RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 182629: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Найти общее решение дифференциального уравнения: а) y''' + 2y'' + y' = (18x+21)e2x б) y''' + y'' - y' - y = (8x+4)ex... Вопрос № 182630: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: Найдите область сходимости функционального ряда: а) (n^3+1)/(3^n*(x-2)^n) В числителе - эн в кубе плюс один, в знаменателе - 3 в степени эн, умноженное на (х-2) в ст... Вопрос № 182629:
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Отправлен: 26.03.2011, 19:55 Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) : Здравствуйте, Aleksandrkib! Рассмотрим первое уравнение. Положим y' = p. Тогда y" = p', y'" = p", и заданное уравнение принимает вид p" + 2p' + p = (18x + 21)e2x. (1) Решим уравнение (1). Рассмотрим сначала уравнение p" + 2p' + p = 0. (2) Характеристическим уравнением этого уравнения является k2 + 2k + 1 = 0, (3) или (k + 1)2 = 0. Следовательно, k1 = k2 = -1, а общее решение уравнения (2) имеет вид poo = e-x(C1 + C2x). (4) Правая часть исходного уравнения имеет вид f(x) = P1(x)ekx, где P1(x) = 18x + 21 - многочлен первой степени, а k = 2 не является корнем характеристического уравнения (3). Значит, частное решение уравнения (1) ищем в виде pч = (Ax + B)e2x. Для определения коэффициентов A и B находим (pч)' = Ae2x + 2(Ax + B)e2x = (A + 2Ax + 2B)e2x, (pч)" = 2Ae2x + 2(A + 2Ax + 2B)e2x = (4A + 4Ax + 4B)e2x и подставляем в уравнение (1): (4A + 4Ax + 4B)e2x + 2(A + 2Ax + 2B)e2x + (Ax + B)e2x = (18x + 21)e2x, откуда находим 9Ax + 6A + 9B = 18x + 21, 9A = 18, A = 2, 6A + 9B = 21, 9B = 21 - 6A = 21 - 6 ∙ 2 = 9, B = 1. Тогда pч = (2x + 1)e2x, а общее решение уравнения (1) имеет вид p = poo + pч = e-x(C1 + C2x) + (2x + 1)e2x. (5) Интегрируя выражение (5), найдём общее решение исходного уравнения. Используем интегрирование по частям. Постоянные интегрирования опускаем. Имеем ∫xeaxdx = (u = x, du = dx, dv = eaxdx, v = &# 8747;eaxdx = 1/a ∙ ∫eaxd(ax) = = 1/a ∙ eax) = 1/a ∙ xeax - 1/a ∙ ∫eaxdx = 1/a ∙ xeax - 1/a2 ∙ eax. При a = -1 получаем ∫xe-xdx = -xe-x - e-x = -(x + 1)e-x. При a = 2 получаем ∫xe2xdx = 1/2 ∙ xe2x - 1/4 ∙ e2x = 1/4 ∙ (2x - 1)e2x. Кроме того, ∫e2xdx = 1/2 ∙ e2x, ∫e-xdx = -e-x. Поэтому y = ∫(e-x(C1 + C2x) + (2x + 1)e2x)dx = = С1∫e-xdx + C2∫xe-xdx + 2∫xe2xdx + ∫e2xdx = = -C1e-x - C2(x + 1)e-x + 1/2 ∙ (2x - 1)e2x + 1/2 ∙ e2x + C3 = = -(C1+C2(x + 1))e-x + xe2x + C3. Ответ: y = -(C1+C2(x + 1))e-x + xe2x + C3. С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор)
Отвечает Саныч (Специалист) : Здравствуйте, Aleksandrkib! Рассмотрим второе уравнение. Общее решение его состоит из суммы общего решения однородного уравнения y'''+y''-y'-y=0, и частного решения неоднородного (исходного) уравнения. Для нахождения общего решения однородного уравнения запишем характеристическое уравнение: r3+r2-r-1=0. Его решение находится легко, если сгруппировать члены: r2(r+1)-(r+1)=0 -> (r+1)2(r-1)=0. Отсюда видно, что имеется один двукратный корень r=-1 и простой корень r=1. Тогда общее решение однородного уравнения запишется в виде: yo=(C1x+C2)e-x+C3ex. Так как функция ex является решением однородного уравнения, то частное решение исходного уравнения ищем в виде: yn=(Ax2+Bx)ex. Находим производные yn'=(2Ax+B)ex+ex(Ax2+Bx)=e yn''=(2Ax+B+2A)ex+ex(Ax2+(B+2A)x+B)=ex(Ax2+(B+4A)x+2B+2A); yn'''=(2Ax+B+4A)ex+ex(Ax2+(B+4A)x+2B+2A)=ex(Ax2+(B+6A)x+3B+6A). Подставляя все это в уравнение и приводя подобные члены, получим 8Ax+(4B+8A)=8x+4, откуда сразу находим A=1, 4B+8A=4 -> B=-1. Теперь получим частное решение в виде: yn=(x2-x)ex. Общее решение y уравнения будет равно сумме: y=yo+yn=(C1x+C2)e-x+C3ex+(x2-x)ex. Ответ: y=(C1x+C2)e-x+(x2-x+C3)ex.
Ответ отправил: Саныч (Специалист)
Вопрос № 182630:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Отправлен: 26.03.2011, 20:04 Отвечает Жерар (Практикант) : Здравствуйте, Aleksandrkib! а) Воспользуемся признаком Даламбера: Отсюда |x-2|>1/3, то есть ряд сходится при x<5/3 и при x>7/3. Исследуем сходимость ряда на границе. При x=7/3 имеем ряд который, очевидно, расходится. При x=5/3 имеем знакочередующийся ряд который также расходится. Следовательно, область сходимости исходного ряда - (-∞,5/3)∪(7/3,∞). б) Для этого ряда то есть не выполняется необходимое условие сходимости. Следовательно, ряд расходится при всех конечных x.
Ответ отправил: Жерар (Практикант)
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.30 от 30.03.2011 |
| В избранное | ||
