Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 760 RSS
←   Сентябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

760 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 2307
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 1821
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1346
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1009
Дата выхода:23.09.2009, 21:00
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:230 / 145
Вопросов / ответов:3 / 3

Вопрос № 172294: Здравствуйте, уважаемые эксперты. У меня несколько простых вопросов по математике из курса средней школы: 1. Каким образом раскладывается многочлен (не понятно, по какому правилу) (x3 + x2 - 2 = (x - 1)(x2 Вопрос № 172296: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Объясните, пожалуйста, как решить эти 2 задачи на непрерывность функции: 1. y = 1 / (1 + 21/x) Доказать, что эта функция имеет в точке x = 0 разрыв !первого! рода. Построить схем...

Вопрос № 172309: Доброго времени суток. Решал контрольную работу по математике, и вдруг наткнулся на пример, который не имею понятия как решать вообще. int dx/sqrt(x+3)+sqrt^3((x+3)^2) Каким образом свести к табличному значению? Или тут как то иначе ну...
Вопрос № 172294:

Здравствуйте, уважаемые эксперты.
У меня несколько простых вопросов по математике из курса средней школы:

1. Каким образом раскладывается многочлен (не понятно, по какому правилу)
(x3 + x2 - 2 = (x - 1)(x2 + x + 2)

2. Касательная и нормаль:
коэффициент касательной: k1 = f'(x0)
нормали: k2 = (-1)/(f'[x0]
k1 * k[sub]2/sub] = -1
Поправьте, если что не так.

Спасибо.

Отправлен: 18.09.2009, 11:04
Вопрос задал: Иванов Андрей Владимирович, 2-й класс
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс :
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.
1. Существует по крайней мере 2 способа разложения.
a) способ дополнения.
Он заключается в необходимом расширении выражения:
x3+x2-2 = x3-x2+2*x2-2 = x2*(x-1)+2*(x2-1) =
x2*(x-1)+2*(x+1)*(x-1) = (x-1)*(x2+2*(x+1)) = (x-1)*(x2+2*x+2).

Обратите внимание, что ответ отличен от приведенного в условии.


b) Путем решения уравнений.
Рациональный корень уравнения x3+x2-2 = 0 ищем среди делителей числа 2 (как положительных, так и отрицательных) - см. приложение. Т.е. среди чисел ±1, ±2.
Методом подбора находим, что x = 1 - корень уравнения.

Делим многочлен x3+x2-2 на двучлен x-1 (о делении многочленов см. приложение), получаем в частном
x2+2*x+2.

Таким обрразом,
x3+x2-2 = (x-1)*(x 2+2*x+2).

2. Обратимся к теории.
Как известно, угловой коэффициент касательной к кривой y = f(x) равен производной f'(x) в точке касания x=x0, т.е. k1 = f'(x0) (при условии, конечно, что f(x) дифференцируема в точке x=x0).

Далее, угловой коэффициент прямой равен тангенсу угла наклона этой прямой к оси абсцисс. Обозначим этот угол α. Т.е. tgα = k1.

Далее, нормаль всегда перпендикулярна касательной, проведенной в той же точке.
Т.е. если β - угол между нормалью и осью абсцисс, то угловой коэффициент нормали k2=tgβ и модуль разности |α-β|=90º.

Таким образом, возможны два случая:
α-β=90º (1)
и
β-α=90º. (2)

Разбермся по-порядку.
Из уравнения (1) следует:
tg(α-β) = tg90º
(tgα - tgβ)/(1+tgα * tgβ) = ∞
(k1-k2)/(1+k1*k2) = ∞

Это справедливо, когда знаменатель равен 0 (в противном случае левая часть всегда получается конечной). Т.е.
1+k1*k2=0 (3)
или
k1*k2=-1. (4)

Аналогично доказывается, что равенство (2) также сводится к (4).

В частности, если k1 = 0 (уравнение касательной в этом случае имеет вид y = a), то k2 = -1/0 = ∞ и уравнения нормали имеет в этом случае вид x=b (a и b - константы, зависящие от конкретной точки, к которой проводятся нормаль и касательная: a - ордината этой точки, b - ее абсцисса).

Т.е. ваши утверждения в целом правильные. Еднственное что, существуют частные случаи, которые требуют отдельного рассмотрения (на 0, все таки делить нельзя). Здесь эти случаи рассмотрены.

Приложение:

-----
Впред и вверх!

Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс
Ответ отправлен: 18.09.2009, 19:47

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254348 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 172296:

    Здравствуйте, уважаемые эксперты.
    Объясните, пожалуйста, как решить эти 2 задачи на непрерывность функции:

    1. y = 1 / (1 + 21/x)

    Доказать, что эта функция имеет в точке x = 0 разрыв !первого! рода.
    Построить схематически график функции в окрестности этой точки.

    У меня получилось так:

    Код:
    x→±0
    lim (1 + 2 1/x)-1 = ∞
    Значит, существуют оба односторонних предела, и это точка разрыва 1 рода.


    2. Используя свойства непрерывных функций, убедиться в том, что уравнение
    х5 - 3х = 1
    имеет по меньшей мере один корень, заключенный между 1 и 2.

    Спасибо.

    Отправлен: 18.09.2009, 12:32
    Вопрос задал: Иванов Андрей Владимирович, 2-й класс
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »

    Отвечает Kom906, 10-й класс :
    Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович.

    Задача 1

    Функция y = 1 / (1 + 21/x) является непрерывной при любом действительном х, кроме х = 0

    Для определения характера точки х = 0 надо найти односторонние пределы функции в данной точке и, по возможности, предел функции в этой точке

    Находим предел слева, то есть рассматриваем x -> 0-, в этом случае х < 0. Тогда (1/х) -> - ∞, и 21/x -> 2- ∞ = 0. Значит предел функции слева:

    lim{x -> 0-} y(x) = lim{x -> 0-} 1 / (1 + 21/x) = 1 / (1 + 0) = 1

    Этот предел конечен и равен 1

    Находим предел справа, то есть рассматриваем x -> 0+, в этом случае х > 0. Тогда (1/х) -> + ∞, и 21/x -> 2+ ∞ = + ∞. Значит предел функции справа:

    lim{x -> 0+} y(x) = lim{x -> 0+} 1 / (1 + 21/x) = 1 / (1 + ∞) = 0

    Этот предел конечен и равен 0
    Так как левосторонний и правосторонний пределы не равны и конечны, то в самой точке предел не существует. Также так как левосторонний и правосторонний пределы не равны и конечны, то точка х = 0 является точкой разрыва первого рода

    Схематично это выглядит так:


    Кстати, немного теории о точках разрыва:

    - если односторонние пределы равны и конечны, то точка разрыва является устранимой точкой разрыва, и в этой точке функцию можно доопределить, и из равенства односторонних пределов и их конечности (существования) следует, что существует (конечен) предел в этой точке.

    - если односторонние пределы не равны и конечны, то точка разрыва является точкой разрыва первого рода, и из неравенства односторонних пределов и их конечности (существования) следует, что не существует предел в этой точке.

    - если хотя бы один односторонн ий предел равен бесконечности (то есть не существует), то точка разрыва является точкой разрыва второго рода, и не существует предел в этой точке.


    Задача 2

    Рассмотрим функцию y(x) = х5 - 3х - 1 (из выражения х5 - 3х - 1 = 0)

    Функция непрерывна на всей действительной оси, то есть при любом дейтвительном х

    При х = 1: y(1) = 15 - 3*1 - 1 = - 3 < 0

    При х = 2: y(2) = 25 - 3*2 - 1 = 25 > 0

    Так как функция непрерывна при любом дейтвительном х, то есть и на отрезке [1; 2], и на концах отрезка функция принимает значения разных знаков, то функция имеет по меньшей мере одну точку, в которой функция равна нулю, следовательно и уравнение имеет по меньшей мере один корень

    Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
    Ответ отправлен: 18.09.2009, 15:29

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254342 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Вопрос № 172309:

    Доброго времени суток. Решал контрольную работу по математике, и вдруг наткнулся на пример, который не имею понятия как решать вообще.

    int dx/sqrt(x+3)+sqrt^3((x+3)^2)

    Каким образом свести к табличному значению? Или тут как то иначе нужно решать?

    Отправлен: 18.09.2009, 20:43
    Вопрос задал: Андрей Владимирович Маракулин, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »

    Отвечает Kom906, 10-й класс :
    Здравствуйте, Андрей Владимирович Маракулин.

    Как я понимаю, это неопределенный интеграл:

    ∫ dx / [ √(x + 3) + 3√(x + 3)2] = ∫ dx / [ (x + 3)1/2 + (x + 3)2/3]

    Решается он не так сложно, как вам кажется, а, именно, через подстановку (x + 3)1/6 = t. Тогда:

    x + 3 = t6 ⇒ x = t6 - 3

    dx = (t6 - 3)'*dt = 6*t5*dt

    (x + 3)1/2 = t3, (x + 3)1/3 = t2

    Значит:

    ∫ dx / [ (x + 3)1/2 + (x + 3)2/3] = ∫ [ 6*t5*dt ] / [ t3 + t4] = 6 * ∫ [ t2*dt ] / [ 1 + t ] =

    = 6 * ∫ [ (t2 + t - t - 1 + 1) / (1 + t) ] *dt = 6 * ∫ [ t - 1 + (1 / (1 + t)) ] *dt =

    = 6 * [ (t2/2) - t + ln(t + 1)] + C = 3*t2 - 6*t + 6*ln(t + 1) + C =

    = / t = (x + 3)1/6 / =

    = 3*(x + 3)2/6 - 6*(x + 3)1/6 + 6*ln((x + 3)1/6 + 1) + C = 3*(x + 3)1/3 - 6*(x + 3)1/6 + 6*ln((x + 3)1/6 + 1) + C

    где С - произвольная константа

    Итак:

    ∫ dx / [ (x + 3)1/2 + (x + 3)2/3] = 3*(x + 3)1/3 - 6*(x + 3)1/6 + 6*ln((x + 3)1/6 + 1) + C

    Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
    Ответ отправлен: 18.09.2009, 21:05

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254350 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.9 от 22.09.2009
    В избранное