Вопрос № 166283: Помогите решить 1 задачку: Перейти к сферическим координатам, вычислить тройной интеграл: ∫∫∫dxdydz÷x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>+1 V(объем)-ограничен сферой x<sup>2</sup>+y<sup>2</sup>+z<sup>2</sup>=16...
Вопрос № 166300: Здравствуйте уважаемые эксперты. Очень нужна ваша помощь! Не могу нигде найти формулу grad(div
F). Как ее вычислить?...Вопрос № 166305: Добрый день, уважаемые эксперты, помогите решить этот примерчик: Задан график, требуется найти изображение функции. <a href="http://hardsoftpc.ucoz.ru/Downloans/11-7.jpg" target="_blank">График</a> Также привожу решенные примеры из этого...Вопрос № 166307: Прошу вашей помощи в решении этого задания: Найти оригинал функции: F(p
)=pe^-2p(p^2)+10p+1 Чтобы не ошибиться привожу картинку с заданием <a href="http://hardsoftpc.ucoz.ru/Downloans/12-10.jpg" target="_blank">Задание</a> А та...
Вопрос № 166.283
Помогите решить 1 задачку: Перейти к сферическим координатам, вычислить тройной интеграл: ∫∫∫dxdydz÷x2+y2+z2+1
V(объем)-ограничен сферой x2+y2+z2=16 и плоскостью y=0
Желательно с графиком!
Отправлен: 02.05.2009, 10:21
Вопрос задал: Domenick90
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Быстров Сергей Владимирович
Здравствуйте, Domenick90! Для перехода к сферическим координатам оспользуем формулы x=r*cos(f)*sin(p) y=r*sin(f)*sin(p) z=r*cos(p).
Тогда уравнение сферы x2+y2+z2=16 в сферических координатах примет вид r=4.
Определим пределы интегрирования для каждой переменной. Понятно, что значение r не может превышать радиус сферы (т.е. 4). Поэтому r меняется от 0 до 4. Угол f (угол между осью абсцисс и проекцией радиус-вектора, соединяющего начало координат с произвольной точкой сферы,
на плоскость XOY) меняется от 0 до 2*Pi. Угол p (угол между осью аппликат и радиус-вектором, соединяющим начало координат с произвольной точкой сферы) меняется от 0 до Pi. Здесь надо отметить, что условие об ограниченности сферы плоскостью y=0 ровным счетом мало что дает. Надо бы указать, какую часть сферы отбрасывать при этом ограничении. Ну раз не указано, для примера отбросим нижнюю часть сферы (поэтому p меняется от 0 до Pi). Если мы отбрасываем верхнюю часть, то
p будет меняться от -Pi до 0.
Далее заметим, что для сферических координат определитель Якоби (Якобиан) равен J=r^2*sin(p).
Подынтегральная функция x2+y2+z2+1 в сферических координтах перепишется в виде r^2+1.
Теперь вычислим тройной интеграл ∫[0,4]∫[0,Pi]∫[0,2*Pi](r^2*sin(p)*(r^2+1))dfdpdr=2*Pi*∫[0,4]∫[0,Pi](r^2*sin(p)*(r^2+1))dpdr=2*Pi*∫[0,4](r^2*(r^2+1)*(-cos(Pi)+cos(0)))dr=4*Pi*∫[0,4](r^2*(r^2+1)dr=4*Pi*∫[0,4](r^4+r^2)dr=4*Pi*(4^5/5+4^3/3)=13568*Pi/15.
#thank 248521 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 166.300
Здравствуйте уважаемые эксперты. Очень нужна ваша помощь! Не могу нигде найти формулу grad(div F). Как ее вычислить?
Отправлен: 02.05.2009, 14:20
Вопрос задала: Svetka99 (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Lang21
Здравствуйте, Svetka99!
О grad(div F) можно сказать только, что это векторное поле и расписать его по компонентам. Можно также записать grad(div F) = ∑j ∇i∇jFj = ∑j Dij Fj, где Dij = ∇i ∇j - дифференциальный матричный оператор.
Ответ отправил: Lang21 (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 02.05.2009, 17:04
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 248535 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Отвечает: Гордиенко Андрей Владимирович
Здравствуйте, Svetka99!
Если использовать оператор Гамильтона (оператор набла) ∇ (обозначается через перевернутый символ треугольника), то дивергенция векторного поля F запишется как ∇ ∙ F, а градиент скалярного поля U через этот оператор запишется как ∇U. Следовательно, grad (div F) = ∇(div F) = ∇(∇ ∙ F).
Для вычисления следует использовать следующие формулы: div F = ∇ ∙ F
= (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z) ∙ (P(x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)) = ∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z, grad (div F) = ∇(div F) = ∇(∇ ∙ F) = (∂/∂x, ∂/∂y, ∂/∂z)(∂P/∂x + ∂Q/∂y + ∂R/∂z).
Рассмотрим следующий пример. Пусть F(xyz2, xy – z, zx2). Тогда div <
b>F = yz2 + x + x2, grad (div F) = (1 + 2x, z2, 2yz) = (1 + 2x)i + z2j + 2yzk.
Отвечает: Быстров Сергей Владимирович
Здравствуйте, Логинов Артем Юрьевич! Прежде всего заметим, что в математике известна так называемая функция Хевисайда, определяемая следующим образом: η(t)= 1, если t>=0 0, если t<0
Далее, легко установить, что f(t)= 3-t, если 0<=t<=6 -3, если t>=6
Поэтому при 0<=t<=6 f(t)=(3-t)*η(t)
Однако при t>=6 чтобы получилось -3 необходимо к (3-t) прибавить (t-6) ((3-t) + (t-6) = -3), а при t<6 ничего прибавлять не надо.
Поэтому можем
записать f(t)=(3-t)*η(t)+(t-6)η(t-6).
В самом деле, при 0<=t<6 η(t)=1, η(t-6)=0, поэтому f(t)=(3-t). При t>=6 η(t)=η(t-6)=1, следовательно f(t)=(3-t)+(t-6)=-3.
Теперь осталось найти изображение функции f(t)=(3-t)*η(t)+(t-6)η(t-6). Воспользуемся при этом следующими табличными данными: изображение 1 есть 1/p изображение t есть 1/p^2
Далее, учитывая, что преобразование Лапласа обладает свойс
твом линейности, получим изображение (3-t) есть 3/p-1/p^2=(3p-1)/p^2 изображение (t-6) есть 1/p^2-6/p=(1-6p)/p^2
Далее, руководствуясь теоремой запаздывания, окончательно получим F(p)=(3p-1)/p^2+((1-6p)/p^2)*e^(-6p)
--------- Впред и вверх!
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
