RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 177714: Добрый вечер,эксперты! Вопрос № 177715: Доброе время суток! Исследовать функцию u=f (x,y) на экстремум. u=8/x+x/y+y-1 ... Вопрос № 177718: Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость. ∫ (dx)/(x*ln^2 *x) от +бесконечности до 2 Вопрос № 177720: Добрый вечер! Помогите,пожалуйста решить задачку. Даны координаты вершин пирамиды A1A2A3A4 Найти: 1)длину ребра A1A2; 2)угол между ребрами A1A2 и A1A4; 3)площадь грани A1A2A3; 4)Объем пирамиды; 5)Уравнения прямой A1A... Вопрос № 177721: Помогите,пожалуйста,решить. Вычислить длины дуг кривых Y=lnx от x =sqrt3 до x=sqrt15 ... Вопрос № 177723: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить 3 задачи, из перечисленных, из курса функционального анализа: 1)Доказать, что минимальное кольцо, содержащее произвольное полукольцо представляет собой семейство всех конечных дизъю... Вопрос № 177726: Вычислить двойные интегралы Вопрос № 177732: Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса R.... Вопрос № 177734: Добрый вечер! Помогите,пожалуйста, с решением задачки. 1)Найти производную функции u=f (x, y) или u=f (x, y, z) по направлению вектора l в точке M. 2)Найти grad u в точке M u=x*sin(x+y) l=(-2;0) M(пи/4; ... Вопрос № 177736: Найти неопределенные интегралы  ...
Вопрос № 177738: Здравствуйте! помогите ,пожалуйста. Вычислить криволинейный интеграл по кривой L. Сделать чертеж. ∫(x+y)*dx+(x-y)*dy L - отрезок прямой AB от точки A(0;0) до точки B(2;3) Вопрос № 177743: Составить уравнения нормальной плоскости и касательной к кривой в заданной точке. x=t-sint y=1-cost z=2sint t=пи/4... Вопрос № 177747: Здравствуйте,уважаемые эксперты,помогите пожалуйста решить одну из следующих задач по функциональному анализу: 1)Пусть а иррациональное число. Доказать,что множество { an(mod1) } при n=0,± 1, ±2 .... всюду плотно в отрезке [0,1] . Вопрос № 177714:
Добрый вечер,эксперты!
Отправлен: 07.04.2010, 22:01 Отвечает Влaдимир, Студент : Здравствуйте, irinka87. Дано: u = exy Найти: F = uxy – x ux – uy/x. Здесь и ниже индекс обозначает производную по соответствующему аргументу. Формула для F приведена с учетом замечания эксперта star9491 (в условии опечатка). Находим производные ux = y exy = y u; uy = x exy = x u; uxy = u +y uy = u + xy u. Подставим найденные выражения в F F = u + xy u – xy u – x u/x ≡ 0 Что и требовалось доказать Удачи!
Подправил описку (вместо ссылки на star9491 была ссылка на irinka87)
----- ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич, Модератор ∙ Дата редактирования: 08.04.2010, 15:43 (время московское)
Ответ отправил: Влaдимир, Студент
Вопрос № 177715:
Доброе время суток!
Отправлен: 07.04.2010, 22:31 Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, sta.nislav. Вычисляем производные первого порядка: ux=-8/x2+1/y uy=-x/y2+1 Находим стационарные точки (ux=0, uy=0) -8/x2+1/y=0 --->y=x2/8 -y/y2+1=0 ---> x=y2 подставляя второе в первое, получаем y=y4/8 ---> y=0 (не входит в область определения) и y=2 (x=4). Таким образом, имеем одну стационарную точку (4;2) Вычисляем производные второго порядка: uxx=16/x3=1/4 uxy=-1/y2=-1/4 uyy=2x/y3=1 uxx>0 и uxx*uyy-uxy2=3/16>0 Следовательно, в этой точке минимум.
Ответ отправил: star9491, Практикант
Вопрос № 177718:
Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
Отправлен: 07.04.2010, 22:46 Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, Shukin.A. Наверно, интеграл не от +∞ до 2, а от 2 до +∞: ∫2+∞ Вычислется заменой u=ln x (du=dx/x): ∫2+∞dx/(xln2x)=∫ln2+∞du/u2=-1/u|ln2+∞=1/ln2
Ответ отправил: star9491, Практикант
Вопрос № 177720:
Добрый вечер!
Отправлен: 07.04.2010, 23:16 Отвечает _Ayl_, Практикант : Здравствуйте, Иван88 . A1(0;4;2) A2(1;6;2) A3(5;6;5) A4(3;8;3) Вычислим векторы: A1A2 = (1;2;0) A1A3 = (5;2;3) A1A4 = (3;4;1) A2A3 = (4;0;3) A2A4 = (2;2;1) A3A4 = (-2;2;-2) 1. |A1A2| = √(12+22+02) = √5 2. Cos (A1A2,A1A4) = A1A2•A1A4/(|A1A2||A1A4|) A1A2•A1A4 = 1*3+2*4+0*1 = 11 |A1A4| = √(32+42+12) = √26 Cos (A1A2,A1A4) = 11/√5√26 = 11√130/130 => (A1A2,A1A4) = arcCos (11√130/130) 3. S(A1A2A3) = 1/2*|A1A2×A1A3| = 1/2*|det ((i;j;k);(1;2;0);(5;2;3))| = 1/2*|(6;-3;-8)| = 1/2√109 4. Vпараллелипипеда=|det ((1;2;0);(5;2;3);(3;4;1))| = |1*(2*1-3*4)-2*(5*1-3*3)+0*(5*4-2*3)| = 2 Vпирамиды=1/6*Vпараллелипипеда = 1/6*2 = 1/3 5. x = 0 + 1t; y = 4 + 2t; z = 2 +0t; откуда: x=t; y=4+2t; z=2 6. det ((x-0;y-4;z-2);(5;2;3);(3;4;1)) = 0 x*(2-12)-(y-4)(5-9)+(z-2)(20-6) = 0 -10x+4y+14z-44=0 -5x+2y+7z=22
Ответ отправил: _Ayl_, Практикант
Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, Иван88 . 6) Нормальный к рассматриваемой плоскости вектор A1A2×A1A3={6;-3;-8} поэтому уравнение этой плоскости имеет вид 6(x-0)-3(y-4)-8(z-2), т.е. 6x-3y-8z=28 7)(x-3)/6=(y-8)/(-3)=(z-3)/(-8)
Ответ отправил: star9491, Практикант
Вопрос № 177721:
Помогите,пожалуйста,решить.
Отправлен: 07.04.2010, 23:16 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор : Здравствуйте, nikolay_v0ronin. По формуле для определения длины дуги кривой имеем L = √3∫√15 √(1 + ((ln x)’)2)dx = √3∫√15 √(1 + 1/x2)dx = √3∫√15√(x2 + 1)dx/x. Находим первообразную: I = ∫√(x2 + 1)dx/x = {x2 + 1 = t2, x = √( t2 – 1), 2xdx = 2tdt, dx = tdt/x= tdt/√(t2 – 1)} = = ∫t/√( t2 – 1) ∙ tdt/√(t2 – 1) = ∫t2dt/(t2 – 1) = ∫t2dt/((t – 1)(t + 1)); t2/((t – 1)(t + 1)) = (t2 – 1 + 1)/((t – 1)(t + 1)) = (t2 – 1)/((t – 1)(t + 1)) + 1/((t – 1)(t + 1)) = = 1 + 1/((t – 1)(t + 1)) = 1 + 2/(2(t – 1)(t + 1)) = 1 + (( t + 1) – (t – 1))/(2(t – 1)(t + 1)) = = 1 + 1/(2(t – 1) – 1/(2(t + 1)); I = ∫(1 + 1/(2(t – 1) – 1/(2(t + 1)))dt = ∫dt + 1/2 ∙ ∫dt/(t – 1) – 1/2 ∙ ∫dt/(t + 1) = = t + 1/2 ∙ ln |t – 1) – 1/2 ∙ ln |t + 1| + C = t + 1/2 ∙ ln (|t – 1|/|t + 1|) + C. Следовательно, при a = √3, b = √15, t = √(x2 + 1) получаем новые пределы интегрирования α = √(3 + 1) = 2, β = √(15 + 1) = 4 и определенный интеграл 2∫4 (1 + 1/(2(t – 1)) – 1/(2(t + 1)))dt = t + 1/2 ∙ ln (|t – 1|/|t + 1|)|24 = = 4 + 1/2 ∙ ln ((4 – 1)/(4 + 1)) - 2 - 1/2 ∙ ln ((2 – 1)/(2 + 1))= = 2 + 1/2 ∙ ln (3/5) - 1/2 ∙ ln (1/3) = 2 + 1/2 ∙ ln (9/5). Проверьте выкладки. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор
Вопрос № 177723:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить 3 задачи, из перечисленных, из курса функционального анализа:
Отправлен: 07.04.2010, 23:26 Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, Ankden. Давайте рассмотрим задачу 3) при k=0. Получим множество всех точек оси абсцисс: (0,x). Мера этого множества равна бесконечности. Нетрудно догадаться, что такой же ответ будет и в общем случае так как независимо от рациональности или иррациональности k рассматриваемое множество представляет прямую на плоскости (с точки зрения меры равноправную с осью абсцисс).
Ответ отправил: star9491, Практикант
Оценка ответа: 5
Вопрос № 177726:
Вычислить двойные интегралы
Отправлен: 07.04.2010, 23:31 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Студент : Здравствуйте, Ivan.Smirnov.  Область G представляет собой часть круга, отсеченную прямой y=x+2 x изменяется от -2 до 0 y от x+2 до √(4-x2) ∫∫G(x+y)dxdy=∫-20dx∫x+2√(4-x^2)(x+y)dy= ∫-20dx*(x*y+y2/2)x+2√(4-x^2)=∫-20dx*(x*√(4-x2)+(4-x2)/2-x*(x+2)-(x+2)2/2)=∫-20x*√(4-x2)dx-∫-20(2*x2+4*x)dx=(-1/2)*∫-20(4-x2)1/2d(4-x2)+8/3=-8/3+8/3=0 Ответ: 0
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Студент
Вопрос № 177732: Найти наибольшую площадь прямоугольника, вписанного в круг радиуса R.
Отправлен: 08.04.2010, 00:16 Отвечает Bogosja, 3-й класс : Здравствуйте, Ivanyshka! квадратный корень=sqr наибольший прямоугольник - квадрат. Диагональ квадрата (прямоугольника) равна R+R=2R, делит квадрат на 2 прямоугольных равнобедренных треугольника. В прямоугольном равнобедренном треугольнике углы при гепотенузе = 45 градусов. 2R*sin45=2R/sqr2=sqr2*R, у квадрата все стороны равны, S=sqr2*R*sqr2*R=2*R в квадрате
Ответ отправил: Bogosja, 3-й класс
Отвечает coremaster1, 7-й класс : Здравствуйте, Ivanyshka. Если нужно доказать, что наибольший по площади вписаный прямоугольник является квадратом, то можно вывести зависимость площади прямоугольника от угла a между диагоналями (см. рисунок). В результате получим S(a) = 2R2sin(a). Очевидно, что максимум достигается когда sin(a) = 1, т.е. a = 90º, прямоугольник является квадратом и его площадь S = 2R2. 
Ответ отправил: coremaster1, 7-й класс
Вопрос № 177734:
Добрый вечер!
Отправлен: 08.04.2010, 00:46 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Студент : Здравствуйте, Larisssa. u=x*sin(x+y) u'x=sin(x+y)+x*cos(x+y) u'y=x*cos(x+y) |L|=√((-2)2+02)=2 t - единичный вектор по направлению l t=(1/|L|)*l=(-1;0) u'x(M)=sin(Pi/4+Pi/4)+(Pi/4)*cos(Pi/4+Pi/4)=1 u'y(M)=(Pi/4)*cos(Pi/4+Pi/4)=0 Градиент (grad u)(M)=(1;0) Производная по l в точке M: du/dl (M)=(grad u)(M) * t=1*(-1)+0*0=-1
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Студент
Вопрос № 177736:
Найти неопределенные интегралы
Отправлен: 08.04.2010, 01:16 Отвечает _Ayl_, Практикант : Здравствуйте, Venya. 1. ∫(1/(arcSin2x)√(1-x2)dx = ∫(1/(arcSin2x)d(arcSin(x)) = -1/(arcSin(x)) 2. ∫(x2+2x+3)Cos2xdx = [u=x2+2x+3 => du = (2x+2)dx; dv = Cos2xdx => v=1/2Sin2x] = 1/2(x2+2x+3)Sin2x - 1/2∫(2x+2)Sin2xdx = [u=2x+2 => du=2dx; dv=Sin2xdx => v=-1/2Cos2x] = 1/2(x2+2x+3)Sin2x - 1/2(-(2x+2)Cos2x + 1/2∫2Cos2xdx) = 1/2(x2+2x+3)Sin2x + (x+1)Cos2x -1/4Sin2x
Ответ отправил: _Ayl_, Практикант
Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Студент : Здравствуйте, Venya. 3. ∫xdx/((x2+4*x+5)*(x+2)) x/((x2+4*x+5)*(x+2))=(2*x+5)/(x2+4*x+5)-2/(x+2) ∫xdx/((x2+4*x+5)*(x+2))=∫(2*x+5)dx/(x2+4*x+5)-2*∫dx/(x+2)=∫2*(x+2)d(x+2)/(x2+4*x+5)+∫d(x+2)/(x2+4*x+5)-2*∫d(x+2)/(x+2)=∫d(x2+4*x+5)/(x2+4*x+5)+∫d(x+2)/((x+2)2+1)-2*∫d(x+2)/(x+2)=ln(x2+4*x+5)+arctg(x+2)-2*ln(x+2) 4. ∫sin(x)dx/(5+8*cos(2*x)) cos(2*x)=2*cos2(x)-1 5+8*cos(2*x)=5+16*cos2(x)-8=(4*cos(x))2-(√3)2) sin(x)dx=-(1/4)*d(4*cos(x)) ∫sin(x)dx/(5+8*cos(2*x))=-(1/4)*∫d(4*cos(x))/(4*cos(x))2-(√3)2)=(-1/4)*(-1/√3)*arctg(cos(x)*4/√3)=√3/12*arctg((4*√3/3)*cos(x))
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Студент
Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, Venya. 4. Замена u=cos x ∫sin(x)dx/(5+8cos(2x))=-∫d(cos(x))/(5+8(2cos2x-1))= ∫du/(3-16u2)= =(1/16)∫du/((3/16)-u2)=(1/16)(4/(2√3)ln((|√3/4)+u|/|(√3/4)-u|)+C= =(1/(8√3))ln(|√3+4u|/|√3-4u|)+C= =(1/(8√3))ln(|√3+4cos x|/|√3-4cos x|)+C
Ответ отправил: star9491, Практикант
Вопрос № 177738:
Здравствуйте!
Отправлен: 08.04.2010, 01:16 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Студент : Здравствуйте, Sup.star.  Найдем уравнение прямой, проходящей через точки A и B (x-0)/(2-0)=(y-0)/(3-0) y=(3/2)*x x меняется от 0 до 2 ∫L(x+y)dx+(x-y)dy=∫02((x+(3/2)*x)+(x-(3/2)*x)*y')dx=∫02((x+(3/2)*x)+(x-(3/2)*x)*3/2')dx=∫02((7/4)*x)dx=(7/4)*(x2/2)02=7/2 Ответ: 7/2 или 3,5
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Студент
Вопрос № 177739:
Здравствуйте!!!
Отправлен: 08.04.2010, 01:16 Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, korot. 
Ответ отправил: star9491, Практикант
Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор : Здравствуйте, korot. Б) Пусть дана функция y = ln (9 – x2). Она определена только при положительных значениях выражения 9 – x2, т. е. при -3 < x < 3. Открытый интервал ]-3; 3[ является ее областью определения. Функция четная, потому что y(-x) = ln (9 – (-x)2) = ln (9 – x2) = y(x). Ее график симметричен относительно оси ординат. Для построения графика достаточно исследовать поведение функции на интервале [0; 3[. Не существует такого числа C, отличного от нуля, что ln (9 – x2) = ln (9 – (x + C)2). Поэтому функция непериодическая: ln (9 – x2) = ln (9 – (x + C)2), 9 – x2 = 9 – (x + C)2, x2 = x2 + 2xC + C2, 2xC + C2 = 0, C(2x + C) = 0, C1 = 0, C2 = -2x – не является константой. На всей области определения функция непрерывна. При x = 0 y(0) = ln 9 , следовательно, график функции пересекает ось ординат в точке (0; ln 9) (для построения заметим, что ln 9 ≈ 2,197). При у = 0 получаем 9 – x2 = 1, x2 = 8, x = √8 = 2√2, следовательно, график функции пересекает ось абсцисс в точке (2√2; 0) (для построения заметим, что 2√2 ≈ 2,828). Находим интервалы постоянства знаков функции: y > 0 при 9 – x2 > 1, откуда x2 < 8, x < 2√2, значит, на интервале [0; 2√2[ функция положительна; y < 0 при 9 – x2 < 1, откуда x2 > 8, x > 2√2, значит, на интервале ]2√2; 3[ функция отрицательна. При x → 3- 9 – x2 → 0+, y = ln (9 – x2) → ln 0+ = -∞, т. е. при x → 3- y → -∞. Поэтому прямая x = 3 – вертикальная асимптота графика функции. Из-за ограниченности своей области определения функция не имеет наклонных и горизонтальн ой асимптот, ведь x заведомо не стремится к бесконечности. Находим интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную: y' = (ln (9 – x2))’ = -2x/(9 – x2). Отсюда и из характера постоянства знаков функции видно, что при -2x = 0, x = 0 функция имеет максимум y(0) = ln 9. Находим вторую производную функции: y" = (-2x/(9 – x2))’ = -(2x ∙ 1/(9 – x2))’ = -(2/(9 – x2) + 4x2/(9 – x2)2) = -2(9 + 2x2 – x2)/(9 – x2)2 = = -2(x2 + 9)/(9 – x2)2. Заметим, что при x = 0 (в точке экстремума) y”(0) = -2 < 0, поэтому (как и было установлено выше) x = 0 – точка максимума. Приравнивая вторую производную функции нулю, получаем x2 + 9 = 0, 9 – x2 ≠ 0. Эта система не имеет решений, потому что решение уравнения (x = 3) не удовлетворя ет неравенству. Значит, график функции не имеет точек перегиба и всюду направлен выпуклостью вверх. Полученной информации достаточно, чтобы Вы могли самостоятельно построить график функции на положительной части области определения, а затем, используя его симметричность относительно оси ординат, получить полный график. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессор
Вопрос № 177743:
Составить уравнения нормальной плоскости и касательной к кривой в заданной точке.
Отправлен: 08.04.2010, 02:01 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, Студент : Здравствуйте, savelina. Определим координаты точки касания x(Pi/4)=Pi/4-√2/2 y(Pi/4)=1-√2/2 z(Pi/4)=√2 x'=1-cos(t) y'=sin(t) z'=2*cos(t) x'(Pi/4)=1-√2/2 y'(Pi/4)=√2/2 z'(Pi/4)=√2 Уравнения касательной в точке t=Pi/4 (x-(Pi/4-√2/2))/(1-√2/2)=(y-(1-√2/2))/(√2/2)=(z-√2)/(√2) Уравнение нормальной плоскости в точке t=Pi/4 (1-√2/2)*(x-(Pi/4-√2/2))+(√2/2)*(y-(1-√2/2))+(√2)*(z-√2)=0
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, Студент
Вопрос № 177747:
Здравствуйте,уважаемые эксперты,помогите пожалуйста решить одну из следующих задач по функциональному анализу:
Отправлен: 08.04.2010, 15:56 Отвечает star9491, Практикант : Здравствуйте, Владимир Ульянов. Решение задачи 1) следует из решения задачи 1) вопроса 177495. Вот ее решение, приведенное в том ответе мной: Прежде всего отметим, что все точки множества лежат в интервале и различны при различных n: 1) αn=0 mod(1) <---> αn = целое ---> α=целое/n (противоречит иррациональности α) 2) αn=1 mod(1) <---> αn = 1 + целое ---> α=(1+целое)/n (противоречит иррациональности α) 3) если αn=αm mod(1) при n≠m, то αn=αm + целое --->α=(целое)/(n-m) (противоречит иррациональности α) Пусть δ>0. Разобъем отрезок [0;1] на N равных частей так, чтобы длина каждого отрезка разбиения была меньше δ. Так как все точки рассматриваемого множества различны, то в интервале (0;1) находится бесконечное множество различных точек, следовательно хотя бы на одном отрезке разбиения [k/N;(k+1)/N] найдутся по крайней мере две различных точ ки нашего множества, т.е. αn-m∈[k/N;(k+1)/N] αs-p∈[k/N;(k+1)/N] при некоторых целых n,m,s,p,k. Тогда расстояние между этими точками не более длины отрезка, которая меньше δ, т.е. (αn-m∈[k/N;(k+1)/N])-(αs-p∈[k/N;(k+1)/N]) <δ или, полагая t=n-s, получаем, что x=(αt mod(1) <δ Но тогда кратные x (x,2x,3x,...) являются точками нашего множества, располагающимися вдоль [0,1] с шагом меньшим δ. Отсюда следует, что для любой точки y отрезка [0;1] найдется точка нашего множества, которая удалена от y меньше, чем на δ. Это и означает, что рассмтриваемое множество всюду плотно
Ответ отправил: star9491, Практикант
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.14 от 03.03.2010 |
...
| В избранное | ||
