RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 177940: Добрый день, уважаемые эксперты, помогите пожалуйста доказать полноту пространства С([a,b]).... Вопрос № 177941: Сумма квадратов корней уравнения x3 - ax2 +7x-5=0 (a>0) равно -5. Найдите все корни уравнения.... Вопрос № 177949: Тема комплексные числа. Решите уравнение 2z6-2(1-i)z3-(1+i)2=0... Вопрос № 177951: Найдите наименьшее и наибольшее расстояния от точки, изображающей комплексное число z=3+3i, до точек z таких, что 2|z|<=|z-3|.... Вопрос № 177940: Добрый день, уважаемые эксперты, помогите пожалуйста доказать полноту пространства С([a,b]).
Отправлен: 19.04.2010, 22:01 Отвечает Александр Р. Воронцов, 2-й класс : Здравствуйте, Катя Лапшенкова. Множество Х называется метрическим пространством, если каждой паре его элементов х и y поставлено в соответствие неотрицательное вещественное число p(x,y), удовлетворяющее трем аксиомам 1)p(x,y)=0 <=> x=y тождества 2)p(x,y)=p(y,x) симметрии 3)p(x,y)+p(y,z) > или = p(x,z) треугольника. такое число называется расстоянием между точками x и y, перечисленные три условия аксиомами метрики факт: последовательность Xn(t) при каждом фиксированном t это числовая последовательность, поэтому можно использовать метрику пространства R^1 p(x,y)= |x-y| , в пространстве функций работают с метрикой Чебышёва sup[t]|X(t)-Y(t)| и др. Следуя Люстернику, докажем, что такая метрика удовлетворяет аксиомам. 1) 0 не превосходит p(x,y) и бывает лишь при x=y. 2)модуль. 3)для каждого t из [a,b] имеем |x(t)-z(t)|=|[x(t)-y(t)]+[y(t)-z(t)]| не превосходит |x(t)-y(t)|+|y(t)-z(t)|, что не превосходит max[t]|x(t)-y(t)|+max[t ]|y(t)-z(t)|=p(x,y)+p(y,z). Метрическое пространство (M, ρ) называется полным, если любая его фундаментальная последовательность сходится к элементу этого пространства. Последовательность {Xn} точек метрического пространства называется фундаментальной, если для любого числа е>0 найдется номер N такой, что для любых натуральных n, m больше этого номера p(Xn,Xm)<e Последовательность функций Хn (t) (n = 1, 2, ...) называется равномерно сходящейся на данном множестве к предельной функции X(t), если для каждого e > 0 существует такое N(e), что p(Xn,X) < e при n > N(e) сразу для всех точек t из данного множества. Пусть дана фундаментальная последовательность {Xn(t)}, где каждый из ее элементов Xn(t) n=1,2,... из пространства непрерывных функций на нашем отрезке. По определению фундаментальной последовательности, для любого е>0 найдется такой N, что (*) p(Xn,Xm)=|Xn(t)-Xm(t)|<e при всех n,m> N и всех t из [a,b] (ка ждый из элементов последовательности из пространства непрерывных функций на [a,b]) Критерий Коши. Для того чтобы функциональная последовательность Xn(t) сходилась равномерно на множестве {x} к некоторой предельной функции необходимо и достаточно, чтобы для любого e>0 нашелся номер N(e) такой, что |Xn+p(t) - Xn(t)|<e для всех натуральных p и n>N и всех t из [a,b] (доказательство см. в 3 стр 18). Легко видеть, что из (*) следует равномерная сходимость. Действительно, пусть m>n тогда |Xn(t)-Xn+p(t)|<e для натуральных p и всех t из [a,b] Теорема(сравните 4, стр 467). Пусть функции Xn(t) определены в [a,b] и все непрерывны в некоторой точке t=t0 этого промежутка. Если Xn в этом промежутке сходится равномерно, то и предельная функция в точке t0 будет непрерывна. Пусть X(t) предел последовательности {Xn(t)} =>X(t) также непрерывна на [a,b] Устремив m к бесконечности, получим |Xn(t )-X(t)|<e при каждом фиксированном t из [a,b] и для всех n>N . Поэтому p=sup[t из [a,b]]|Xn(t)-X(t)|<e , что значит {Xn(t)} сходится к X(t) в смысле метрики пространства C[a,b] Доказательство теоремы. Фихтенгольц формулирует ее для рядов, но доказательство хорошо переносится. Теорема не является необходимым условием. (=>) При натуральном n и каждом фиксированном t из [a,b] можно представить X(t)=Xn(t)+Yn(t) и, в частности, X(t)=Xn(t0)+Yn(t0) (**) Откуда |X(t)-Х(t0)| не превосходит |Xn(t)-Xn(t0)|+|Yn(t)|+|Yn(t0)| Пусть e>0 Ввиду равномерной сходимости последовательности можно фиксировать номер n так, чтобы неравенство |Yn(t)|<e выполнялось для всех значений t из [a,b]. При фиксированном n, Хn(t) непрерывная функция t, например в t0. По заданному e>0 найдется k>0 такое, что при всех t л ишь только |t-t0|<k => |Xn(t)-Xn(t0)|<e Из ** Заключаем, что |t-t0|<k => |X(t)-X(t0)|<3e это верно для любого t0 из [a,b] Надеюсь, грубых ошибок не допустил. Всего доброго!
Переписал по просьбе эксперта, чтобы отработали тэги BBCode
----- ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич, Модератор ∙ Дата редактирования: 21.04.2010, 01:51 (время московское)
Приложение:
Ответ отправил: Александр Р. Воронцов, 2-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 177941:
Сумма квадратов корней уравнения
Отправлен: 19.04.2010, 22:16 Отвечает vitalkise, 6-й класс : Здравствуйте, John_the_Revelator. Обозначим корни заданного уравнения через x1, x2 и x3. Тогда по формулам Виета: x1 + x2 +x3 = -a1/a0, x1x2 + x1x3 + x2x3 = a2/a0, x1x2x3 = (–1)na3/a0. Для нашего случая имеем: x1 + x2 +x3 = a x1x2 + x1x3 + x2x3 = 7 x1x2x3 = 5 А также по условию x12 + x22 +x32= - 5 Для решения воспользуемся соотношение: x12 + x22 + x32 = (x1 + x2 +x3)2 – 2(x1x2 + x1x3 + x2x3) Тогда получаем: a2= - 5 + 2*7 a2= 9 a1= 3 a2= - 3 По условию a>0 значит a = 3 Получаем x3-3x2+7x-5=0 Очевидно решение x1=1 Разделим наше уравнение на (x-1) получим x2-2x+5 (x2-2x+5)(x-1)=0 Решаем данное квадратное уравнение: действительных корней не имеет, т.к. Д= - 16 получаем два комплексных корня x2=1+2i x3=1- 2i Ответ: имеем один действительный корень x1=1 и два комплексных x2=1+2i x3=1- 2i
Ответ отправил: vitalkise, 6-й класс
Вопрос № 177949:
Тема комплексные числа.
Отправлен: 19.04.2010, 23:31 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Студент : Здравствуйте, John_the_Revelator. 2*z6-2*(1-i)*z3-(1+i)2=0 (1+i)2=12+2*1*i+i2=2*i (***) 2*z6-2*(1-i)*z3-2*i=0 z6-(1-i)*z3-i=0 y=z3 y2-(1-i)*y-i=0 D=(1-i)2-4*1*(-i)=2*i √D=1+i (***) y1=((1-i)+(1+i))/2=1 y2=((1-i)-(1+i))/2=-i получим z3=1 z3=-i z3=1=1+i*0=1*(cos(0)+i*sin(0)) z=3√1*(cos((0+2*Pi*k)/3)+i*sin((0+2*Pi*k)/3)), k=0..2 z1=1*(cos(0)+i*sin(0))=1 z2=1*(cos(2*Pi/3)+i*sin(2*Pi/3))=(-1+i*√3)/2 z3=1*(cos(4*Pi/3)+i*sin(4*Pi/3))=(-1-i*√3)/2 z3=-i=0+i*(-1)=1*(cos(-Pi/2)+i*sin(-Pi/2)) z=3√1*(cos((-Pi/2+2*Pi*k)/3)+i*sin((-Pi/2+2*Pi*k)/3)), k=0..2 z4=1*(cos(-Pi/6)+i*sin(-Pi/6))=(√3-i)/2 z5=1*(cos(Pi/2)+i*sin(Pi/2))=i z6=1*(cos(7*Pi/6)+i*sin(7*Pi/6))=(-√3-i)/2
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Студент
Оценка ответа: 5
Вопрос № 177951: Найдите наименьшее и наибольшее расстояния от точки, изображающей комплексное число z=3+3i, до точек z таких, что 2|z|<=|z-3|.
Отправлен: 20.04.2010, 00:16 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор : Здравствуйте, John_the_Revelator. Предварительно заметим, что заданное число на комплексной плоскости изображается точкой (3; 3). Пусть числа z удовлетворяют условию 2|z| ≤ |z – 3|. Если положить z = x + yi, то |z| = √(x2 + y2), |z – 3| = √((x – 3)2 + y2), 2√(x2 + y2) ≤ √((x – 3)2 + y2), 4(x2 + y2) ≤ (x – 3)2 + y2, 4x2 + 4y2 ≤ x2 – 6x + 9 + y2, 3x2 + 6x + 3y2 – 9 ≤ 0, x2 + 2x + y2 – 3 ≤ 0, x2 + 2x + 1 + y2 ≤ 4, (x + 1)2 + y2 ≤ 22. Полученное неравенство свидетельствует о том, что числа z на комплексной плоскости принадлежат кругу с центром в точке (-1; 0), имеющему радиус R = 2. Ес ли изобразить точку (3; 3) и полученный круг на комплексной плоскости, то можно видеть, что наиболее удаленная и наименее удаленная точки круга лежат на пересечении прямой, соединяющей центр круга и точку (3; 3), с окружностью, являющейся границей круга. Поэтому максимальное и минимальное расстояния от заданной точки до точек z равно расстоянию от заданной точки до центра круга, сложенному с радиусом окружности или уменьшенному на радиус окружности. Находим расстояние d от заданной точки до центра круга: d = √((3 – (-1))2 + (3 – 0)2) = √25 = 5. Тогда минимальное и максимальное расстояния соответственно равны rmin = 5 – 2 = 3, rmax = 5 + 2 = 7. Ответ: 3 и 7. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор
Оценка ответа: 5
Отвечает _Ayl_, Практикант : Здравствуйте, John_the_Revelator. Сначала найдем ГМТ (геометрическое место точек) z таких, что 2|z| <= |z-3|. Пусть z имеет координаты (x; y). Тогда |z| = √(x2+y2), а |z-3| = √((x-3)2+y2) Соответственно, имеем неравенство: 2√(x2+y2) <= √((x-3)2+y2) Возводя в квадрат и упростив, получаем: 4(x2+y2) <= (x-3)2+y2 4x2+4y2 <= x2-6x+9+y2 3x2+6x+3y2 <= 9 x2+2x+1+y2 <= 4 (x+1)2+y2 <= 22 Т.о., искомое ГМТ представляет собой круг с центром в точке (-1; 0) и радиусом 2 Наименьшее и наибольшее расстояние от заданной (внешней к кругу) точки до точек круга есть расстояния до точек пересечения окружности (границы круга) с прямой, проходящей через за данную точку и центр окружности. Определим эту прямую. Пусть ее уравнение задано как y = kx+b, причем она должна проходить через точки (-1; 0) - центр круга - и (3; 3) - заданная точка. Т.е. имеем систему уравнений: { 0 = -k+b; 3 = 3k+b. Отсюда получаем: b = k; 4k = 3; k = 3/4; b = 3/4 Т.о., уравнение прямой выглядит как y = 3/4x+3/4 = 3/4(x+1) Найдем точки пересечения с окружностью (x+1)2+y2=22: (x+1)2+(3/4)2(x+1)2 = 4 (x+1)2=64/25 |x+1|=8/5 x1=3/5, y1=6/5 x2=-13/5, y2=-6/5 Определяем расстояния до найденных точек от заданной: r1 = √((3-3/5)2+(3-6/5)2) = 3 r2 = √((3+13/5)2+(3+6/5)2) = 7 Т.о., наименьшее расстояние равно 3, наибольшее - 7.
Ответ отправил: _Ayl_, Практикант
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.14 от 03.03.2010 |
| В избранное | ||
