RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 171940: Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста разобраться с интегралами от компемлексного переменного, на примере следующего интеграла: вдоль прямой от 0 до 1+i вычислить [интеграл вдоль прямой](1+i-2z)dz... Вопрос № 171940:
Здравствуйте эксперты, помогите пожалуйста разобраться с интегралами от компемлексного переменного, на примере следующего интеграла:
Отправлен: 06.09.2009, 00:56 Отвечает Kom906, 8-й класс : Здравствуйте, Tribak. 1. Подынтегральная функция аналитична на всей комплексной плоскости 2. Кривая интегрирования - это отрезок прямой от точки A (z = 0) до точки B (z = 1 + i). Пусть z = x + iy. Указанную прямую можно задать так: y = x, при этом x изменяется от 0 до 1. Тогда z = x + ix = (1 + i)*x, dz = (1 + i)*dx. А подынтегральная функция примет вид: 1 + i - 2z = 1 + i - 2*(1 + i)*x = (1 + i)*(1 - 2x). Тогда исходный интеграл равен: ∫AB(1 + i - 2z)*dz = ∫01(1 + i)*(1 - 2x)*(1 + i)*dx = (1 + i)2*∫01(1 - 2x)*dx = = (1 + 2i + i2)*(x - x2) |01 = 2i*(1 - 12 - 0 + 02) = 0 P.S. То, что в итоге получился ноль, так это просто "такое стечение обстоятельств", то есть сочетание коэффициентов, к примеру, если подынтегральная функция будет иметь вид (1 + i - 3z) , то ответ будет равен (- i)
Ответ отправил: Kom906, 8-й класс
Оценка ответа: 5
Здравствуйте, Tribak! Уравнение этой прямой будет у=х, так как этот отрезок соединяет точки (0,0) и (1,1) и назовем его L. х меняется от нуля до единицы. ∫ по L (1+i-2z)dz=∫ от 0 до 1 (1+i-2x-2ix)dx+i∫от 0 до 1 (1+i-2x-2ix)dx=x+ix-x2-ix2+ix-x-ix2+x2 I01=2ix-2ix2 I01=0. Еще поясняю, что цифра 2 после х это степень. Ответ получен. Рад был помочь.
Ответ отредактирован по просьбе автора ответа.
----- ∙ Отредактировал: Alexey G. Gladenyuk, Управляющий ∙ Дата редактирования: 06.09.2009, 21:28 (время московское)
Ответ отправил: LfiN, 2-й класс
Здравствуйте, Tribak. Перепишем подынтегральную функцию: 1 + i – 2z = 1 + i – 2(x + iy) = 1 – 2x + i(1 – 2y). Здесь u(x, y) = 1 – 2x, v(x, y) = 1 – 2y. На основании формулы для вычисления интеграла от однозначной функции f(z) = u(x, y) + iv(x, y) комплексной переменной z = x + iy получаем L∫(1 + i – 2z)dz = L∫(1 – 2x)dx – (1 – 2y)dy + i L∫(1 – 2y)dx + (1 – 2x)dy. Отрезок прямой между точками z1 = 0, z2 = 1 + i имеет уравнение y = x (0 ≤ x ≤ 1), поэтому dy = dx; пределы интегрирования соответственно равны a = 0, b = 1. Следовательно, L∫(1 + i – 2z)dz = 0∫1 [(1 – 2x) – (1 – 2x)]dx + i 0∫1 [(1 – 2x) + (1 – 2x)]dx = = 0 + i 0∫1 [(1 – 2x) + (1 – 2x)]dx = 2i 0∫1 (1 – 2x)dx = 2i(x – x2)|01 = 2i ∙ (1 – 1) = 0, то е сть действительно интеграл равен нулю. С yчетом приведенных Вами в мини-форуме вариантов ответа замечу, что если f(z) = 1 + i – 2z-, то есть вместо числа z в выражение для функции входит число z- = x – iy, то ответ будет 2(i – 1). А такой ответ есть в приведенных Вами вариантах. Так что ошибка в условии. Посмотрите внимательнее выданный Вам тест. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович, Профессионал
Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2009, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2009.6.8 от 28.08.2009 |
| В избранное | ||
