RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 172082: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Прошу объяснить, как решаются эти 3 простых примера (логарифмы и пределы), из курса средней школы: 1. Непонятен только 1-ый шаг решения: неужели можно так просто занести 9х2 под логарифм? 2. ... Вопрос № 172083: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Объясните, пожалуйста, как решаются эти 3 примера с пределами: http://i030.radikal.ru/0909/83/947acfaad267.jpg Спасибо.... Вопрос № 172084: Здравствуйте, уважаемые эксперты. Как правильно решить эти 2 примера с пределами (решить у меня получается, но ответы не сходятся): http://s39.radikal.ru/i085/0909/28/e1305e3c02d7.jpg Заранее спасибо.... Вопрос № 172082:
Здравствуйте, уважаемые эксперты.
Отправлен: 11.09.2009, 14:38 Отвечает Вера Агеева, Студент : Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. 1. Просто прологарифмировали обе части уравнения по основанию 3. Затем в левой части уравнения воспользовались свойством: loga(bx) = x logab, a>0, b>0, a=/1. Символ "=/" означает "не равно". ----- Экономика должна быть математической
Ответ отправил: Вера Агеева, Студент
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. Вопрос 1. Есть такое действие, называемое логарифмированием (подробное объяснение можно найти в интернете). Оно основывается на том, что если a=b>0, то log(a)=log(b) (основание логарифма не указываю нарочно, чтобы подчеркнуть, что равенство справедливо при любом допустимом основании логарифма). По идее, первый пример решается следующим образом. ОДЗ: x>0 Уравнение xlog[sub]3[/sub]x+1=9*x2 равносильно (т.к. левая и правая части заведомо положительны при x>0) log3(xlog[sub]3[/sub]x+1)=log3(9*x2) Далее степень числа (аргумента логарифмической функции) можно вынести за знак логарифма, поэтому можно перейти к следующему уравнению, равносильному данному: (log3x+1)*log3(x)=log3(9*x2), что у вас и записано. Ну, если уж совсем преобразовыват ь уравнение, то следующим образом (log3x+1)*log3(x)=log3((3*x)2) (log3x+1)*log3(x)=2*log3(3*x) (т.к. x>0, то log3((3*x)2)=2*log3 |3*x|=2*log3(3*x)) (log3(x)+1)*log3(x)=2*(log33 + log3x) (log3(x)+1)*log3(x)=2*(1 + log3x) (log3(x)+1)*(log3(x)-2)=0 Т.е. либо log3(x)+1=0 ⇔ log3x = log3(1/3) ⇔ x=1/3 (удовлетворяет ОДЗ), либо log3(x)-2=0 ⇔ log3(x) = log3(9) ⇔ x=9 (удовлетворяет ОДЗ). При переходе из равенсва log3x = log3(1/3) к равенству x=1/3 мы произвели действие, обратное логарифмированию. Такое действие называется потенцированием. Ответ: x1=1/3, x2=9 Вопрос 2. Вос пользуемся равенством sin(x)=sin(п-x). Теперь произведем замену переменных z=п-x (x=п-z). Тогда пример перепишется в виде limz→0(sin(3*(п-z))/sin(2*(п-z)))=limz→0(sin(3*z)/sin(-2*z)))= limz→0(sin(3*z)/(3*z)*(-2*z)/sin(-2*z)*(3/(-2)))=-3/2 (из первого замечактельного предела следует, limz→0(sin(3*z)/(3*z)) = 1 и limz→0((-2)/sin(-2*z))=1, т.к. при z→0 3*z→0 и -2*z→0). Вопрос 3. Здесь верно применен второй замечательный предел. Правильно его записать в следующем виде: limx→0((ln((1+x/a)a/x))1/a). После замены переменной x/a = z limz→0((ln((1+z)1/z))1/a)=ln(e1/a)=1/a. Удачи!!!  Что не понятно, спрашивай.
----- Впред и вверх!
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. 1-ая задача Сперва, согласно определению логарифма, получим: x > 0, x ≠ 1 Проверяем справедливость выражения: xlog{3}x + 1 = 9x2 *** запись log{3}x обозначает log3x Если это выражение справедливо, то справедливо и выражение: log3xlog{3}x + 1 = log3(9x2) Но так как: log3xlog{3}x + 1 = (log3x + 1)*log3x log3(9x2) = log39 + log3x2 = 2 + 2*log3x = 2*(1 + log3x) Следовательно, xlog{3}x + 1 не равно тождественно 9x2 (то есть не равно при любом х, x > 0 и x ≠ 1) Но если рассматривать данное выражение как уравнение, то получим: (log3x + 1)*log3x = 2*(1 + log3x) ⇒ log3x = 2, а также log3x + 1 = 0, или log3x = - 1 ⇒ x1 = 9 и x2 = 1/3 (x1 и x2 удовлетворяет условиям x > 0 и x ≠ 1) То есть данное выражение справедливо только при x1 = 9 и x2 = 1/3 2-ая задача lim{x->pi} [sin(3x)] / [sin(2x)] Так как: sin(3x) = - sin(3x - 3*pi) и sin(2x) = - sin(2x - 2*pi), то: lim{x->pi} [sin(3x)] / [sin(2x)] = lim{x->pi} [- sin(3x - 3*pi)] / [sin(2x - 2*pi)] = - lim{x->pi} [sin(3*(x - pi))] / [sin(2*(x - pi))] = = - lim{x->pi} [sin(3*(x - pi))*2*3*(x - pi)] / [sin(2*(x - pi))*2*3*(x - pi)] = = - {lim{x->pi} [3*sin(3*(x - pi))] / [3*(x - pi)]} / {lim{x->pi} [2*sin(2*(x - pi))] / [2*(x - pi)]} = = - (3/2) * {lim{x->pi} [sin(3*(x - pi))] / [3*(x - pi)]} / {lim{x->pi} [sin(2*(x - pi))] / [2*(x - pi)]} = = / пусть t = 3*(x - pi), тогда при x->pi t->0; пусть s = 2*(x - pi), тогда при x->pi s->0 / = = - (3/2) * {lim{t->0} [sin(t)] / t} / {lim{s->0} [sin(s)] / s} = - (3/2) * 1 / 1 = - 3/2 3-ья задача lim{x->0} [ln(a + x) - ln(a)] / x = lim{x->0} [ln((a + x) / a)] / x = lim{x->0} [ln(1 + (x/a))] / x = lim{x->0} [1/x] * [ln(1 + (x/a))] = = lim{x->0} [1/a] * [a/x] * [ln(1 + (x/a))] = (1/a) * lim{x->0} [ln(1 + (x/a))]a/x = = / пусть t = (a/x), тогда при x -> 0 t -> ∞ / = = (1/a) * lim{t -> ∞} [ln(1 + (1/t))]t = (1/a) * ln { lim{t -> ∞} (1 + (1/t))t } = (1/a) * ln { e } = (1/a) * 1 = 1/a
Ответ отправил: Kom906, 9-й класс
Вопрос № 172083:
Здравствуйте, уважаемые эксперты.
Отправлен: 11.09.2009, 14:43 Отвечает Вера Агеева, Студент : Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. 1. Вынесем (n + 1)! за скобку и в числителе и в знаменателе, получим: lim [(n +1)! ((n + 2) + 1)]/[(n + 1)! ((n + 2) - 1)] = lim [(n +1)! (n + 3)]/[(n + 1)! (n + 1)] = lim (n + 3)/(n + 1) = lim (1 + 3/n)/(1 + 1/n) = (1 + 0)/(1 + 0) = 1. Здесь n везде стремится к бесконечности. 2. Воспользуемся тем фактом, что 1 + 2 + 3 + ... + n = n(n + 1)/2. Тогда lim 1/n2 (1 + 2 + 3 + ... + n) = lim 1/n2 n(n + 1)/2 = lim (n + 1)/2n = lim (1 + 1/n)/2 = 1/2. n здесь также везде стремится к бесконечности. ----- Экономика должна быть математической
Ответ отправил: Вера Агеева, Студент
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. 1-ая задача lim{n->∞} [(n + 2)! + (n + 1)!] / [(n + 2)! - (n + 1)!] = lim{n->∞} [(n + 1)!*(n + 2) + (n + 1)!] / [(n + 1)!*(n + 2) - (n + 1)!] = = lim{n->∞} [(n + 1)!*(n + 2 + 1)] / [(n + 1)!*(n + 2 - 1)] = lim{n->∞} (n + 3) / (n + 1) = lim{n->∞} [(n + 3) : n] / [(n + 1) : n] = = lim{n->∞} [1 + (3/n)] / [1 + (1/n)] = (1 + 0) / (1 + 0) = 1 2-ая задача lim{n->∞} [1/n2] * (1 + 2 + 3 + ... + n) Выражение (1 + 2 + 3 + ... + n) образует сумму первых n членов арифметической прогрессии, где а1 = 1, d = 1. Тогда: 1 + 2 + 3 + ... + n = (a1 + an)*n/2 = (1 + n)*n/2 Тогда: lim{n->∞} [1/n2] * (1 + 2 + 3 + ... + n) = lim{n->∞} [1/n2] * [(1 + n)*n/2] = lim{n->∞} [(1 + n) / (2n)] = = lim{n->∞ ;} [(1/(2n)) + (1/2)] = 0 + (1/2) = 1/2 3-ья задача lim{n->∞} [2n - 1] / [2n + 1] = lim{n->∞} [2n + 1 - 2] / [2n + 1] = = lim{n->∞} {1 - [2 / (2n + 1)]} = 1 - (2/∞) = 1 - 0 = 1
Ответ отправил: Kom906, 9-й класс
Вопрос № 172084:
Здравствуйте, уважаемые эксперты.
Отправлен: 11.09.2009, 14:48 Отвечает Kom906, 9-й класс : Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. 1-ая задача lim{x->1} (x3 + x - 2) / (x3 - x2 - x + 1) Раскладываем многочлен в числителе на множетели: (x3 + x - 2) : (x - 1) = x2 + x + 2 ⇒ (x3 + x - 2) = (x - 1)*(x2 + x + 2) Раскладываем многочлен в знаменателе на множетели: x3 - x2 - x + 1 = (x3 - x2) - (x - 1) = x2*(x - 1) - (x - 1) = (x2 - 1)*(x - 1) = (x + 1)*(x - 1)2 Тогда: lim{x->1} (x3 + x - 2) / (x3 - x2 - x + 1) = lim{x->1} [(x - 1)*(x2 + x + 2)] / [(x + 1)*(x - 1)2] = lim{x->1} [x2 + x + 2] / [(x + 1)*(x - 1)] = = { lim{x->1} (x2 + x + 2) / (x + 1)} * { lim{x->1} 1 / (x - 1) } = {4/2} * { lim{x->1} 1 / (x - 1) } = 2 * { lim{x->1} 1 / (x - 1) } = 2 * (1/0) = ∞ 2-ая задача lim{x->0} [√(x2 + 1) - 1] / [√(x2 + 16) - 4] = = lim{x->0} { [√(x2 + 1) - 1] * [√(x2 + 1) + 1] * [√(x2 + 16) + 4] } / { [√(x2 + 16) - 4] * [√(x2 + 1) + 1] * [√(x2 + 16) + 4] }= = lim{x->0} { [x2 + 1 - 1] * [√(x2 + 16) + 4] } / { [x2 + 16 - 16] * [√(x2 + 1) + 1] }= = lim{x->0} { x2 * [√(x2 + 16) + 4] } / { x2 * [√(x2 + 1) + 1] }= = lim{x->0} [√(x2 + 16) + 4] / [√(x2 + 1) + 1] = (4 + 4) / (1 + 1) = 4
Ответ отправил: Kom906, 9-й класс
Здравствуйте, Иванов Андрей Владимирович. В первом примере имеем неопределенность вида 0/0, а не 0/(-2). Посчитайте повнимательнее. Раскрыть эту неопределенность можно правилом Лопиталя. limx→1((x3+x-2)/(x3-x2-x+1) = limx→1((3*x2+1)/(3*x2-2*x-1)=4/0=∞. Т.е. ваш ответ правильный. Вопрос 2. Вы допустили маленькую арифметическую ошибку. Данный предел равен: limx→0((x2+1-1)*(√(x2+16)+4)/((x2+16-16)*(√(x2+1)+1)))= limx→0((√(x2+16)+4)/(√(x2+1)+1))=8/2=4. Удачи!!!
Приложение:
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009 |
| В избранное | ||
