RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 172520: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу. Очень нужно!!! Дана функция z=xy + 2y^2 - 2x и две точки A(1; 2) и B(0,97; 2,03) . Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке В; 2) вычислить приближенное значение z1 функ... Вопрос № 172521: Здравствуйте, уважаемые! Помогите пожалуйста вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость: от +∞ до -∞ ∫dx/x^2 + 4x +5 Спасибо... Вопрос № 172542: Доброго времени суток уважаемые эксперты помогите пожалуйста в решении задачки найти частное решение дифференциального уравнения y"+py'+qy=f(x), удовлетворяющее начальным условиям y(0)=y0, y'(0)=y'0 Вопрос № 172544: Добрый вечер мои дорогие помогите плииз в решении задачки исследовать сходимость числового ряда n=1∑∞ un. un=(1)/((n+1)[ln(n+1)]2). Заранее вам огромное спаси... Вопрос № 172546: помогите пожалуйста в решении задачки найти интервал сходимости степенного ряда n=1∑∞anxn. an=(5n)/(n√n) заранее вам огромное спасибо... Вопрос № 172547: Добрый вечер мои дорогие помогите мне пожалуйста в решении задачки Найти три первых, отличных от нуля члена разложения в степенной ряд решения y=y(x) дифференциального уравнения y'=f(x;y), удовлетворяющего начальному условию y(0)=y Вопрос № 172553: Добрый вечер. Нужна помощь в выполнении домашней работы. Решить надо дифференциальные уравнения 1 и 2 порядка. 1) (y^2)y’+2x-1=0 2) (x^2)y’+(y^2)-2xy=0 3) y’-(2xy)/(1+x2)=1+(x^2) 4) 2y’’-5y’+2y=0 5) y’’-2y’-8y=-8cos2x, y(0)=1; y’(0... Вопрос № 172520:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста решить задачу. Очень нужно!!!
Отправлен: 23.09.2009, 08:38 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент : Здравствуйте, Попов Антон Андреевич. Задача 1. При x = 0.97, y = 2.03 zт=xy + 2y^2 - 2x = 8.2709. Задача 2. Значение функции в точке A. При x=1, y= 2 z=xy + 2y^2 - 2x = 8. Т.е. z0=8. z1≈z0+dz = z0 + (∂z/∂x)*dx + (∂z/∂y)*dy. В точке A (∂z/∂x)= y-2 = 2-2=0 (∂z/∂y)= x+4*y = 1+4*2=9 Далее dx = xB-xA = 0.97-1 = -0.03 dy = yB-yA = 2.03-2 = 0.03 Поэтому z1 ≈ 8 + 9*0.03 = 8.27. Задча 3. Относительная погрешность δ = (|z1-zт|/zт)*100% = (|8.2709-8.27|/8.2709)*100% = 0.011%. Задача 4. Рассмотрим функцию F(x,y,z) = xy + 2y^2 - 2x - z В точке C(1,2,8) ∂F/∂x= y-2=2-2=0 ∂F/∂y= x+4y=1+4*2=9 ∂F/∂z= -1 Поэтому уравнение касательной плоскости 0*(x-1)+9*(y-2)-(z-8)=0 или z-8 = 9*(y-2) ----- Впред и вверх!
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Вопрос № 172521:
Здравствуйте, уважаемые! Помогите пожалуйста вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость:
Отправлен: 23.09.2009, 08:43 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент : Здравствуйте, Попов Антон Андреевич. Решение находится здесь. ----- Впред и вверх!
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Вопрос № 172542:
Доброго времени суток уважаемые эксперты помогите пожалуйста в решении задачки
Отправлен: 23.09.2009, 18:40 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Студент : Здравствуйте, Мария Романова. Решение данного дифференциального уравнения ищем в виде y = yо+yч. Здесь yо - решение однородного уравнения y"-5y'+6y = 0. Корни характеристического уравнения l2-5*l+6=0 есть l1=2, l2=3. Поэтому yо = C1*e2x + C2*e3x. Частное решение yч ищем в виде yч = (A*x+B)*e-x. Подставив yч в данное ДУ, получаем () d2yч/dx2-5*dyч/dx+6*yч = (12x-7)e-x. Или (после упрощения) (12*B-7*A+12*A*x)*e-x = (12x-7)e-x. В связи с этим 12*A = 12 12*B-7*A = -7 Решая эту систему, находим A = 1, B = 0. Т.е. yч = x*e-x. Т.е. решение данного ДУ есть y(x)=C1*e2x + C 2*e3x + x*e-x. y'(x) = 2*C1*e2x + 3*C2*e3x + e-x*(1-x) При x=0 y(0)=C1 + C2 y'(0)=2*C1 + 3*C2 + 1 Т.е. C1 + C2 = 0 2*C1 + 3*C2+1=0 Решая эту систему, получаем C1 = 1 C2 = -1 При этих значениях получаем y(x)=e2x - e3x + x*e-x. Это ответ. ----- Впред и вверх!
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Студент
Вопрос № 172543:
Доброго времени суток мои дорогие
Отправлен: 23.09.2009, 19:00 Отвечает Kom906, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. Как я понимаю, систему дифференциальных уравнений надо решить матричным способом. 1. Система дифференциальных уравнений в матричной форме имеет вид: dX/dt = A * X, где X = (xy), A = (32 -28) 2. Составляем для матрицы А характеристическое уравнение, то есть находим собственные значения матрицы А | A - λE | = | (32 -28) - λ*(10 01) | = |3-λ2 -28-λ| = = (3 - λ)*(8 - λ) - 2*(- 2) = 24 - 11λ + λ2 + 4 = λ2 - 11λ + 28 ⇒ λ2 - 11λ + 28 = 0 λ1,2 = (11/2) ± √((11/2)2 - 28) = (11/2) ± √(9/4) = (11 ± 3) / 2 Значит, собственные значения м атрицы А: λ1 = 4 и λ2 = 7 3. Находим собственный вектор матрицы А для собственного значения λ1 = 4 Находим этот вектор из уравнения: ( A - λ1E ) * e1 = 0 ( A - λ1E ) = (3-42 -28-4) = (-12 -24) То есть получим систему уравнений: { - e11 - 2*e12 = 0 { 2*e11 + 4*e12 = 0 Откуда: e11 = - 2*e12 Пусть e12 = 1, тогда e11 = - 2 Значит вектор e1 = (-21) - собственный вектор матрицы А для собственного значения λ1 = 4 4. Находим собственный вектор матрицы А для собственного значения λ2 = 7 Находим этот вектор из уравнения: ( A - λ2E ) * e2 = 0 ( A - λ2E ) = (3-72 -28-7) = (-42 -21) То есть получим систему уравнений: { - 4*e21 - 2*e22 = 0 { 2*e21 + e22 = 0 Откуда: e21 = - (1/2)*e22 Пусть e22 = 1, тогда e21 = - (1/2) Значит вектор e2 = (-1/21) - собственный вектор матрицы А для собственного значения λ2 = 7 5. Тогда решение системы дифференциальных уравнений: X = C1 * e1 * eλ1*t + C2 * e2 * eλ2*t = C1 * (-21) * e4t + C2 * (-1/21) * e7t = где C1, C2 = const Или: x(t) = - 2 * C1 * e4t - (1/2) * C 2 * e7t y(t) = C1 * e4t + C2 * e7t где C1, C2 = const
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Вопрос № 172544:
Добрый вечер мои дорогие
Отправлен: 23.09.2009, 19:06 Отвечает Kom906, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. Числовой ряд имеет вид: ∑ {n = 1 ... ∞} 1 / [ (n + 1)*ln2(n + 1) ] Этот ряд является рядом с положительными членами Пусть: f(x) = 1 / [ (x + 1)*ln2(x + 1) ] При х>0 ln(x + 1)>ln(1)=e, то есть функция f(x) неотрицательная при x > 0. Также: f'(x) = { 1 / [ (x + 1)*ln2(x + 1) ] }' = - { 1 / [ (x + 1)*ln2(x + 1) ]2 } * { (x + 1)*ln2(x + 1) }' = = - { 1 / [ (x + 1)2*ln4(x + 1) ] } * { ln2(x + 1) + (x + 1) * 2 * ln(x + 1) * [1/(x + 1)] } = = - { ln(x + 1) + 2 } / { (x + 1)2*ln3(x + 1) ] } При x>0 f'(x)<0, то есть функция f(x) убывающая Значит, можно применить интегральный признак Коши для определения сходимости ряда. Тогда исходный ряд сходится или расходится одновременно с несобственным интегралом: W 47;1∞ f(x) dx Проверяем сходимость несобственного интеграла ∫1∞ f(x) dx = ∫1∞ dx / [ (x + 1)*ln2(x + 1) ] = lim {A -> ∞} ∫1A dx / [ (x + 1)*ln2(x + 1) ] = = /// вносим ln(x + 1) под знак дифференциала: d(ln(x + 1)) = [ln(x + 1)]'*dx = dx/(x + 1) /// = = lim {A -> ∞} ∫1A d(ln(x + 1)) / ln2(x + 1) = lim {A -> ∞} (- 1) / ln(x + 1) | 1A = = lim {A -> ∞} [ - {1 / ln(A + 1)} + {1 / ln(2)} ] = 1 / ln(2) То есть несобственный интеграл сходится. Следовательно, сходится и ряд, согласно интегральному признаку Коши
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Здравствуйте, Мария Романова! Данный ряд сходится по интегральному признаку Коши.
Ответ отправил: Луковников Алексей, 1-й класс
Вопрос № 172546:
помогите пожалуйста в решении задачки
Отправлен: 23.09.2009, 19:10 Отвечает Kom906, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. Функциональный степенной ряд имеет вид: ∑ {n = 1 ... ∞} [5n*xn] / n√n 1. Определяем интервал сходимости ряда Применим признак Д'Аламбера, то есть вычислим число q: q = lim {n -> ∞} | un+1 / un | Здесь: un = [5n*xn] / n√n un+1 = [5n+1*xn+1] / (n+1)√(n + 1) = [5*x*5n*xn] / (n+1)√(n + 1) Тогда: q = lim {n -> ∞} | un+1 / un | = lim {n -> ∞} | [5*x*n√n] / (n+1)√(n + 1) | = 5 * |x| * lim {n -> ∞} n√n / (n+1)√(n + 1) Вычислим отдельно предел: lim {n -> ∞} n√n Перейдем от предела последовательности к пределу функции и вычислим логарифм от такого предела: ln { lim {n -> ∞} n√n } = ln { lim {x -> ∞} x√x } = = /// внесем логарифм под предел /// = = lim {x -> ∞} ln { x√x } = lim {x -> ∞} { (1/x) *ln (x) } = lim {x -> ∞} ln (x) / x = = /// так как имеем неопределенность вида {∞/∞}, применяем правило Лопиталя /// = = lim {x -> ∞} [ ln (x) ]' / [ x ]' = lim {x -> ∞} (1/x) / 1 = lim {x -> ∞} 1 / x = 0 Так как логарифм от искомого предела равен: ln { lim {n -> ∞} n√n } = 0 то сам искомый предел равен: lim {n -> ∞} n√n = e0 = 1 Возвращаемся к числу q: q = 5 * |x| * lim {n -> ∞} n√n / (n+1)√(n + 1) = 5 * |x| * { lim {n -> ∞} n√n } / { lim {n -> ∞} (n+1)√( n + 1) } = /// m = n + 1 /// = = 5 * |x| * { lim {n -> ∞} n√n } / { lim {m -> ∞} m√m } = 5 * |x| * 1/1 = 5 * |x| Ряд сходится, согласно признаку Д'Аламбера, при q < 1 ⇒ 5 * |x| < 1 ⇒ |x| < (1/5) ⇒ - (1/5) < x < (1/5) Значит, интервал сходимости ряда - это интервал: - (1/5) < x < (1/5) (в точках этого интервала ряд сходится, причем сходится абсолютно), и радиус сходимости равен R = (1/5) 2. Рассмотрим точку х = (1/5) (правую границу интервала сходимости) В этом случае ряд имеете вид: ∑ {n = 1 ... ∞} [5n*(1/5)n] / n√n = ∑ {n = 1 ... ∞} 1 / n√n Проверяем сходимость этого полученного числового ряда. Этот ряд является рядом с положительными членами. Здесь формула общего члена ряда: an = 1 / n√n Проверяем выполнение для него необходимого признака сходимости. lim {n -> ∞} an = lim {n -> ∞} 1 / n√n = 1 / 1 = 1 ≠ 0 То есть необходимый признак сходимости не выполняется, и поэтому ряд расходится. Значит, при х = (1/5) исходный ряд расходится, и точка х = (1/5) не принадлежит области сходимости исходного ряда 3. Рассмотрим точку х = - (1/5) (левую границу интервала сходимости) В этом случае ряд имеете вид: ∑ {n = 1 ... ∞} [5n*(- 1/5)n] / n√n = ∑ {n = 1 ... ∞} (- 1)n / n√n Проверяем сходимость этого полученного числового ряда. Этот ряд является рядом со знакочередующимися членами. Здесь формула общего члена ряда: an = (- 1)n / n√n Представим в другом виде: an = bn * c n где bn = (- 1)n, cn = 1 / n√n Частичные суммы ∑ {n = 1 m} bn = ∑ {n = 1 ... m} (- 1)n ограничены, и - 1 <= ∑ {n = 1 ... m} (- 1)n <= 1 А последовательность cn не является последовательностью, стремящейся к нулю, так как: lim {n -> ∞} cn = lim {n -> ∞} 1 / n√n = 1 / 1 = 1 ≠ 0 Значит признак Дирихле не выполняется, и поэтому ряд расходится. Значит, при х = - (1/5) исходный ряд расходится, и точка х = - (1/5) не принадлежит области сходимости исходного ряда Итак, областью сходимости исходного ряда является интервал - (1/5) < x < (1/5)
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Вопрос № 172547:
Добрый вечер мои дорогие
Отправлен: 23.09.2009, 19:17 Отвечает Tribak, Студент : Здравствуйте, Мария Романова. все очень просто, наше разложение выглядит следующим образом (раскладывать будем около нуля, т.к. это x нам задано): y(x) = y(0) + y'(0)/1! *(x-0) +y''(0) *(x-0)^2 +y'''(0)*(x-0)^3/3! y(0) = 4, это нам известно из условия найдем y'(0), y''(0) и y'''(0) y'=e^x +y y'(0)== e^0 + 4 =1+4=5 y'(0)=5 y''=(e^x+y)'=e^x+y' y''(0)=e^0 + 5 =1+5=6 y''(0)=6 y'''=(e^x+y')'=e^x+y'' y'''(0)== e^0 + 6 =1+6=7 тогда подставляя полученные значения в наше разложение, получаем следующее: y(x)=4+5*x + 3 *x^2 +7/6 *x^3 Удачи!
Ответ отправил: Tribak, Студент
Вопрос № 172548:
доброго времени суток мои дорогие
Отправлен: 23.09.2009, 19:21 Отвечает Kom906, 10-й класс : Здравствуйте, Мария Романова. 1. Функция f(x) непрерывна при любом действительном х, также она дифференцируема при любом действительном х, кроме точки х = 1 (так как при x<1 f'(x) = - 1, а при x>1 f'(x) = 1) При (1 - x) < 0, то есть при x > 1 значение функции равно f(x) = |1 - x| = x - 1 При (1 - x) >= 0, то есть при x <= 1 значение функции равно f(x) = |1 - x| = 1 - x 2. Разложение функции в ряд Фурье с периодом T = 2L имеет вид: f(x) = (a0/2) + ∑ {n=1...∞} an*cos(pi*n*x/L) + bn*sin(pi*n*x/L) Здесь L = 2, так как требуется разложить в интервале (- 2; 2) 3. Вычисляем коэффициенты an, n = 0; 1; 2; .... При n = 0: a0 = (1/L) * ∫L-L f(x)*cos(pi*0*x/L)*dx = (1/L) * ∫L-L f(x)*dx = (1/2)*∫1-2 (1 - x)*dx + (1/2)*∫21 (x - 1)*dx = = (1/2)*(- 1)*(1/2)*(1 - x)2 | 1-2 + (1/2)*(1/2)*(x - 1)2 | 21 = - (1/4)*{ 02 - 32 } + (1/4)*{ 12 - 02 } = (9/4) + (1/4) = 5/2 При n > 0: an = (1/L) * ∫L-L f(x)*cos(pi*n*x/L)*dx = (1/2)*∫1-2 (1 - x)*cos(pi*n*x/2)*dx + (1/2)*∫21 (x - 1)*cos(pi*n*x/2)*dx = = /// применяем интегрирование по частям: для левого интеграла: u = 1-x, du = (1-x)'dx = - dx, dv = cos(pi*n*x/2)*dx, v = ∫ cos(pi*n*x/2)*dx = (2/(pi*n))*sin(pi*n*x/2) для правого интеграла: u = x-1, du = (x-1)'dx = dx, dv = cos(pi*n*x/2)*dx, v = ∫ cos(pi*n*x/2)*dx = (2/(pi*n))*sin(pi*n*x/2) /// = = (1/2)*(2/(pi*n))*(1 - x)*sin(pi*n*x/2) | 1-2 - (1/2)*(- 1)*(2/(pi*n))*∫1-2 sin(pi*n*x/2)*dx + + ( 1/2)*(2/(pi*n))*(x - 1)*sin(pi*n*x/2) | 21 - (1/2)*(2/(pi*n))*∫21 sin(pi*n*x/2)*dx = = (1/(pi*n))*{ 0*sin(pi*n*1/2) - 3*sin(- pi*n*2/2) } + (1/(pi*n))*(- 2/(pi*n))*cos(pi*n*x/2) | 1-2 + + (1/(pi*n))*{ 1*sin(pi*n*2/2) - 0*sin(pi*n*1/2) } - (1/(pi*n))*(- 2/(pi*n))*cos(pi*n*x/2) | 21 = = (1/(pi*n))*3*sin(pi*n) - (2/(pi*n)2)*{ cos(pi*n*1/2) - cos(- pi*n*2/2) } + + (1/(pi*n))*sin(pi*n) + (2/(pi*n)2)*{ cos(pi*n*2/2) - cos(pi*n*1/2) } = = (1/(pi*n))*3*sin(pi*n) - (2/(pi*n)2)*cos(pi*n/2) + (2/(pi*n)2)*cos(pi*n) + + (1/(pi*n))*sin(pi*n) + (2/(pi*n)2)*cos(pi*n) - (2/(pi*n)2)*cos(pi*n/2) = = /// sin(pi*n) = 0, cos(pi*n) = (- 1)n /// = = (4/(pi*n)2)*[(- 1)n - cos(pi*n/2)] = 4. Вычисляем коэффициенты bn, n = 1; 2; .... bn = (1/L) * ∫L-L f(x)*sin(pi*n*x/L)*dx = (1/2)*∫1-2 (1 - x)*sin(pi*n*x/2)*dx + (1/2)*∫21 (x - 1)*sin(pi*n*x/2)*dx = = /// применяем интегрирование по частям: для левого интеграла: u = 1-x, du = (1-x)'dx = - dx, dv = sin(pi*n*x/2)*dx, v = ∫ sin(pi*n*x/2)*dx = - (2/(pi*n))*cos(pi*n*x/2) для правого интеграла: u = x-1, du = (x-1)'dx = dx, dv = sin(pi*n*x/2)*dx, v = ∫ sin(pi*n*x/2)*dx = - (2/(pi*n))*cos(pi*n*x/2) /// = = - (1/2)*(2/(pi*n))*(1 - x)*cos(pi*n*x/2) | 1-2 - (- 1)*(- 1)*(1/2)*(2/(pi*n))*∫1-2 cos(pi*n*x/2)*dx - - (1/2)*(2/(pi*n))*(x - 1)*cos(pi*n*x/2) | 21 - (- 1)*(1/2)*(2/(pi*n))*∫21 cos(pi*n*x/2)*dx = = - (1/(pi*n))*{ 0*cos(pi*n*1/2) - 3*cos(- pi*n*2/2) } - (1/(pi*n))*(2/(pi*n))*sin(pi*n*x/2) | 1-2 - - (1/(pi*n))*{ 1*cos(pi*n*2/2) - 0*cos(pi*n*1/2) } + (1/(pi*n))*(2/(pi*n))*sin(pi*n*x/2) | 21 = = (1 /(pi*n))*3*cos(pi*n) - (2/(pi*n)2)*{ sin(pi*n*1/2) - sin(- pi*n*2/2) } - - (1/(pi*n))*cos(pi*n) + (2/(pi*n)2)*{ sin(pi*n*2/2) - sin(pi*n*1/2) } = = (1/(pi*n))*2*cos(pi*n) - (2/(pi*n)2)*sin(pi*n/2) + (2/(pi*n)2)*sin(pi*n) + + (2/(pi*n)2)*sin(pi*n) - (2/(pi*n)2)*sin(pi*n/2) = = /// sin(pi*n) = 0, cos(pi*n) = (- 1)n /// = = (2/(pi*n))*(- 1)n - (4/(pi*n)2)*sin(pi*n/2) 5. Тогда разложение в ряд Фурье имеет вид: f(x) = (5/4) + ∑ {n=1...∞} { [ (4/(pi*n)2)*[(- 1)n - cos(pi*n/2)] ]*cos(pi*n*x/L) + [ (2/(pi*n))*(- 1)n - (4/(pi*n)2)*sin(pi*n/2) ]*sin(pi*n*x/L) } 6. При х = ± 2 суммы ряда равны: S(- 2) = f(- 2+0) = 3 S(2) = f(2-0) = 1
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Вопрос № 172553:
Добрый вечер. Нужна помощь в выполнении домашней работы.
Отправлен: 23.09.2009, 23:32 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал : Здравствуйте, Полякова Анна Александровна. 1. Пусть дано уравнение y2y’ + 2x – 1 = 0. Перепишем его следующим образом: y2(dy/dx) + 2x – 1 = 0, y2dy + (2x – 1)dx = 0, y2dy = (1 – 2x)dx. (1) Интегрируя обе части уравнения (1), получаем ∫y2dy = ∫(1 – 2x)dx, y3/3 = x – x2 + C, y3 = 3x(1 – x) + C, y = 3√(3x(1 – x) + C) – общее решение заданного уравнения. 2. Пусть дано уравнение x2y’ + y2 – 2xy = 0. Перепишем его следующим образом: x2(dy/dx) + y2 – 2xy = 0, x2dy + (y2 – 2xy)dx = 0, (y2 – 2xy)dx + x2dy = 0. (2) Уравнение (2) имеет вид P(x, y)dx + Q(x, y)dy = 0. Коэффициенты при dx и dy, т. е. P(x, y) = y2 – 2xy и Q(x, y) = x2 являются однородными функциями второго измерения, поскольку P(λx, λy) = (λy)2 – (2 ∙ λx ∙ λy) = λ2(y2 – 2xy) = λ2P(x, y), Q(λx, λy) = (λx)2 = λ2x2 = λ2Q(x, y). Следовательно, уравнение (2) – однородное. Положим y = ux. Тогда dy = xdu + udx, и уравнение (2) принимает вид (u2x2 – 2ux2)dx + x2(xdu + udx) = 0. Упрощаем это уравнение: u2x2dx – 2ux2dx + x3du + ux2dx = 0, u2dx – 2udx + xdu + udx = 0, (u2 – u)dx + xdu = 0, (u2 – u)dx = -xdu, dx/x = -du/(u(u – 1)). Интегрируем последнее выражение. Имеем 1/(u(u – 1)) = (u – (u – 1))/(u(u – 1)) = 1/(u – 1) – 1/u, ∫dx/x = -∫du/(u(u – 1)), ∫dx/x = ∫du/(u – 1) – ∫du/u, ln |x| = ln |(u – 1)/u| + C. Поскольку u = y/x, то (u – 1)/u = (y/x – 1)/(y/ x) = (y – x)/y, ln |x| = ln |(y – x)/y| + C, ln |x| - ln |(y – x)/y| = C, ln |xy/(y – x)| = C – общий интеграл заданного уравнения. 3. Пусть дано уравнение y’ – 2xy/(1 + x2) = 1 + x2. Оно имеет вид y’ + p(x)y = g(x), где p(x) = -2x/(1 + x2), g(x) = 1 + x2 – непрерывные функции, и относится к линейным неоднородным уравнениям первого порядка. Решим его методом Бернулли. Полагаем y = uv, где u = u(x), v = v(x) – некоторые функции от x. Тогда y’ = u’v + uv’. Данное уравнение принимает вид u’v + uv’ – 2xuv/(1 + x2) = 1 + x2, или u’v + u(v’ – 2xv/(1 + x2)) = 1 + x2. (3) Подберем функцию v(x) так, чтобы выражение в скобках было равно нулю, решая дифференциальное уравнение v’ – 2xv/(1 + x2) = 0. Получим dv/dx – 2xv/(1 + x2) = 0, dv/v = 2xdx/(1 + x2), dv/v = (d(1 + x2))/(1 + x2), ∫dv/v = ∫(d(1 + x2))/(1 + x2), ln |v| = ln (1 + x2) + ln |C|, v = C(1 + x2). Поскольку нам достаточно какого-нибудь одного ненулевого решения уравнения то примем C = 1, v = 1 + x2. Тогда из уравнения (3) находим u’(1 + x2) = 1 + x2, u’ = 1, du/dx = 1, du = dx, u = x. Таким образом, y = Cx(1 + x2) – общее решение заданного уравнения. 4. Пусть дано уравнение 2y” – 5y’ + 2y = 0. Решаем характеристическое уравнение 2k2 – 5k + 2 = 0: D = (-5)2 – 4 ∙ 2 ∙ 2 = 25 – 16 = 9, √D = 3, k1 = (5 – 3)/4 = 1/2, k2 = (5 + 3)/4 = 2. Поскольку корни характеристического уравнения – отличные друг от друга действительные числа, то y = С1ex/2 + C2e2x – общее решение заданного уравнения. 5. Пусть дано уравнение y” – 2y’ – 8y = -8cos 2x. Рассмотрим сначала однородное уравнение y” – 2y’ – 8y = 0. Решая его характеристическое уравнение k2 – 2k – 8 = 0, находим D = (-2)2 – 4 ∙ 1 ∙ (-8) = 36, √D = 6, k1 = (2 – 6)/2 = -2, k2 = (2 + 6)/2 = 4. Поскольку корни характеристического уравнения – отличные друг от друга действительные числа, то y* = C1e-2x + C2e4x – общее решение однородного уравнения. В соответствии с видом правой части заданного уравнения и корнями характеристического уравнения ищем частное решение заданного неоднородного уравнения в виде y** = Acos 2x + Bsin 2x. Тогда (y**)’ = -2Asin 2x + 2Bcos 2x, (y**)” = -4Acos 2x – 4Bsin 2x. Подставляя полученные выражения для (y**)’ и (y**)” в заданное уравнение и выполняя группировку подобных слагаемых, получаем -4Acos 2x – 4Bsin 2x – 2(-2Asin 2x + 2Bcos 2x) – 8(Acos 2x + Bsin 2x) = -8cos 2x, (-4A – 4B – 8A)cos 2x + (-4B + 4A – 8B)sin 2x = -8cos 2x, (-12A – 4B)cos 2x + (4A – 12B)sin 2x = -8cos 2x. Приравнивая коэффициенты при подобных слагаемых в обеих частях полученного равенства, находим -12A – 4B = -8, 4A – 12B = 0, A = 3/5, B = 1/5. Следовательно, y** = (3/5)cos 2x + (1/5)sin 2x – частное решение заданного уравнения, а сумма общего решения однородного уравнения и частного решения заданного уравнения y = y* + y** = C1e-2x + C2e4x + (3/5)cos 2x + (1/5)sin 2x – общее решение заданного уравнения. Поскольку в вопросе, в отличие от задания в Решебнике, содержатся дополнительные условия y(0)=1, y’(0)=4/5, то из общего решения заданного уравнения находим y(0) = 1 = С1 + С2 + 3/5, y' = -2C1e-2x + 4C2e4x – (6/5)sin 2x + (2/5)cos 2x, y'(0) = 4/5 = -2C1 + 4C2 + 2/5, или С1 + С2 = 2/5, -2C1 + 4C2 = 2/5. Решая последнюю систему, получаем С1 = С2 = 1/5. Следовательно, решением задачи Коши будет y = (1/5)e С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009 |
| В избранное | ||
