RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 178091: Здравствуйте,помогите пожайлуста решить. Определить и уточнить методом Ньютона корень уравнения x^3-(0+1)x^2+(1+1)x-(8+1)=0 С точностью =0,005... Вопрос № 178091:
Здравствуйте,помогите пожайлуста решить.
Отправлен: 29.04.2010, 03:16 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор : Здравствуйте, Лялюшкин Юрий Николаевич. Пусть дано уравнение x3 – x2 + 2x – 9 = 0. Рассмотрим функцию f(x) = x3 – x2 + 2x – 9. Производная этой функции f’(x) = 3x2 – 2x + 2. Найдем значения переменной x, при которых f’(x) = 0: 3x2 – 2x + 2 = 0, D = (-2)2 – 4 ∙ 3 ∙ 2 = -20 < 0, значит, ни при каких действительных значениях переменной x производная не обращается в нуль. Поскольку функция f(x) определена на всей действительной оси, а ее производная f’(x) всюду положительна, то f(x) – монотонно возрастающая функция, которая может иметь не более одного нуля. Задаваясь рядом значений переменной x, устанавливаем, что, например, f(2) = -1 < 0, f(3) = 15 > 0. Поэтому функция f(x) принимает нулевое значение на отрезке [2; 3]. Вторая производная f”(x) = 6x – 2 положительна на этом отрезке. Получаем a = 2, b = 3. Поскольку функция f(x) возрастает на этом отрезке, а вторая производная f”(x) положительна на нем, то касательную нужно проводить в точке z = b = 3, где f(b) = f(3) = 15 > 0. Определим точку пересечения касательной и оси абсцисс. Имеем f’(z) = f’(b) = f’(3) = 3 ∙ 32 – 2 ∙ 3 + 2 = 23, c = z – f(z)/f’(z) = 3 – 15/23 = (69 – 15)/23 = 54/23 ≈ 2,34783. Находим далее f(c) = f(2,34783) = (2,34783)3 – (2,34783)2 + 2 ∙ 2,34783 – 9 ≈ 3,12531 > 0. Таким образом, новую касательную проведем в точке с = 2,34783. Имеем a = 2, b = 2,34783, f’(2,34783) = 3 ∙ (2,34783)2 – 2 ∙ 2,34783 + 2 ≈ 13,8413, с = 2,34783 – 3,12531/13,8413 ≈ 2,12203, ε = |2,12203 – 2,34783| = 0,2258 > 0,005, f(c) = f(2,12203) = (2,12203)3 – (2,12203)2 + 2 ∙ 2,12203 – 9 ≈ 0,29657 > 0. Имеем a = 2, b = 2,12203, f’(2,12203) = 3 ∙ (2,12203)2 – 2 ∙ 2,12203 + 2 ≈ 11,2650, с = 2,12203 – 0,29657/11,2650 ≈ 2,09570, ε = |2,09570 – 2,12203| = 0,02633 > 0,005, f(c) = f(2,09570) = (2,09570)3 – (2,09570)2 + 2 ∙ 2,09570 – 9 ≈ 0,00367 > 0. Имеем a = 2, b = 2,09570, f’(2,09570) = 3 ∙ (2,09570)2 – 2 ∙ 2,09570 + 2 ≈ 10,9845, с = 2,09570 – 0,00367/10,9845 ≈ 2,09537, ε = |2,09537 – 2,09570| = 0,00033 < 0,005. Требуемая точность достигнута. Вычисления можно прекратить. Округляя, принимаем x = 2,0954. Ответ: 2,0954. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.14 от 03.03.2010 |
| В избранное | ||
