Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay
  Все выпуски  

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 2097
∙ повысить рейтинг »
Kom906
Статус: 10-й класс
Рейтинг: 1599
∙ повысить рейтинг »
_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1260
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1004
Дата выхода:17.09.2009, 17:30
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:229 / 143
Вопросов / ответов:6 / 7

Вопрос № 172093: Найти область определения функции: у = ln 2x/1+x За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо". ...


Вопрос № 172094: Найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремум функции. у = х2 е За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо". ...
Вопрос № 172095: Определить интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба функции : у = 3х / 1+х3 За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо". ...
Вопрос № 172096: Найти асимптоты графика функции: у = х3 / х2 - 3 За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо". ...
Вопрос № 172097: Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке: у = cos x - x / √2 ; [- П / 2; П / 2] За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо". ...
Вопрос № 172099: Исследовать функцию и построить график: у = 2х+1/(х+1)2 За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо". ...

Вопрос № 172093:

Найти область определения функции:

у = ln 2x/1+x

За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо".

Отправлен: 11.09.2009, 22:52
Вопрос задал: Real Madrid Player, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса »


Отвечает Химик CH, Модератор :
Здравствуйте, Real Madrid Player.
не совсем однозначно указано условие, поэтому рассмотрим 2 варианта
1) у = (ln 2x)/(1+x)
выражение под логарифмом должно быть положительно, знаменатель не равен нулю
2x>0
1+x≠0

x>0
x≠-1

x>0
x∈(0; ∞)


2) у = ln (2x/(1+x))
выражение под логарифмом должно быть положительно
2x/(1+x)>0
данное выражение обращается в ноль в точке х=0 и не определено в точке разрыва x=-1
данные точки разбивают числовую прямую на 3 участка:
при x<-1 числитель и знаменатель отрицательны - частное положительно
при -1<x<0 числитель отрицателен, знаменатель положителен - частное отрицательно
при x<-1 числитель и знаменатель положительны - частное положительно
Отсюда получаем область определения
x∈(-∞;-1)∪(0;∞)
-----
Никогда не просите у химика просто СОЛЬ...

Ответ отправил: Химик CH, Модератор
Ответ отправлен: 11.09.2009, 21:31
Латвия, Рига
Тел.: +37128295428
Абонент Skype: himik_c2h5oh

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254087 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 172094:

    Найти интервалы возрастания и убывания функции, экстремум функции.

    у = х2 е

    За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо".

    Отправлен: 11.09.2009, 22:57
    Вопрос задал: Real Madrid Player, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »


    Отвечает LfiN, 4-й класс :
    Здравствуйте, Real Madrid Player.
    у = х^2*е^(-х)
    Её производная имеет вид: y'=2*x*e^(-x) -х^2*е^(-х)=x*e^(-x) *(2-x).
    Решение неравенства y'>0 даёт только один интервал (0;2), на нём функция возрастает. Решая неравенство y'<0, получаем, что х принадлежит интервалам (-бесконечность;0)и(2;+бесконечность), следовательно у на объединённом интервале убывает.

    Ответ отправил: LfiN, 4-й класс
    Ответ отправлен: 11.09.2009, 22:19

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254088 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 172095:

    Определить интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба функции :

    у = 3х / 1+х3

    За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо".

    Отправлен: 11.09.2009, 23:01
    Вопрос задал: Real Madrid Player, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »


    Отвечает Химик CH, Модератор :
    Здравствуйте, Real Madrid Player.
    у = 3х / (1+х3)
    найдём производные
    dy/dx=((3x)'*(1+х3)-3x*(1+х3)')/(1+х3)2=(3+3х3-9х3)/(1+х3)2=(3-6х3)/(х6+2х3+1)
    d2y/dx2=((3-6х3)'*(х6+2х3+1)-(3-6х3)*(х6+2х3+1)')/(1+х3)4=
    =((-18х2)*(х6+2х3+1)-(3-6х3)*(6х5+6х2))/(1+х3)4=
    =(-18х8-36х5-18х2-18x5-18х2+36х8+36х5)/(1+х3)4=
    =(18х8-18х5-36х2)/(1+х3)4=18х2(x3-2)(x3+1)/(1+х3)4=
    =18х2(x3-2)/(1+х3) 3

    вторая производная обращается в ноль в точках перегиба x=0 и х=3√2
    также функция имеет точку разрыва x=-1
    рассмотрим значения этой производной на получаемых интервалах
    x<-1 d2y/dx2>0 функция вогнута
    -1<x<0 d2y/dx2<0 функция выпукла
    0<x<3√2 d2y/dx2<0 функция выпукла, а х=0 не является точкой перегиба
    x>3√2 d2y/dx2>0 функция вогнута

    итак имеем 1 точку перегиба х=3√2
    функция выпукла при x∈(-1;3√2)
    функция вогнута при x∈(-∞;-1)∪(3√2;∞)

    Изображение математических выкладок
    -----
    Никогда не просите у химика просто СОЛЬ...

    Ответ отправил: Химик CH, Модератор
    Ответ отправлен: 11.09.2009, 22:29
    Латвия, Рига
    Тел.: +37128295428
    Абонент Skype: himik_c2h5oh

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254089 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 172096:

    Найти асимптоты графика функции:

    у = х3 / х2 - 3

    За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо".

    Отправлен: 11.09.2009, 23:03
    Вопрос задал: Real Madrid Player, Посетитель
    Всего ответов: 2
    Страница вопроса »


    Отвечает Kom906, 10-й класс :
    Здравствуйте, Real Madrid Player.

    Как я понимаю, функция имеет вид:

    у(x) = х3 / (х2 - 3)

    1. Непрерывность функции

    Функция непрерывна на всей действительной оси, кроме точек:

    х2 - 3 = 0

    то есть, кроме точек: x1,2 = ± √(3)

    В точке x1 = - √(3):

    lim{x -> x1 - 0} y(x) = lim{x -> - √(3) - 0} х3 / (х2 - 3) = lim{x -> - √(3) - 0} х3 / [(х + √(3))*(x - √(3))] =

    = [(- 3*√(3)) / (- 2*√(3))] * lim{x -> - √(3) - 0} 1 / (x + √(3)) = (3/2) * lim{x -> - √(3) - 0} 1 / (x + √(3)) = - ∞

    lim{x -> x1 + 0} y(x) = (3/2) * lim{x -> - √(3) + 0} 1 / (x + √(3)) = + ∞

    ⇒ точка x1 = - √(3) - точка разрыва второго рода

    В точке x2 = + √(3):

    lim{x -> x2 - 0} y(x) = lim{x -> √(3) - 0} х3 / (х2 - 3) = lim{x -> √(3) - 0} х3 / [(х + √(3))*(x - √(3))] =

    = [(3*√(3)) / (2*√(3))] * lim{x -> √(3) - 0} 1 / (x - √(3)) = (3/2) * lim{x -> √(3) - 0} 1 / (x - √(3)) = - ∞

    lim{x -> x2 + 0} y(x) = (3/2) * lim{x -> √(3) + 0} 1 / (x - √(3)) = + ∞

    ⇒ точка x2 = + √(3) - точка разрыва второго рода


    2. Вертикальные ассимптоты

    Так как точки x1,2 = ± √(3) точки разрыва второго рода, то прямые x1,2 = ± √(3) - вертикальные ассимптоты данной кривой


    3. Горизонтальные ассимптоты

    Так как:

    lim{x -> ∞} y(x) = lim{x -> ∞} х3 / (х2 - 3) = lim{x -> ∞} [х3 : х3] / [(х2 - 3) : х3] =

    = lim{x -> ∞} 1 / [(1/x) - (3/х3)] = 1 / 0 = ∞

    то есть данный предел не является конечным, то кривая не имеет горизонтальных ассимптот


    4. Наклонные ассимптоты

    Наклонная ассимптота имеет вид:

    yас(x) = kx + b

    Коэффициенты равны:

    k = lim{x -> ∞} y(x)/x = lim{x -> ∞} х3 / [(х2 - 3)*x] = lim{x -> ∞} х2 / [х2 - 3] =

    = lim{x -> ∞} [х2 : х2] / [(х2 - 3) : х2] = lim{x -> ∞} 1 / [1 - (3/х2)] = 1 / 1 = 1

    b = lim{x -> ∞} [y(x) - kx] = lim{x -> ∞} [ {х3 / (х2 - 3)} - x] = lim{x -> ∞} { [х3 - х3 + 3x] / (х2 - 3) } =

    = lim{x -> ∞} [3x] / (х2 - 3) = lim{x -> ∞} [3х : х2] / [(х2 - 3) : х2] = l im{x -> ∞} [3/x] / [1 - (3/х2)] = 0 / 1 = 0

    Значит, yас(x) = x - наклонная ассимптота к кривой
    Редактирование ответа по просьбе автора
    -----
    ∙ Отредактировал: Химик CH, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 12.09.2009, 02:04 (время московское)

    Ответ отправил: Kom906, 10-й класс
    Ответ отправлен: 12.09.2009, 01:14

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254093 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Лысков Игорь Витальевич, Модератор :
    Здравствуйте, Real Madrid Player.
    Рассматриваем функцию у = х3 / (х2 - 3)
    Вертикальная асимптота — прямая вида x = a при условии существования предела limx→a f(x) = ∞
    Видим, что таких прямых две (из уравнения x2 - 3 = 0): x = - √3 и x = √3, причем
    limx→-√3-0 f(x) = - ∞
    limx→-√3+0 f(x) = + ∞
    limx→√3-0 f(x) = - ∞
    limx→√3+0 f(x) = + ∞

    Горизонтальных ассимптот вида y = a нет, т.к. нет такой а, чтобы существовал предел limx→±∞ f(x) = a

    Наклонная асимптота — прямая вида y = kx + b при условии существования пределов:
    limx→±∞ f(x)/x = k и limx→±∞ (f(x) - kx) = b
    Имеем:
    limx→±∞2 / (х2 - 3)) = 1 = klimx→±∞3 / (х3 - 3) - x) = limx→±∞ (3 / (х3 - 3)) = 0 = b
    Т.о., имеем наклонную ассимптоту y = x
    -----
    Удачи!

    Ответ отправил: Лысков Игорь Витальевич, Модератор
    Ответ отправлен: 12.09.2009, 01:35
    Украина, Кировоград
    Тел.: +380957525051
    ICQ # 234137952
    Mail.ru-агент: igorlyskov@mail.ru
    Абонент Skype: igorlyskov

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254094 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 172097:

    Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке:

    у = cos x - x / √2 ; [- П / 2; П / 2]

    За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо".

    Отправлен: 11.09.2009, 23:09
    Вопрос задал: Real Madrid Player, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »


    Отвечает Химик CH, Модератор :
    Здравствуйте, Real Madrid Player.
    у = cos x - x / √2
    производная dy/dx=-sinx-1/√2
    находим экстремумы
    dy/dx=0
    -sinx-1/√2=0
    sinx=-1/√2=-√2/2
    на указанном интервале такой синус имеет x=-п/4
    значение в этой точке y(-п/4)=√2/2+п√2/8=1,26...
    значения на концах отрезка
    y(-п/2)=п√2/4=1,11...
    y(п/2)=-п√2/4=-1,11...

    максимум на данном отрезке находится в точке x=-п/4, минимум на конце отрезка в точке x=п/2
    -----
    Никогда не просите у химика просто СОЛЬ...

    Ответ отправил: Химик CH, Модератор
    Ответ отправлен: 11.09.2009, 22:50
    Латвия, Рига
    Тел.: +37128295428
    Абонент Skype: himik_c2h5oh

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254090 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Вопрос № 172099:

    Исследовать функцию и построить график:

    у = 2х+1/(х+1)2

    За правильный ответ отблагодарю "денежным спасибо".

    Отправлен: 11.09.2009, 23:13
    Вопрос задал: Real Madrid Player, Посетитель
    Всего ответов: 1
    Страница вопроса »


    Отвечает Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс :
    Здравствуйте, Real Madrid Player.
    Во-первых, хочу заметить, что согласен с Kom906 в плане того, что вопрос, возможно, сформулирован неточно. Т.е. приведенную запись функции можно понять двояко:
    у = [2х] + [1/(х+1)2] и у = (2х + 1) / (х+1)2.

    Тем не менее, буду рассматривать функцию именно так, как она записана: у(x) = [2х] + [1/(х+1)2].

    1. Область определения функции: x∈(-∞,-1)∪(-1,+∞).
    2. Функция не является ни четной, ни нечетной, т.к. y(-x)=-2*x+1/(1-x)2 ≠ y(x) и y(-x)≠ -y(x).
    3. Точки пересечения с осями координат.
    Пересечение с осью OX:
    2х+1/(х+1)2 = 0
    2х*(х+1)2 = -1
    x3+2*x2+x+1/2=0

    Решаем это уравнение методом, приведенным в http://algolist.manual.ru/maths/findroot/cubic.php, находим, что уравнение имеет один действительный корень (т.к. R=23/108, Q=1/9, R2 ≈0.045, Q3 ≈ ; 0.001 и R2 ≥ Q3).
    Далее, т.к. R>0, то sign(R)=1, поэтому
    A=-(|R|+√(R2 - Q3))1/3 = - ((√57)/36+23/108)1/3 ≈-0.750.
    Т.к. A ≠ 0, то
    B= Q/A =-(((√57)/36+23/108)1/3)/9 ≈-0.148.

    Т.к. A ≠ B, то единственный действительный корень есть
    x1 = A+B-a/3 ≈ -1.565 (можно, конечно, записать точное значение корня, но оно будет слишком громоздким и не удобным для того, чтобы отметить точку на графике).

    Итак, график пересекает ось абсцисс в точке (-1.565, 0).

    Пересечение с осью ординат:
    y(0) = 1. Поэтому точка пересечения (0,1).

    4. Легко земетить, что
    lim x→-1 (2х + 1/(х+1)2) = +∞.
    Поэтому прямая x=-1 - вертикальная ассимптота и точка x=-1 - точка разрыва второго рода.

    lim x→+∞ (2х + 1/(х+1)< sup>2)=+∞
    lim x→-∞ (2х + 1/(х+1)2)=-∞

    Поэтому горизонтальных ассимтот у функции нет. Ищем наклонные ассимптоты в виде y=k*x+b.
    При x→+∞
    k=lim x→+∞ ((2х + 1/(х+1)2)/x) = lim x→+∞(2+1/(x*(х+1)2))=2
    b=lim x→+∞ (2х + 1/(х+1)2 - k*x) = lim x→+∞ (2х + 1/(х+1)2 - 2*x) =
    lim x→+∞ (1/(х+1)2)=0.

    При x→-∞
    k=lim x→-∞ ((2х + 1/(х+1)2)/x) = lim x→-∞(2+1/(x*(х+1)2))=2
    b=lim x→-∞ (2х + 1/(х+1)2 - k*x) = lim x→-∞ (2х + 1/(х+1)2 - 2*x) =
    lim x→-∞ (1/(х+1)2)=0.

    Итак, y=2*x - наклонная ассимптота при x→+∞ и при x→-W 34;.

    5. Первая производная данной функции
    y'(x) = 2-2/(x+1)3.
    Найдем интервалы знакопостоянства производной.
    y'(x)=0 при x=0 (2/(x+1)3=2 ⇔ (x+1)3 =1 ⇔ x+1 =1 ⇔ x=0) . Далее воспользуемся методом интервалов:
    при x<0 y'(x)<0, следовательно, функция y(x) убывает;
    при x>0 y'(x)>0, следовательно, функция y(x) возрастает.

    Таким образом, x=0 - точка локального минимума.
    6. Вторая производная данной функции:
    y''(x) = 6/(x+1)4.

    Уравнение y''(x)=0 корней не имеет и y''(x)>0 на всей области определения y(x). Поэтому функция выпукла вниз.

    График функции изображен здесь.

    Основной график изображен красным цветом. Остальные цвета - ассимптоты.

    Приложение:

    -----
    Впред и вверх!

    Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс
    Ответ отправлен: 12.09.2009, 11:03

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 254099 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
  • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!


    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)

    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.


    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009

    В избранное