Вопрос № 162359: Здравствуйте, Уважаемые эксперты! <img src="http://rusfaq.ru/images/Forum/10.gif" border="0"> Периодическая нечетная функция y=f(x) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 4, и на отрезке [0;2] функция задана формулой f(x)=x*x*x...
Вопрос № 162366: Вычислить определенный интеграл ∫_a^bf(x)dx с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его
почленно. ∫_0^0.5 arctg x^2 dx ...Вопрос № 162367: Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье. f(x)=|x| в интервале (-pi;pi) ...Вопрос № 162368: Найти общее решение дифференциального уравнения. xy'-y= sqrt(x^2+y^2 ) ...Вопрос № 162369: Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x) ,
удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y_0, y'(0)=y'_0 ...
Вопрос № 162.359
Здравствуйте, Уважаемые эксперты! Периодическая нечетная функция y=f(x) определена для всех действительных чисел. Ее период равен 4, и на отрезке [0;2] функция задана формулой f(x)=x*x*x-3x*x+2x. Определите количество корней уравнения f(x)=0 на отрезке [-1;5].
На отрезке [0; 2] корнями уравнения f(x) = 0 являются числа 0, 1, 2. В силу нечетности функции корнями уравнения f(x) = 0 на интервале [-2; 0[ являются числа вида -2, -1. То есть на отрезке [-2; 2], длина которого равна ее периоду T = 4 (надо полагать, наименьшему), корнями будут числа 0, ±1, ±2.
В силу периодичности функции корнями уравнения
f(x) = 0 являются числа вида 0 + 4k, ±1 + 4k, ±2 + 4k, k – целое число.
Тогда на отрезке [-1; 5] находятся корни -1, 0, 1, 2, -1 + 4∙1 = 3, 0 + 4∙1 = 4, 1 + 4∙1 = 5, то есть семь корней.
#thank 245361 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 162.366
Вычислить определенный интеграл ∫_a^bf(x)dx с точностью до 0.001, разложив подынтегральную функцию в степенной ряд и затем проинтегрировать его почленно. ∫_0^0.5 arctg x^2 dx
Разложение в ряд МакЛорена имеет вид arctgx=Sum_1^беск ( (-1)^(n-1) * x^(2n-1) / (2n-1) ) - читай: сумма по n от 1 до бесконечности от дроби, в числителе которой произведение (-1)^(n-1) и x^(2n-1), в знаменателе - 2n-1.
Тогда разложение функции arctgx^2=Sum_1^беск ( (-1)^(n-1) * x^(4n-2) / (2n-1) )
∫_0^0.5 arctg x^2 dx= ∫_0^0.5 Sum_1^беск ( (-1)^(n-1) * x^(4n-2) / (2n-1) ) dx = Sum_1^беск ( (-1)^(n-1) * x^(4n-1) / (2n-1)/(4n-1) ) | 0^0.5 = =
x^3/3 +x^7/2^7/7/3 + ... = {точность обеспечивается уже первым слагаемым, т.к. второе существенно меньше 0.001} = 1/2^3/3 = 0.4167
Ответ отправила: Kalinka-a (статус: 3-й класс)
Ответ отправлен: 14.03.2009, 14:15
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 245333 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 162.367
Разложить данную функцию f(x) в ряд Фурье. f(x)=|x| в интервале (-pi;pi)
Отвечает: Botsman
Здравствуйте, Hellphoenix! Формула для разложения функции f(x) в ряд Фурье на отрезке [-π,π]: f(x)~a0/2+∑k=1∞(akcoskx+bksinkx) Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье вычисляют по формулам: ak=1/π*∫-ππf(x)coskxdx bk=1/π*∫-ππf(x)sinkxdx
В вашем случае f(x) = |x|. Тогда a0=1/π*∫-ππ|x|cos0xdx= 1/π*∫-ππ|x|dx= 1/π*∫-π0(-x)dx+1/π*∫0πxdx= 1/π*2*1/2*π2=π
Для
k>0 имеем: ak=1/π*∫-ππ|x|coskxdx= {интегрируем по частям по формуле ∫udv=uv-∫vdu. Положим u=|x|,dv=coskxdx, тогда v=1/k*sinkx
, u=-1, при x<0, u=1, при x≥0 }= 1/π*|x|*1/k*sinkx|-ππ-1/π*(∫-π0(-1/k*sinkx)dx+∫0
Отвечает: Влaдимир
Здравствуйте, Hellphoenix! Это однородное уравнение и переменные можно разделитьзаменой u =y/x. Подстановка выражения для u в уравнение дает:
x^2*u' + x*u - x*u = x*sqrt(1 + u^2)
или после простых преобразований
u'/sqrt(1 + u^2) = 1/x.
Интегрируя обе части уравения получаем
arsh(u) = ln(x) + C, где С - произвольная постоянная.
Возвращаясь к y окончательно имеем общее решение уравнения, заданное неявной функцией
arsh(y/x) - ln(x) = C. Удачи!
Ответ отправил: Влaдимир (статус: 4-й класс)
Ответ отправлен: 14.03.2009, 19:14
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 245355 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 162.369
Найти частное решение дифференциального уравнения y''+py'+qy=f(x) , удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y_0, y'(0)=y'_0
Отвечает: Kalinka-a
Здравствуйте, Hellphoenix! Т.к. ваше задание является общим стандартным уравнением, спишите теорию отсюда http://www.reshebnik.ru/solutions/5/16/
Ответ отправила: Kalinka-a (статус: 3-й класс)
Ответ отправлен: 14.03.2009, 14:07
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 245332 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!
Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
на короткий номер 1151 (Россия)
Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
