Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Май 2010   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
13.05.2010
04:11:26
16:39:03
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный ХОСТИНГ на базе Linux x64 и Windows x64

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Академик
Рейтинг: 5688
∙ повысить рейтинг » 		Гаряка Асмик
Статус: Специалист
Рейтинг: 3880
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: Студент
Рейтинг: 2328
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1211
Дата выхода:25.05.2010, 11:30
Администратор рассылки:Лысков Игорь Витальевич, Модератор
Подписчиков / экспертов:149 / 157
Вопросов / ответов:2 / 2

Вопрос № 178510: Доброго времени суток. Помогите пожалуйста решить следующую задачу: ...

Вопрос № 178515: найти три первых отличных от нуля члена разложения в ряд маклорена функции 1/cos x...
Вопрос № 178510:

Доброго времени суток.
Помогите пожалуйста решить следующую задачу:

Отправлен: 19.05.2010, 23:03
Вопрос задал: Lola, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант :
Здравствуйте, Lola.

Обозначим

J(a,b)=∫0∞ (arctg(a*x)*arctg(b*x)/x2) dx

Т.к. arctg(-y)=-arctg(y)

J(0,b)=J(a,0)=J(0,0)=0
J(-a,b)= -J(a,b) = J(a,-b)
J(-a,-b)=J(a,b)
учитывая эти свойства, можно принять a > 0 и b > 0

Продифференцируем J(a,b) по a:

J'a=(∫0∞ (arctg(a*x)*arctg(b*x)/x2) dx)'a=∫0∞ (arctg(b*x)*x)/(x2*(1+a2*x2)) dx=∫0∞ arctg(b*x)/(x*(1+a2*x2)) dx
при этом J'a(a,0)=0

J'a(a,b) продифференцируем по b:

J''ab=∫0∞1/((1+a2*x2)*(1+b2*x2)) dx

этот интеграл можно вычислить:

1/((1+a2*x2)*(1+b2*x 2))=(a2/(a2-b2))*(1/(1+a2*x2)) - (b2/(a2-b2))*(1/(1+b2*x2))
(это можно найти методом неизвестных коэффициентов)
J''ab=∫0∞ (a2/(a2-b2)*(1/(1+a2*x2))dx - ∫0∞ (b2/(a2-b2))*(1/(1+b2*x2))dx=a2/(a2-b2))*arctg(a*x)|0∞ - b2/(a2-b2))*arctg(b*x)|0∞=(Pi/2)*(a-b)/(a2-b2)=(Pi/2)/(a+b)

J'a(a,b)=∫(Pi/2)/(a+b) db=(Pi/2)*ln(a+b)+C1, C1 - const
Т.к. J'a(a,0)=0 получим
(Pi/2)*ln(a+0)+C1=0 -> C1= -(Pi/2)*ln(a)
J'a(a,b)=(Pi /2)*(ln(a+b)-ln(a))=(Pi/2)*ln((a+b)/a)

J(a,b)=∫((Pi/2)*ln((a+b)/a)) da = (Pi/2)*(∫ln(a+b)da-∫ln(a)da)=(Pi/2)*[(a+b)*(ln(a+b)-1) - a*(ln(a)-1)]+C2=(Pi/2)*[ln(a+b)a+b-ln(aa)-b]+C2, C2 - const
lima->0 aa=1
J(0,b)=(Pi/2)*[ln(0+b)0+b-ln(lima->0 aa)-b]+C2=(Pi/2)*[ln(bb)-b]+C2=0
C2= -(Pi/2)*[ln(bb)-b]
Окончательно получим:
J(a,b)=(Pi/2)*[ln(a+b)a+b-ln(aa)-b] - (Pi/2)*[ln(bb)-b]=(Pi/2)*[ln(a+b)a+b-ln(aa*bb)=(Pi/2)*ln((a+b)a+b/(aa*bb))

Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант
Ответ отправлен: 22.05.2010, 20:32
Номер ответа: 261573

Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 261573 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:

    • Вопрос № 178515:

    найти три первых отличных от нуля члена разложения в ряд маклорена функции 1/cos x

    Отправлен: 20.05.2010, 11:26
    Вопрос задал: Лиса
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »

    Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант :
    Здравствуйте, Лиса.

    f(x)=1/cos(x)
    Ряд Маклорена:

    f(x)=∑k=0∞ f(k)(o)*xk/k!

    k=0
    f(0)=1/cos(0)=1
    k=1
    f'(x)=(1/cos(x))'=sin(x)/cos2(x)
    f'(0)=0
    k=2
    f''(x)=(sin(x)/cos2(x))'=(cos(x)*cos2(x)-sin(x)*2*cos(x)*(-sin(x)))/cos4(x)=1/cos(x)+2*sin2(x)/cos3(x)
    f''(0)=1
    k=3
    f(3)(x)=(1/cos(x)+2*sin2(x)/cos3(x))'=sin(x)/cos2(x)+(4*sin(x)*cos4(x)+6*sin3(x)*cos2(x))/cos6(x)=5*sin(x)/cos2(x)+6*sin3(x)/cos4(x)
    f(3)(0)=0
    k=4
    f(4)(x)=(5*sin(x)/cos2(x)+6*sin3(x)/cos4(x))'=24*sin4(x)/cos5(x)+28*sin2(x)/cos3(x)+5/cos(x)
    f(4)(0)=5

    Получим
    f(x )=1+x2/2!+5*x4/4!+... или

    f(x)=1+x2/2+5*x4/24+...

    Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Практикант
    Ответ отправлен: 20.05.2010, 15:25
    Номер ответа: 261522

    Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 261522 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:

    • Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2010.6.15 от 18.05.2010
    В избранное