RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 172399: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Подскажите, пожалуйста, как решать данные две задачи: 1. Отрезок АВ длины α разделен n точками на равные части, и из этих точек проведены лучи под углами ∏ / (2n). Рисунок... Вопрос № 172421: Здравствуйте уважаемые Эксперты. Помогите пожалуйста. Заранее всем огромное спасибо. 1. В партии 20 изделий 6 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 3 изделия являются дефектными? 2.В магаз... Вопрос № 172399:
Здравствуйте, уважаемые эксперты.
Отправлен: 21.09.2009, 09:57 Отвечает _Ayl_, Студент : Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. 1. Обозначим точки деления отрезка AB как Ai, i = 1..n. Также для единообразия обозначим точку A как A0, а точку B как An+1. Т.о. на отрезке AB мы имеем n+2 точки, включая граничные, с индексами 0..n+2. Также обозначим вершины полученных треугольников как Ci, i = 0..n. В результате разделения отрезка с помощью n точек получаем n+1 треугольник с вершинами AiCiAi+1, i = 0..n. Заметим, что AiCi = CiAi+1, т.к. равны углы при основании этого треугольника. Длина отрезка AiAi+1 равна α/(n+1). Длина боковой стороны треугольника равна α/(2*(n+1)*Cos(∏/2n)). Т.о. длина зубца ломанной составляет 2*α/(2*(n+1)*Cos(∏/2n) = α/((n+1)*Cos(∏/2n)). Всего зубцов при n точках - n+1, т.е. длина ломаной равна (n+1)*α/((n+1)*Cos(∏/2n)) = α /Cos(∏/2n). При n→∞ выражение ∏/2n стремится к 0, т.е. косинус стремится к 1, т.е. все выражение стремится к длине отрезка. 2. Обозначим точки деления отрезка также, как в п.1. Длина отрезка AiAi+1 равна α/(n+1). Этот отрезок является диаметром дугового элемента ломаной. Как известно, длина полуокружности равна ∏*D/2, где D - диаметр. Т.о. длина элемента ломаной равна ∏*α/(2*(n+1)). Всего полуокружностей - n+1. Т.е. длина ломаной равна (n+1)*∏*α/(2*(n+1)) = ∏*α/2. Как видно, длина не зависит от количества точек разбиения, т.е. является константой. Если вместо полуокружности строить дугу, получаем следующее. Длина дуги l равна R*φ, где R - радиус окружности, а φ - угол между радиусами, проведенными к концам дуги. Данный угол задан: ∏/n радиан. Радиус окружности можно определить, рассмотрев прямоугольный треугольник OCAi, где O - центр окружности, а C - основание перпендикуляра, опущенного из точки O на отрезок AiAi+1. R = AiAi+1/(2*Sin(φ/2)) = α/(2*(n+1)*Sin(∏/(2n))). Тогда l равна α/(2*(n+1)*Sin(∏/(2n)))*∏/n = α*∏/(2*n*(n+1)*Sin(∏/(2n))). Длина ломаной L равна (n+1)*l = α*∏/(2*n*Sin(∏/(2n))) = α/((2n/∏)*Sin(∏/(2n))). Т.к. предел выражения x*Sin(1/x) при x→∞ равен 1, то предел длины ломаной равен длине отрезка AB, т.е. α.
Ответ отправил: _Ayl_, Студент
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. Задача 1 Рассмотрим одну часть разбиения. Это отрезок EF длиной (a/n), этот отрезок взят в качестве основания равнобедренного треугольника, с углом при основании равным (п/(2n)). Необходимо вычислить сумму длин боковых сторон этого треугольника.  Здесь EF = (a/n), ∠ E = ∠ F = (п/(2n)). Опускаем из вершины С высоту на основание EF, это высота CD, она также является медианой (и биссектрисой), так как треугольник EFC равнобедренный и EF - основание. Тогда ED = EF/2 = (a/(2n)). Из треугольника EDC легко находится EC, так как треугольник EDC прямоугольный: EC = ED/cos(∠E) = (a/(2n)) / cos(п/(2n)) = a / [2n*cos(п/(2n))] Тогда, так как треугольник EFС равнобедренный, то: EС + FС = 2*EС = a / [n*cos(п/(2n))] Значит длина ломаной, при разбиении отрезка АВ на n равных частей, равна: Ln = (EC + FC)*n = 2*EC*n = a / [cos(п/(2n))] При n -> ∞ длина ломаной стремится к L, и L равно: L = lim{n -> ∞} Ln = lim{n -> ∞} {a / [cos(п/(2n))]} = / при n -> ∞ (п/(2n)) -> 0 и cos(п/(2n)) -> cos(0) = 1 / = a Ответ: L = a P.S. Очевидно, если бы угол был равен β, то предел длины бы равнялся (a/cos(β)) Задача 2 Рассмотрим одну часть разбиения. Это отрезок EF длиной (a/n) и дуга EF, дуга EF является дугой окружности с центром в точке С радиуса R, и угол ∠ECF равен β = (п/n). Длина дуги равна: s = ∠ECF*R = R*β = R*(п/n) Требуется вычислить радиус окружности.  Опускаем из точки С высоту на сторону EF. Треугольник EFC - равнобедренный, так как FC = EC = R. Значит высота CD одновременно является и биссектрисой угла ∠ECF и медианой. Значит ED = EF/2 = (a/(2n)) и ∠DCE = (1/2)*∠ECF = (β/2) = (п/(2n)). Треугольник EDC прямоугольный, значит: R = EC = ED/sin(∠DCE) = (a/(2n)) / sin(β/2) = a / [2n*sin(β/2)] = a / [2n*sin(п/(2n))] Тогда длина дуги равна: s = R*β = [a*β] / [2n*sin(β/2)] = [a*п] / [2n2*sin(п/(2n))] Значит длина кривой, при разбиении отрезка АВ на n равных частей, равна: Ln = s*n = [a*β] / [2*sin(β/2)] = [a*п] / [2n*sin(п/(2n))] При n -> ∞ длина кривой стремится к L, и L равно: L = lim{n -> ∞} Ln = lim{n -> ∞} {[a*β] / [2*sin(β/2)]} = lim{n -> ∞} {[a*п] / [2n*sin(п/(2n))]} = = a * lim{n -> ∞} {п / [2n*sin(п/(2n))]} = / пусть t = (п/(2n)), при n -> ∞ (п/(2n)) -> 0 и t -> 0 / = = a * l im{t -> 0} {t / sin(t)} = a * 1 = a Очевидно, если будет строится полуокружность, то β = п, тогда предел длины: L = lim{n -> ∞} Ln = lim{n -> ∞} {[a*β] / [2*sin(β/2)]} = lim{n -> ∞} {[a*п] / [2*sin(п/2)]} = [a*п] / [2*1] = (a*п)/2 Ответ: для угла (п/n) предел длины кривой равен L = a, для полуокружности (то есть для угла п) предел длины кривой равен (a*п)/2
Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 172421:
Здравствуйте уважаемые Эксперты. Помогите пожалуйста. Заранее всем огромное спасибо.
Отправлен: 21.09.2009, 18:58 Отвечает SLasH, 9-й класс : Здравствуйте, neznayu. 1) Есть 4 варианта 000Х 00Х0 0Х00 Х000 Вероятность равна 4*(6/20 * 5/19 * 4/18 * 14/17)~0.0578 2) 7/28 * 6/27 * 5/26 = 0.011 3) n1=16 p1=0.9 n2=24 p2=0.8 n3=60 p3=0.9 А-взятое изделие H1 - изделие с 1 завода H2 - изделие с 2 завода H3 - изделие с 3 завода Вероятность изготовления изделий заводом Р(H1)=n1/(n1+n2+n3)=16/(16+24+60)=0.16 Р(H2)=0.24 Р(H3)=0.6 Условная вероятность Р(А l H1)=0.9 Р(А l H2)=0.8 Р(А l H3)=0.9 P(A)=0.9*0.16+0.8*0.24+0.9*0.6=0.876
Редактирование ответа по просьбе автора
----- ∙ Отредактировал: Victor Pyrlik, Модератор ∙ Дата редактирования: 21.09.2009, 22:44 (время московское)
Ответ отправил: SLasH, 9-й класс
Здравствуйте, neznayu. 1. В партии 20 изделий 6 изделий имеют скрытый дефект. Какова вероятность того, что из взятых наугад 4 изделий 3 изделия являются дефектными? Задача на Гипергеометрическое распределение. Отношение кол-ва благоприятных способов - произведение кол-ва комбинаций выбрать 3 деф. Изд. из 6 (сочетания из 6 по 3) на кол-во комбинаций выбрать 1 испр. Изд. из 14 (сочетания из 14 по 1) к кол-ву комбинаций выбрать 4 из 20. P = (С(6,3)*С(14,1)/С(20,4) = 0,057792 2. В магазине выставлены для продажи 28 изделий, среди которых 7 изделий некачественные. Какова вероятность того, что взятые случайным образом 3 изделия будут не качественными? Задача на Гипергеометрическое распределение. Отношение кол-ва благоприятных способов - произведение кол-ва комбинаций выбрать 3 некач. Изд. из 7 (сочетания из 7 по 3) на кол-во комбинаций выбрать 0 испр. Изд. из 21 (сочетания из 21 по 0) к кол-ву комбинаций выбрать 3 из 28. P = (С(7,3)*С(21,0)/С(28,3) = 0,010684 3. На сборочное предприятие поступили однотипные комплектующие с трех заводов в количестве: 16 с первого завода, 24 со второго и 60 с третьего. Вероятность качественного изготовления изделий на первом заводе 0,9 , на втором 0,8 , на третьем 0,9. Какова вероятность того что взятое случайным образом изделие окажется качественным? Задача на формулу полной вероятности. Гипотезы: Hi – изделие взято с i-го завода, i = 1…3; А – изделие – качественное. P(H1) = 16/100 P(H2) = 24/100 P(H3) = 60/100 P(A\H1) = 0,9 P(A\H2) = 0,8 P(A\H3) = 0,9 Формула полной вероятности: P(A) = P(H1) * P(A\H1) + P(H2) * P(A\H2) + P(H3) * P(A\H3) = *0,9 0,16+ 0,8*0,24+ 0,9*0,60 = 0,876 4. В условиях предыдущей задачи взятое случайным образом изделие оказалось качественным. Какова вероятность того, что оно изготовлено на третьем заводе? По формуле Байеса: P(H3/A) = P(H3)P(A/H 3)/ P(A) = 0,9*0,60 /0,876= 0,6164384
Ответ отправил: Копылов Александр Иванович, Практикант
Здравствуйте, neznayu. 6. Воспользуемся формулой P(а<X<b) = Ф((b-M)/σ) - Ф((a-M)/σ). Подставив сюда a=45, b=49, M=48, σ=5, получим P(45<X<49) = Ф((49-48)/5) - Ф((45-48)/5) = Ф(0,2) - Ф(-0,6) = Ф(0,2) + Ф(0,6) - 1 = 0,5793 + 0,7257 - 1 = 0,3050. ----- Экономика должна быть математической
Ответ отправил: Вера Агеева, Студент
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.9 от 25.09.2009 |
| В избранное | ||
