RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 171720: Здравствуйте эксперты! Помогите, пожалуйста, решить задание. Вычислить интеграл ∫(e(в степени z)×dz)÷z(z+2)² по замкнутым контурам a)|z|=1 и b) |z-2|=1, считая обход контура в положительном направлении.Нарисовать область инт... Вопрос № 171735: Здравствуйте эксперты! В задании f(z)=z/(z²-5z+6) в окрестности точки z0 по степеням z-z0, z0=3 разложить функцию f(z) в ряд Лорана в указанных областях. Спасибо!... Вопрос № 171720:
Здравствуйте эксперты! Помогите, пожалуйста, решить задание.
Отправлен: 29.08.2009, 09:19 Отвечает Kom906, 7-й класс : Здравствуйте, Сидорова Юлия Евгеньевна. Подынтегральная функция: f(z) = ez / [z(z+2)2] 1. Аналитичность подынтегральной функции Данная функция аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точек: z(z+2)2 = 0 z1 = 0 , z2 = - 2 Точка z1 = 0 - простой полюс, точка z2 = - 2 - двойной полюс.  2. Контур C1: |z| = 1 Контур C1 - окружность с центром в точке z0 = 0 и радиуса R = 1. Подынтегральная функция аналитична на контуре C1 и аналитична в области, ограниченной контуром C1, за исключением точки z1 = 0, являющейся простым полюсом. Поэтому, согласно интегральной формуле Коши: ∫C1 f(z)dz = 2*pi*i*lim{z->z1} [f(z)*(z - z1)] где pi = 3.14.., i - мнимая единица lim{z->z1} [f(z)*(z - z1)] = lim{z->0} [(ez*z) / (z(z+2)2)] = lim{z->0} [ez / (z+2)2] = e0 / (0+2)2 = 1 / 4 ⇒ ∫C1 f(z)dz = 2*pi*i*(1/4) = (pi*i)/2 3. Контур C2: |z - 2| = 1 Контур C2 - окружность с центром в точке z0 = 2 и радиуса R = 1. Подынтегральная функция аналитична на контуре C2 и аналитична в области, ограниченной контуром C2. Поэтому, согласно теореме Коши: ∫C2 f(z)dz = 0
Ответ отправил: Kom906, 7-й класс
Вопрос № 171735:
Здравствуйте эксперты!
Отправлен: 29.08.2009, 20:53 Отвечает Kom906, 7-й класс : Здравствуйте, Сидорова Юлия Евгеньевна. 1. Аналитичность функции Функция аналитична на всей комплексной плоскости, за исключением точек: z2 - 5z + 6 = 0 z1,2 = 2.5 ± √(0.25) = 2.5 ± 0.5 z1 = 2, z2 = 3 - простые полюсы функции 2. Разложим дробь, определяющую функцию, на элементарные f(z) = z / (z2 - 5z + 6) = z / [(z - 2)(z - 3)] = [A/(z - 2)] + [B/(z - 3)] z = A*(z - 3) + B*(z - 2) = (A + B)*z + (- 3A - 2B) Получим систему уравнений: {A + B = 1 {- 3A - 2B = 0 ⇒ A = - 2, B = 3 ⇒ f(z) = - [2/(z - 2)] + [3/(z - 3)] 3. Области разложения Относительно точки z0 = 3 (являющейся простым полюсом функции) получим две области (два "кольца"): а) 0 < |z - 3| < 1 б) |z - 3| > 1 *** точка z1 = 2 (простой полюс функции) как раз "разграничивает" эти "кольца" 4. При 0 < |z - 3| < 1 Так как 1/(1 + z) = 1 + z + z2 + z3 + ... = ∑{n=0...∞} zn, при |z| < 1, то: 1/(z - 2) = 1/(1 + (z - 3)) = ∑{n=0...∞} (z - 3)n Этот ряд сходится при |z - 3| < 1, рассматриваемая область (0 < |z - 3| < 1) подходит Тогда: f(z) = z / (z2 - 5z + 6) = - [2/(z - 2)] + [3/(z - 3)] = [3/(z - 3)] - 2*∑{n=0...∞} (z - 3)n 5. При |z - 3| > 1 Так как 1/(1 + z) = 1 + z + z2 + z3 + ... = ∑{n=0...∞} zn, при |z| < 1, то: 1/(z - 2) = 1/(1 + (z - 3)) = [1/(z - 3)]*[1/(1 + (1/(z - 3)))] = [1/(z - 3)]*∑{n=0...∞} 1/(z - 3)n = ∑{n=0...∞} 1/(z - 3)n+1 = ∑{n=1...∞} 1/(z - 3)n Этот ряд сходится при |1/(z - 3)| < 1, то есть при |z - 3| > 1, то есть в рассматриваемой области (|z - 3| > 1) Тогда: f(z) = z / (z2 - 5z + 6) = - [2/(z - 2)] + [3/(z - 3)] = [3/(z - 3)] - 2*∑{n=1...∞} 1/(z - 3)n = [1/(z - 3)] - 2*∑{n=2...∞} 1/(z - 3)n
Ответ отправил: Kom906, 7-й класс
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009 |
| В избранное | ||
