Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 763 RSS
←   Сентябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

763 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 2038
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 8-й класс
Рейтинг: 1542
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1179
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:995
Дата выхода:08.09.2009, 13:00
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:228 / 141
Вопросов / ответов:1 / 2

Вопрос № 171857: Уважаемые эксперты!Будьте так добры! Помогите решить задачки: I) По координатам вершин треугольника АВС найти: а) периметр треугольника; б) угол АВС; в) уравнение высоты АD; г) координаты точки пересечения медиан треугольника; ...

Вопрос № 171857:

Уважаемые эксперты!Будьте так добры! Помогите решить задачки:

I) По координатам вершин треугольника АВС найти:
а) периметр треугольника;
б) угол АВС;
в) уравнение высоты АD;
г) координаты точки пересечения медиан треугольника;
д) уравнение биссектрисы АМ;
е) площадь треугольника.
A(1,2) B(-1,2) C(-3,0)

II) Привести уравнение кривой второго порядка f(x;y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax+By+C=0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения.
2x^2 - 4x - y+3=0; 2x - y -1=0

III) По координатам вершин пирамиды А1А2А3А4 найти:
а) длину ребра А1А3;
б) угол между ребрами А1А2 и АА4;
в) площадь грани А1А2А3;
г) объем пирамиды;
д) уравнения прямых А1А2 и А1А3;
е) уравнение плоскостей А1А2А3 и А1А2А4;
ж) угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4;
А1(2;-1;2) А2(1;-1;6) А3(0;0;2) А4(2;1;4)

Полный завал, вы последняя надежда!!!Заранее СПАСИБО!!!!!!!!

Отправлен: 03.09.2009, 12:35
Вопрос задал: Атопкин А.П., Посетитель
Всего ответов: 2
Страница вопроса »

Отвечает _Ayl_, Студент :
Здравствуйте, Атопкин А.П..

1. A (1, 2); B (-1, 2); C (-3, 0)

Рассчитаем следующие векторы:
AB = (-2, 0); AC = (-4, -2); BC = (-2, -2)
|AB| = 2; |AC| = 2√5; |BC| = 2√2

а) Периметр треугольника: P = |AB| + |AC| + |BC| = 2 + 2√5 + 2√2
б) Угол ABC: a•b = |a|*|b|*Cos (∠(a, b))
Угол ABC является углом между векторами BA и BC
Вектор BA = -AB = (2, 0)
BA • BC = (2, 0) • (-2, -2) = 2*(-2) + 0*(-2) = -4
Cos (∠ABC) = BA • BC / (|BA| * |BC|) = -4 / (2 * 2√2) = -1/√2
Следовательно, ∠ABC = arccos (-1/√2) = 135º
в) Пусть h - прямая, содержащая высоту треугольника из вершины A. Возьмем на ней любую точку D и обозначим ее координаты как (x, y)
То гда вектор AD будет равен (x-1, y-2).
Т.к. AD ⊥ BC, то скалярное произведение векторов AD и BC равно 0.
Запишем выражение для скалярного произведения: AD • BC = (x-1)*(-2) + (y-2)*(-2) = -2x + 2 -2y + 4 = -2x -2y + 6
Приравняем это выражение 0: -2x -2y + 6 = 0 ⇔ -x -y + 3 = 0.
Т.о., уравнением высоты AD является: y = -x + 3
г) Известно, что если M - точка пересечения медиан (центроид треугольника), то для любой точки O верно соотношение: OM = 1/3 (OA + OB + OC)
Возьмем в качестве точки O вершину треугольника A. Тогда AM = 1/3 (AA/b] + [b]AB/b] + [b]AC/b]) = 1/3 ([b]AB/b] + [b]AC/b])
Т.е. [b]AM = 1/3 (AB/b] + [b]AC/b]) = 1/3 ((-2, 0) + (-4, -2)) = 1/3 (-6, -2) = (-2, -2/3)
Т.е. координаты точки M равны (-1, -4/3)
д) Пусть b - прямая, содержащая биссектрису треугольника, проведенную из вершины A. Возьмем на ней лю бую точку M и обозначим ее координаты как (x, y)
Тогда вектор [b]AM будет равен (x-1, y-2).
Т.к. AM - биссектриса ∠BAC, то ∠BAM равен ∠CAM, а значит, что равны и косинусы данных углов.
Косинус угла между векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленное на произведение их длин.
Т.е.:
Cos (∠BAM) = AB • AM / (|AB|*|AM|)
Cos (∠CAM) = AC • AM / (|AС|*|AM|)
Приравнивая эти выражения, получаем: AB • AM / (|AB|*|AM|) = AC • AM / (|AС|*|AM|)
или, сокращая на |AM|: AB • AM / |AB| = AC • AM / |AС|
AB • AM = (-2, 0) • (x-1, y-2) = (-2)*(x-1) + 0*(y-2) = -2x+2
AC • AM = (-4, -2) • (x-1, y-2) = (-4)*(x-1) + (-2)*(y-2) = -4x+4-2y+ 4 = -4x-2y+8
Подставляем в исходное выражение:
(-2x+2)/2 = (-4x-2y+8)/2√5 ⇔ (-x+1)*2√5 = -4x-2y+8 ⇔ 2y = 2√5*x - 4x -2√5 + 8 ⇔ y = (√5 - 2)*x - √5 + 4
Т.о. уравнением биссектрисы AM является: y = (√5 - 2)*x - √5 + 4
е) Площадь треугольника ABC.
Известно, что одно из выражений для площади треугольника есть половина произведения двух сторон треугольника на синус угла между ними.
Также заметим, что длина вектора, являющегося результатом векторного произведения двух векторов, вычисляется как произведение длин векторов на синус угла между ними.
Т.о., площадь треугольника можно вычислить как половину векторного произведения двух векторов.
SΔABC = 1/2 * AB × AC = 1/2 * (-2, 0) × (-4, -2) = 1/2 * (-2 * (-2) - 0 * (-4)) = 1/2 * 4 = 2

Ответ отправил: _Ayl_, Студент
Ответ отправлен: 03.09.2009, 14:35

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253821 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Kom906, 8-й класс :
    Здравствуйте, Атопкин А.П..

    Задача 2

    1. Приводим уравнение кривой второго порядка к каноническому виду

    2x2 - 4x - y + 3 = 0 ⇔ 2*(x2 - 2x + 1) - 4x - y + 3 - 2 = 0 ⇔ 2*(x - 1)2 - (y - 1) = 0 ⇔ (x - 1) = (1/2)*(y - 1)

    Итак, уравнение кривой второго порядка в каноническом вид:(x - 1)2 = 2*(1/4)*(y - 1)

    Данное уравнение определяет параболу, и ее свойства:
    - симметричная относительно прямой х = 1 (из условия х - 1 = 0);
    - вершина расположена в точке (1, 1) (из условий х - 1 = 0 и у - 1 = 0);
    - фокус расположен в точке (1, 9/8) (из условий х - 1 = 0 и у - 1 = (1/2)*(1/4));
    - ветви направлены вдоль положительного направления оси Оу;
    - уравнение директрисы у = 7/8 (из условия у - 1 = - (1/2)*(1/4))

    2. Точки пересечения прямой и параболы

    Из уравнения прямой (2x - y - 1 = 0) выражаем у: у = 2х - 1. Подставляем это выражение в уравнение пара болы:

    2x2 - 4x - (2х - 1) + 3 = 0 ⇔ 2x2 - 6x + 4 = 0 ⇔ x2 - 3x + 2 = 0

    х1,2 = 1.5 ± √((1.5)2 - 2) = 1.5 ± √(0.25) = 1.5 ± 0.5

    х1 = 1, х2 = 2

    у1 = 2*1 - 1 = 1, у2 = 2*2 - 1 = 3

    Итак, есть две точки пересечения прямой и параболы: А(1, 1) и В(2, 3)


    Задача 3

    1. Определяем длину ребра А1А3

    Вектор А1А3: А1А3 = {0 - 2; 0 - (- 1); 2 - 2} = {- 2; 1; 0}

    Длина вектора А1А3, как и ребра А1А3: |А1А3| = √((- 2)2 + 12 + 02) = √(5) (единиц длины)

    2. Определяем угол между ребрами А1А2 и А1А4

    Угол определяем при помощи вычисления скалярного произведения векторов А1А2 и А1А4

    А1А2 = {1 - 2; - 1 - (- 1); 6 - 2} = {- 1; 0; 4}
    А1А4 = {2 - 2; 1 - (- 1); 4 - 2} = {0; 2; 2}

    Модули векторов:

    |А1А2| = √((- 1)2 + 02 + 42) = √(17)
    |А1А4| = √(02 + 22 + 22) = 2*√(2)

    Скалярное произведение:

    А1А2*А1А4 = - 1*0 + 0*2 + 4*2 = 8

    Также скалярное произведение равно:

    А1А2*А1А4 = |А1А2|*|А1А4|*cos(φ), где φ - угол между векторами

    ⇒ cos(φ) = (А1А2*А1А4) / (|А1А2|*|А1А4|) = 8 / (2*√(2)*√(17)) = 4/√(34) = (2*√(34))/17

    ⇒ φ = arccos((2*√(34))/17) = 46.69 (градусов)

    3. Определяем площадь грани А1А2А3

    Площадь грани определяем как половину модуля векторного произведения векторов А1А2 и А1А3

    А1А2 = {1 - 2; - 1 - (- 1); 6 - 2} = {- 1; 0; 4}
    А1А3 = {0 - 2; 0 - (- 1); 2 - 2} = {- 2; 1; 0}

    SА1А2А3 = (0.5)* [А1А2, А1А3]= (0.5)*||i, j, k; - 1, 0, 4; - 2, 1, 0|| = (0.5)*|(i*|0, 4; 1, 0|) - (j*|- 1, 4; - 2, 0|) + (k*|- 1, 0; - 2, 1|)| =

    = (0.5)*|i*(0*0 - 4*1) - j*(- 1*0 - 4*(- 2)) + k*|- 1*1 - 0*(- 2))| = (0.5)*|- 4*i - 8*j - k| = (0.5)*√((- 4)2 + (- 8)2 + (- 1)2) = (0.5)*√(81) = 9/2

    *** здесь i, j и k - единичные базисные векторы
    *** здесь я привел запись определителей матриц в виде |i, j, k; 2+m, 3-3m, 0; 0, 9, 0| и | 3-3m, 0; 9, 0|, строки матрицы я отделил точкой с запятой, то есть запись вида |3-3m, 0; 9, 0|
    *** означает определитель матрицы, первая строчка составлена из элементов (3-3m) и 0, вторая строчка - из элементов 9 и 0, аналогично для определителя третьего порядка
    *** просто не нашел более удобного вида

    Итак, SА1А2А3 = 9/2 единиц площади

    4. Определяем площадь пирамиды

    Площадь пирамиды равна одной шестой от модуля смешанного произведения векторов А1А2, А1А3 и А1А4

    А1А2 = {- 1; 0; 4}, А1А3 = {- 2; 1; 0}, А1А4 = {0; 2; 2}

    Смешанное произведение векторов равно:

    (А1А2, А1А3, А1А4) = |- 1, 0, 4; - 2, 1, 0; 0, 2, 2| =

    = (- 1)*1*2 + 0*0*0 + 2*4*(- 2) - 0*1*4 - 2*0*(- 1) - 0*(- 2)*2 = - 2 - 16 = - 18

    *** здесь я, опять ж е, привел запись определителя матрицы третьего порядка

    Тогда объем пирамиды:

    V = (1/6)*|(А1А2, А1А3, А1А4)| = (1/6)*|- 18| = 3 (единиц объема)

    5. Уравнения прямых

    Так как для прямой А1А2 направляющий вектор - это вектор А1А2, и данная прямая проходит через точку А1, то уравнение прямой:
    (А1А2 = {- 1; 0; 4}, А1(2; - 1; 2)), то уравнение прямой:

    (x - 2)/(-1) = (y - (- 1))/0 = (z - 2)/4

    Или: (x - 2)/(-1) = (z - 2)/4, у = - 1

    Так как для прямой А1А3 направляющий вектор - это вектор А1А3, и данная прямая проходит через точку А1, то уравнение прямой:
    (А1А3 = {- 2; 1; 0}, А1(2; - 1; 2)), то уравнение прямой:

    (x - 2)/(-2) = (y - (- 1))/1 = (z - 2)/0

    Или: (x - 2)/(-2) = (y + 1)/ 1, z = 2

    6. Уравнение плоскости А1А2А3

    Векторы А1А2 и А1А3 лежат в плоскости А1А2А3, поэтому векторное произведение этих векторов равно вектору, нормальному (перпендикулярному) к данной плоскости, это вектор n:

    n = [А1А2, А1А3] = - 4*i - 8*j - k = {- 4; - 8; - 1} (согласно пункту 3)

    Также точка А1(2; - 1; 2) принадлежит плоскости, поэтому уравнение плоскости:

    - 4*(x - 2) - 8*(y - (- 1)) - 1*(z - 2) = 0 ⇒ 4*(x - 2) + 8*(y + 1) + z - 2 = 0 ⇒ 4x + 8y + z - 8 + 8 - 2 = 0 ⇒ 4x + 8y + z - 2 = 0

    7. Уравнение плоскости А1А2А4

    Векторы А1А2 и А1А4 лежат в плоскости А1А2А4, поэтому векторное произведение этих векторов равно вектору, нормальному (пер пендикулярному) к данной плоскости, это вектор m:

    m = [А1А2, А1А4] = |i, j, k; - 1, 0, 4; 0, 2, 2| = (i*|0, 4; 2, 2|) - (j*|- 1, 4; 0, 2|) + (k*|- 1, 0; 0, 2|) =

    = i*(0*2 - 4*2) - j*(- 1*2 - 4*0) + k*|- 1*2 - 0*0) = - 8*i + 2*j - 2*k = {- 8; 2; -2}

    *** здесь я, опять же, привел запись определителя матрицы второго порядка

    Также точка А1(2; - 1; 2) принадлежит плоскости, поэтому уравнение плоскости:

    - 8*(x - 2) + 2*(y - (- 1)) - 2*(z - 2) = 0 ⇒ 4*(x - 2) - 1*(y + 1) + 1*(z - 2) = 0 ⇒ 4x - y + z - 8 - 1 - 2 = 0 ⇒ 4x - y + z - 11 = 0

    8. Угол между плоскостями А1А2А3 и А1А2А4

    Угол между плоскостями равен углу между нормальными векторами к этим плоскостям, если он острый, или равен 180 градусов минус угл между нормальными векторами к этим плоскостям, если он тупой

    Здесь нормальные векторы - это векторы n и m, угол между ними вычисляем через их скалярное произведение

    n = {- 4; - 8; - 1}, |n| = √((- 4)2 + (- 8) + (- 1)) = √(81) = 9
    m = {- 8; 2; -2}, |m| = √((- 8)2 + 2 + (- 2)) = √(72) = 6*√(2)

    n*m = - 4*(- 8) - 8*2 - 1*(- 2) = 32 - 16 + 2 = 18

    ⇒ cos(ψ) = (n*m)/(|n|*|m|) = 18/(9*6*√(2)) = 2/(3*√(2)) = (√(2))/3

    ⇒ ψ = arccos((√(2))/3) = 61.87 (градусов)

    Исправлено по просьбе автора ответа.
    -----
    ∙ Отредактировал: sir Henry, Модератор
    ∙ Дата редактирования: 04.09.2009, 05:49 (время московское)

    Ответ отправил: Kom906, 8-й класс
    Ответ отправлен: 04.09.2009, 00:25

    Оценка ответа: 5

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253838 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009
    В избранное