Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Сентябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 1871
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 7-й класс
Рейтинг: 1444
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1151
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:992
Дата выхода:01.09.2009, 23:05
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:228 / 140
Вопросов / ответов:1 / 1

Вопрос № 171678: Здравтсвуйте, эксперты. У меня к вам вопрос на тему "Комплексные числа и действия над ними". В задании f(z)=sin4iz, z0=-(π/4)i доказать, что f(z) -аналитическая функция и найти её производную в точке z0. Если не в тот раздел п...

Вопрос № 171678:

Здравтсвуйте, эксперты. У меня к вам вопрос на тему "Комплексные числа и действия над ними".
В задании f(z)=sin4iz, z0=-(π/4)i доказать, что f(z) -аналитическая функция и найти её производную в точке z0.
Если не в тот раздел попала, то извините. Направьте в нужное русло!
Спасибо.

Отправлен: 27.08.2009, 21:50
Вопрос задал: Сидорова Юлия Евгеньевна, Посетитель
Всего ответов: 1
Страница вопроса »

Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал :
Здравствуйте, Сидорова Юлия Евгеньевна.

Находим действительную и мнимую части функции f(z):
f(z) = sin 4iz = 1/(2i) ∙ (ei ∙ 4iz – e-i ∙ 4iz) = 1/(2i) ∙ (e-4z – e4z) = -1/(2i) ∙ (e4z – e-4z) = i/2 ∙ (e4z – e-4z) =
= i/2 ∙ (e4(x + iy) – e-4(x + iy)) = i/2 ∙ (e4x + 4iy – e-4x – 4iy) = i/2 ∙ [e4x(cos 4y + i ∙ sin 4y) – e-4x(cos (-4y) + i ∙ sin (-4y))] =
= i/2 ∙ [e4x(cos 4y + i ∙ sin 4y) – e-4x(cos 4y – i ∙ sin 4y)] = i/2 ∙ [cos 4y(e4x – e-4x) + i ∙ sin 4y(e4x + e-4x)] =
= i ∙ cos 4y ∙ (e4x – e-4x)/2 – sin 4y ∙ (e4x + e-4x)/2 = -sin 4y ∙ ch 4x + i ∙ cos 4y ∙ sh 4x,
т о есть
u(x, y) = -sin 4y ∙ ch 4x, v(x, y) = cos 4y ∙ sh 4x.

Находим частные производные ∂u/∂x, ∂u/∂y, ∂v/∂x, ∂v/∂y и выясняем, в окрестностях каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках выполняются условия Коши – Римана:
∂u/∂x = ∂(-sin 4y ∙ ch 4x)/∂x = -sin 4y ∙ 4 ∙ sh 4x = -4 ∙ sin 4y ∙ sh 4x,
∂u/∂y = ∂(-sin 4y ∙ ch 4x)/∂y = -4 ∙ cos 4y ∙ ch 4x,
∂v/∂x = ∂(cos 4y ∙ sh 4x)/∂x = cos 4y ∙ 4 ∙ ch 4x = 4 ∙ cos 4y ∙ ch 4x,
∂v/∂y = ∂(cos 4y ∙ sh 4x)/∂y = -4 ∙ sin 4y ∙ sh 4x.

Поскольку ∂u/∂x = ∂v/∂y и ∂u/∂y = -∂v/∂x для всех точек плоскости R2 (условия Коши – Римана выполняются) и эти частные производные непрерывны в этих точках, то производная f’(z) существует в любой точке z = x + iy комплексной плоскости C. Значит, f(z) = sin 4iz – аналитическая функция.

Находим производную функции f(z):
f’(z) = ∂u/∂x + i ∙ ∂v/∂x = -4 ∙ sin 4y ∙ sh 4x + i ∙ 4 ∙ cos 4y ∙ ch 4x.

Находим значение производной в точке z0 = -(π/4)i. Так как x0 = 0, y0 = -π/4, то
f’(z0) = -4 ∙ sin 4y0 ∙ sh 4x0 + i ∙ 4 ∙ cos 4y0 ∙ ch 4x0 = -4 ∙ sin (-π) ∙ sh 0 + i ∙ 4 ∙ cos (-π) ∙ ch 0 =
= 0 + i ∙ (-1) ∙ 1 = -i.

С уважением.
-----
Пусть говорят дела

Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Ответ отправлен: 28.08.2009, 09:29

Оценка ответа: 5

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253635 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009
    В избранное