Вопрос № 166244: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста в решении задачи! Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x^2 =4y, y + z=1, z=0 Заранее большое спасибо! ...
Вопрос № 166.244
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста в решении задачи! Найти объем тела, ограниченного поверхностями: x^2 =4y, y + z=1, z=0 Заранее большое спасибо!
Отправлен: 01.05.2009, 12:32
Вопрос задал: Vallyleo (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Гордиенко Андрей Владимирович
Здравствуйте, Vallyleo!
Тело ограничено параболическим цилиндром x2 = 4y и плоскостями y + z – 1 = 0 (плоскость параллельна оси абсцисс) и z = 0 (плоскость перпендикулярна оси аппликат) (рисунок).
[img]http://rusfaq.ru/d/1656[/img]
Параболический цилиндр симметричен относительно плоскости yOz, поэтому при нахождении объема данного тела достаточно найти объем его части, находящейся в первом октанте координатного пространства и удвоить полученный результат.
Рассмотрим указанную
часть тела. Ее объем может быть найден с помощью тройного интеграла V = ∫∫∫Vdxdydz. (1) Чтобы использовать формулу (1), найдем промежутки изменения переменных интегрирования. Плоскость y + z – 1 = 0 пересекает плоскость z = 0 (плоскость xOy) по прямой y = 1. В плоскости xOy эта прямая пересекается с параболой x2 = 4y в точках (2; 1) и (-2; 1) (вторая точка нас не интересует). Криволинейная трапеция, ограниченная прям
ыми x = 0, y = 1 и параболой x2 = 4y является областью Sxy переменных x и y (в эту область проецируется рассматриваемая часть тела на плоскости xOy). Переменная x при этом изменяется от нуля до двух, то есть 0 ≤ x ≤ 2. При фиксированном значении переменной x из этого промежутка переменная y, как следует из уравнения параболы, будет изменяться от x2/4 до 1, то есть x2/4 ≤ y ≤ 1. При фиксированных значениях переменных x и y из области Sxy
переменная z, как следует из уравнения плоскости y + z – 1 = 0, будет изменяться от нуля до 1 – y, то есть 0 ≤ z ≤ 1 – y.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
