RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 171699: исследовать функцию на экстремум z=x^3+y^3-3xy... Вопрос № 171700: решить диф. уравнение у''-8у'+16у=е^(4х) +Х... Вопрос № 171699: исследовать функцию на экстремум z=x^3+y^3-3xy
Отправлен: 28.08.2009, 16:14 Отвечает Kom906, 7-й класс : Здравствуйте, Roland Deschain. 1. Проверяем необходимое условие экстремума Для этого находим частные производные: z(x, y) = x3 + y3 - 3xy dz/dx = (x3 + y3 - 3xy)'x = 3x2 - 3y = 3*(x2 - y) dz/dy = (x3 + y3 - 3xy)'y = 3y2 - 3x = 3*(y2 - x) Получим систему уравнений: {dz/dx = 3*(x2 - y) = 0 {dz/dy = 3*(y2 - x) = 0 Или: {x2 - y = 0 {y2 - x = 0 Подставляя первое уравнение во второе, получим: {y = x2 {x4 - x = 0 Итак, корни уравнения: х1 = 0, у1 = 0 и х2 = 1, у2 = 1. Получим две точки: А(0, 0) и В(1, 1) - это стационарные точки 2. Проверяем выполнение достаточного условия экстремума в стационарных точках Находим частные производные вто рого порядка d2z/dx2 = (dz/dx)'x = (3x2 - 3y)'x = 6x d2z/dy2 = (dz/dy)'y = (3y2 - 3x)'y = 6y d2z/(dxdy) = (dz/dx)'y = (dz/dy)'x = (3x2 - 3y)'y = - 3 Для точки А(0, 0): (d2z/dx2)*(d2z/dy2) - (d2z/(dxdy))2 = 6*0*6*0 - (- 3)2 = - 9 < 0 Значит, точка А(0, 0) не является точкой экстремума Для точки В(1, 1): (d2z/dx2)*(d2z/dy2) - (d2z/(dxdy))2 = 6*1*6*1 - (- 3)2 = 27 > 0 d2z/dx2 = 6*1 = 6 > 0, как и d2z/dy2 = 6*1 = 6 > 0 ⇒ d2z > 0 (дифференциал функции) при d2x + d2y > 0 Значит, точка В(1, 1) является точкой экстремума, а, именно, точкой минимума И z(1, 1) = 13 + 13 - 3*1*1 = 1 + 1 - 3 = - 1 Итак, есть один экстремум - В(1, 1), точка минимума
Ответ отправил: Kom906, 7-й класс
Здравствуйте, Roland Deschain. Областью определения функции z(x, y) является вся плоскость Oxy; функция z(x, y) дифференцируема в каждой точке этой плоскости. Определим стационарные точки, применяя теорему о необходимых условиях существования экстремума: ∂z/∂x = 3x2 – 3y = 0, ∂z/∂y = 3y2 – 3x = 0, или x2 – y = 0, y2 – x = 0, или y = x2, x = y2. Отсюда x1 = 0, x2 = 1, y1 = 0, y2 = 1. Стационарными являются точки M1(0; 0), M2(1; 1). Исследуем полученные точки на достаточность условий экстремума. Имеем ∂2z/∂x2 = 6x, ∂2z/(∂x∂y) = -3, ∂2z/∂y2 = 6y; в точке M1 A = ∂2z(x1, y1)/∂x2 = 0, B = ∂2z(x1, y1)/(∂x∂y) = -3, C = ∂2z(x1, y1)/∂y2 = 0, AC – B2 = 0 – 9 = -9, то есть эта точка не является точкой экстремума; в точке M2 A = ∂2z(x2, y2)/∂x2 = 6 > 0, B = ∂2z(x2, y2)/(∂x∂y) = -3, C = ∂2z(x2, y2)/∂y2 = 6, AC – B2 = 36 – 9 = 27 > 0, то есть эта точка является точкой локального минимума. Значение функции в точке M2 равно zmin = z(1, 1) = 13 + 13 – 3 ∙ 1 ∙ 1 = -1. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Вопрос № 171700: решить диф. уравнение у''-8у'+16у=е^(4х) +Х
Отправлен: 28.08.2009, 16:19 Отвечает Айболит, Практикант : Здравствуйте, Roland Deschain. Решение состоит из 2 частей . Первую часть получаем из левой части исходного уравнения через характерестическое уравнение : у"->k^2 , y'->k , y->1 . (k^2)-8*k+16=0=(k-4)^2=>k1=k2=4 . y1=(x*C1+C2)*(e^(4x)) . Вторую часть строим по виду правой части исходного уравнения , её , кстати , придётся разделить на 2 части из-за разных функций в правой части ... у*=(e^(alfa*x))*(x^r)*(P(n)*cos(Betta*x)+Q(m)*sin(Betta*x))=y2+y3 . Y2 : alfa=4 , Betta=0 , r=2 => y2=A*(x^2)*(e^(4x)) . Y3 : alfa=0 , Betta=0 , r=0 => y3=B*x+D . y*=A*(x^2)*(e^(4x))+B*x+D . y(x)=(A*(x^2)+C1*x+C2)*(e^(4x))+B*x+D . Теперь ещё можно найти коэффициенты А , В и D . (y*)"-8*(y*)'+16*(y*)=(e^(4x))+x . (y*)'=(4*A*(x^2)+2*A*x)*(e^(4x))+B . (y*)"=(16*A*(x^2)+8*A*x+8*A*x+2*A)*(e^(4x)) . (y*)"-8*(y*)'+16*(y*)=(e^(4x))*(16A*(x^2)+16A*x+2A-32A*(x^2)-16A*x+16A*(x^2))-8*B+16*B*x+16*D =2*A*(e^(4 x))-8*B+16*B*x+16*D=(e^(4x))+X A=1/2 , 16*B=1=> B=1/16 , 16*D-8*B=0=>D=B/2=1/32 . y*=(1/2)*(e^(4x))+(x/16)+(1/32) . OTBET : y(x)=((1/2)*(x^2)+C1*x+C2)*(e^(4x))+(x/16)+(1/32) . ----- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит, Практикант
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009 |
| В избранное | ||
