Отправляет email-рассылки с помощью сервиса Sendsay

RFpro.ru: Консультации по математике

Подписаться Бесплатная «Золотая» новостная рассылка . Подписчиков 761 RSS
←   Сентябрь 2009   →
 1
 2
 3
 4
 5
 6
 7
 8
 9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30


За последние 60 дней ни разу не выходила


Сайт рассылки: http://rusfaq.ru
Открыта: 14-07-2005

Автор
Калашников О.А.

Статистика

761 подписчиков
0 за неделю
←   Все выпуски   →

RFpro.ru: Математика


Хостинг портала RFpro.ru:
Московский хостер
Профессиональный платный хостинг на базе Windows 2008

РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU

Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке

Гордиенко Андрей Владимирович
Статус: Профессионал
Рейтинг: 2067
∙ повысить рейтинг » 		Kom906
Статус: 9-й класс
Рейтинг: 1596
∙ повысить рейтинг » 		_Ayl_
Статус: Студент
Рейтинг: 1222
∙ повысить рейтинг »

/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика

Номер выпуска:1001
Дата выхода:14.09.2009, 16:00
Администратор рассылки:Tigran K. Kalaidjian, Профессионал
Подписчиков / экспертов:228 / 142
Вопросов / ответов:1 / 2

Вопрос № 172009: здравствуйте! уважаемые эксперты помогите пожалуйста решить задания. мне до завтра нужно.. очень вас прошу! долго мучаюсь с примером и все никак( 1) вычислить и ответ записать в тригонометрической форме ____________ 3 / _ ...

Вопрос № 172009:

здравствуйте! уважаемые эксперты помогите пожалуйста решить задания. мне до завтра нужно.. очень вас прошу! долго мучаюсь с примером и все никак(

1) вычислить и ответ записать в тригонометрической форме
____________
3 / _ 4_ 4_
√2√3-2i/√27+i√3

Отправлен: 08.09.2009, 16:51
Вопрос задал: Андрейй89
Всего ответов: 2
Страница вопроса »

Отвечает _Ayl_, Студент :
Здравствуйте, Андрейй89.

Итак, функция выглядит так:
((2√3 - 2i)1/3)/(4√27 + i 4√3)

Сначала разберемся со знаменателем. Если домножить знаменатель на сопряженное число 4√27 - i 4√3, то в результате получится выражение, уже не содержащее число i. Действительно, произведение комплексных чисел a + bi и a - bi равно a2 - (bi)2 = a2 - b2*i2 = a2 - b2*(-1) = a2 + b2.

В заданном примере a = 4√27; b = 4√3, следовательно, результат будет равен √27 + √3.

Чтобы избавиться от иррациональности, домножим на выражение √27 - √3. В результате получим разность квадратов чисел √27 и √3, то если выражение 27 - 3 = 24.

Теперь рассмотрим числитель. Для сохранения равенства требуется его домножить на теже самые числа. Т.е. числитель будет равен:
(2√3 - 2i)1/3 * (4√27 - i 4√3) * (√27 - √3) = 3√2 * (√3 - i)1/3 * (4√3 * 4√(32) - i * 4√3) * (3√3 - √3) = 3√2 * 4√3 * 2√3 * (√3 - i)1/3 * (√3 - i) = 3√2 * 4√3 * 2√3 * (√3 - i)4/3.

Заметим, что последнее выражение есть некая константа, умноженная на комплексное число, возведенное в степень 4/3.
С константой разберемся позже, а сейчас рассмотрим комплексное число (пока без возведения в степень). Вот оно: √3 - i.
Преобразуем его в тригонометрическую форму.
Комплексное число z = a + bi = r * (Cos φ + i Sin φ), где r = √(a2 + b2), а tgφ = b/a.
В нашем случае a = √3, b = -1. Т.е. r = √(3+1) = 2; tgφ = -1/√3 ⇒ φ = arctg (-1/√3) = -pi/6 (т.к. точка (√3; -1) находится в 4-й четверти).
Т.о., z = 2 (Cos (-pi/6) + i Sin (-pi/6)).

z4/3 = (z4)1/3

z4 можно вычислить по формуле Муавра: z4 = 24 * (Cos (4*(-pi/6)) + i Sin (4*(-pi/6))) = 16 * (Cos (-2*pi/3) + i Sin (-2*pi/3))
Вычисление корня из полученного числа выполним по формуле: z1/n = r1/n * (Cos ((φ + 2*pi*k)/n) + i Sin ((φ + 2*pi*k)/n)), где k = 0, 1, ..., n-1:
(z4)1/3 = 3√16 * (Cos ((-2*pi/3 + 2*pi*k) / 3) + i Sin ((-2*pi/3 + 2*pi*k) / 3)), k = 0, 1, 2.

Теперь осталось упростить константу. Также учтем и множитель из последнего выражения - 3√16:

C = 3√2 * 4√3 * 2√3 * 3√16 / 24 = 3√32 * 4√27 / 12 = 3√(25/26) * 4√(33/34) = 1/3√2 * 1/4√3 = 1/12(24 * 33) = 1/12√432.

И окончательно, тригонометрическая форма исходного выражения выглядит так:
1/12√432 * (Cos ((-2*pi/3 + 2*pi*k) / 3) + i Sin ((-2*pi/3 + 2*pi*k) / 3)), k = 0, 1, 2.

P.S. Проверьте выкладки

Ответ отправил: _Ayl_, Студент
Ответ отправлен: 08.09.2009, 19:14

Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253987 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
    Отвечает Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс :
    Здравствуйте, Андрейй89.
    Если я правильно понимаю, Root4(27)+i*Root4(3) целиком стоит в знаменателе.

    Числитель
    Root3(2*sqrt(3)-2*i)=Root3(4)*Root3(cos(-π/6+2*π*n)+i*sin(-π/6+2*π*n))=Root3(4)*Root3(ei*(-π/6+2*π*n))=
    Root3(4)*ei*(-π/18+2*π*n/3),
    где n∈Z (множеству целых чисел).

    Знаменатель
    Root4(27)+i*Root4(3)=Root4(3)*(sqrt(3)+i)=2*Root4(3)*ei*π/6.

    Теперь подтавим полученные результаты в основное выражение. После несложных преобразовний получим

    Root3(4)/(2*Root4(3))*ei*(-π/18-π/6+2*π*n/3)=Root3(4)/(2*Root4(3))*ei*(-4π/18+2*π*n/3)=
    Root3(4)/(2*Root4(3))*(cos(-2π/9+2*π*n/3)+i*sin(-2π/9+2*π*n/3)). (1)

    В принципе, тригонометрическую форму результата мы получили.

    Теперь заметим, что при различных значениях n получаем три различных значения вы ражения (1):
    Root3(4)/(2*Root4(3))*(cos(2π/9)-i*sin(2π/9))
    Root3(4)/(2*Root4(3))*(cos(4π/9)+i*sin(4π/9))
    Root3(4)/(2*Root4(3))*(cos(10π/9)+i*sin(10π/9))
    -----
    Впред и вверх!

    Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, 10-й класс
    Ответ отправлен: 08.09.2009, 19:37

    Как сказать этому эксперту "спасибо"?
  • Отправить SMS #thank 253989 на номер 1151 (Россия) | Еще номера »
  • Отправить WebMoney:
    • Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!

    Оценить выпуск »
    Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!

    Задать вопрос экспертам этой рассылки »

    Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!

    Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТА
    на короткий номер 1151 (Россия)
    Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.

    Полный список номеров »

    * Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи. (полный список тарифов)
    ** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
    *** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.

    © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
    Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про"
    Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г.
    Хостинг: Компания "Московский хостер"
    Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009
    В избранное