+(sqrt(3)/2)*sin(x) (2) 1) Рассмотрим левую часть полученного равенства. Так как cos(pi/6)=sqrt(3)/2, а sin(pi/6)=1/2, то ее мож
но переписать так: (sqrt(3)/2)*sin(x)-(1/2)*cos(x)= sin(x)*cos(pi/6)-cos(x)*sin(pi/6) Полученное выражение - синус разности: sin(alpha-beta)=sin(alpha)*cos(beta)-cos(alpha)*sin(beta) Итак, sin(x)*cos(pi/6)-cos(x)*sin(pi/6)=sin(x-(pi/6)) Как известно, sin(x-(pi/6)) <=1 2) Теперь рассмотрим правую часть равенства (1): 1-(sqrt(3)/2)*|sin(3*x/4)|*sin(x)+(sqrt(3)/2)*sin(x) =1-(sqrt(3)/2)*sin(x)*|sin(3*x/4)|+(sqrt(3)/2)*sin(x) =1+(sqrt(3)/2)*sin(x)*(1-|sin(3*x/4)|) Так как -1<=sin(3*x/4)<=1,
то |sin(3*x/4)|<=1, отсюда 1-|sin(3*x/4)|>=0; sqrt(3)/2>0, sin(x)>0 (см. выше). Поэтому (sqrt(3)/2)*sin(x)*(1-|sin(3*x/4)|) >=0 1+(sqrt(3)/2)*sin(x)*(1-|sin(3*x/4)|) >=1 Уравнение (после всех приведенных выше преобразований) запишется так: sin(x-(pi/6)) =1+(sqrt(3)/2)*sin(x)*(1-|sin(3*x/4)|) Левая часть уравнения оказывается не больше 1, правая - не меньше 1 (см. выше). Следовательно, равенство достигается, только когда обе ч
асти в точности равны 1: 1) sin(x-(pi/6)) =1 x-(pi/6) =(pi/2)+2*pi*n, где n - целое число x =(2*pi/3)+2*pi*n, где n - целое число 2) 1+(sqrt(3)/2)*sin(x)*(1-|sin(3*x/4)|) =1 (sqrt(3)/2)*sin(x)*(1-|sin(3*x/4)|) =0 Т.к. sin(x)>0 (знак строгий), то 1-|sin(3*x/4)|=0 |sin(3*x/4)|=1 sin(3*x/4)=(+/-)1 (знак (+/-) означает "плюс-минус") 3*x/4 =(pi/2)+pi*k, где k - целое число x =(2*pi/3)+(4/3)*pi*k, где k - целое число Мы получили 2 набора корней. Решения исходного
уравнения - это пересечение этих наборов (так как обе части уравнения должны быть равны 1 одновременно): (2*pi/3)+2*pi*n =(2*pi/3)+(4/3)*pi*k 2*pi*n =(4/3)*pi*k n =(2/3)*k 3*n =2*k Решениями данного уравнения будут являться числа n и k вида: n=2*m, k=3*m, где t - целое число Тогда корни исходного уравнения будут представляться в виде набора (полученного в результате подстановки в формулу для первого набора найденного значения n=2*m): x =(2*pi/3)+2
*pi*n= (2*pi/3)+2*pi*(2*m)= (2*pi/3)+4*pi*m, где m - целое число Отметим, что все числа из полученного набора удовлетворяют условию sin(x)>0. Ответ: x =(2*pi/3)+4*pi*m, где m - целое число.
Ответ отправил: Izmtimur (статус: 3-й класс)
Ответ отправлен: 25.03.2009, 22:22
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 246071 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо!!! Сам бы наверное никогда не решил!
Вопрос № 163.266
Здравствуйте ! помогите пожалуйста решить неопределенный интеграл, S ((х3-1)/х2-2х-3) dx, не знаю что делать с числителем, пыталась сделать замену в знаменателе (х-1=t) yj ничего не получилось
Отправлен: 25.03.2009, 21:46
Вопрос задала: JuliaSH (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)
Отвечает: Ulitka71
Здравствуйте, JuliaSH! Можно воспользоваться методом деления многочленов в столбик. Тогда получим: (х3-1)/(х2-2х-3)=(х+2) + (7х+5)/(х2-2х-3) Дальше разложением знаменателя на множители все это превращается при интегрировании в многочлен плюс логарифмы.
Ответ отправил: Ulitka71 (статус: 10-й класс)
Ответ отправлен: 26.03.2009, 10:47
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 246103 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Отвечает: Kalinka-a
Здравствуйте, JuliaSH!
Не получилось у вас потому, что дробь, которую интегрируем, - неправильная и, следовательно, сначала нужно разделить числитель на знаменатель, а потом интегрировать.
int( (x^3-1)/(x^2-2x-3) ) = int( x+2+(7x+5)/(x^2-2x-3) )=(x^2)/2+2x+7/2 * int( (2x-2)/(x^2-2x-3) ) + 12int( 1/(x^2-2x-3) )={в первом интеграле делаем замену x^2-2x-3=t, (2x-2)dx=dt; во втором интеграле в знаменателе выделяем полный квадрат}=(x^2)/2+2x+7/2 * int( 1/t ) + 12int( 1/[(x-1)^2 - 4] )={оба полученных
интеграла - табличные}=(x^2)/2+2x+7/2 * ln|t|+12/4 * ln| (x-1-2)/(x-1+2) | + C=(x^2)/2+2x+7/2 * ln| x^2-2x-3 |+3ln| (x-3)/(x+1) | + C
Ответ отправила: Kalinka-a (статус: 3-й класс)
Ответ отправлен: 26.03.2009, 11:04
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 246106 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!
Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
на короткий номер 1151 (Россия)
Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.