RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 182430: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти общее решение диф. уравнения: xy' = y + sqrt(x^2 + y^2)... Вопрос № 182432: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Найти общее решение диф. уравнения: y'cos(x) + y sin(x) = 1... Вопрос № 182433: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти частное решение диф. уравнения: y" + 5 y' + 6y = 12 cos(2x) удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 1, y'(0) = 3... Вопрос № 182434: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Найти частное решение диф. уравнения: y" - 5 y' + 6y = (12x - 7) exp(-x) удовлетворяющее начальным условиям y(0) = 0, y'(0) = 0... Вопрос № 182430:
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Отправлен: 09.03.2011, 09:59 Отвечает vitalkise (Профессионал) : Здравствуйте, Ulitka71!  Будут вопросы обращайтесь в минифорум. Удачи 
Ответ отправил: vitalkise (Профессионал) Оценка ответа: 5
Отвечает Саныч (Специалист) : Здравствуйте, Ulitka71! Данное уравнение является однородным уравнением 1-го порядка. Это можно установить, заменив x и y на tx и ty. Легко видеть, что уравнение не изменится. Такие уравнения решаются подстановкой y(x)=xz(x). Тогда y'=z+xz'. Подставляя все это в уравнение, получим: xz+x2z'=xz+√(x2+x2z2). Теперь после сокращений, будем иметь уравнение xz'=√(1+z2) с разделяющимися переменными. Разделяя переменные, получим: После интегрирования, получим: где C - произвольная постоянная. Отсюда или, после возвращения к старой переменной y (z=y/x) и некоторых простых преобразований, получим общее решение
Ответ отправил: Саныч (Специалист)
Вопрос № 182432:
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Отправлен: 09.03.2011, 12:15 Отвечает Наталья (4-й класс) : Здравствуйте, Ulitka71! y'cos(x) + y sin(x) = 1 линейное уравнение 1-го порядка Выполним подстановку y=uv y'=u'v+uv' Подставим в уравнение u'vcosx+uv'cosx+uvsinx=1 u'vcosx+u(v'cosx+vsinx)=1 положим v'cosx+vsinx=0 dv/ v= - sin(x)dx/ cos(x) ∫ dv/ v=∫ -sin(x)dx/ cos(x) Ln v=∫d(sinx)/cos x Ln v=ln cos x v=cos x подставим в уравнение значение v u'cos2x=1 du=dx/ (cosx)^2 ∫du = ∫dx/ (cosx)^2 u=tgx+C Общее решение уравнения y=cosx(tgx+C)
Заменил решение на решение из мини-форума.
----- ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) ∙ Дата редактирования: 09.03.2011, 15:57 (время московское)
Ответ отправил: Наталья (4-й класс) Оценка ответа: 5
Отвечает Кривов Максим Васильевич (8-й класс) : Здравствуйте, Ulitka71!  Успехов, Кривов Максим
Уточнил ссылку на изображение
----- ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) ∙ Дата редактирования: 09.03.2011, 15:54 (время московское)
Ответ отправил: Кривов Максим Васильевич (8-й класс)
Вопрос № 182433:
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Отправлен: 09.03.2011, 12:20 Отвечает Наталья (4-й класс) : Здравствуйте, Ulitka71! Найдем корни однородного характеристического уравнения K2+5k+6=0 k1=-3 k2=-2 Решение соответствующего однородного уравнения имеет вид: u= C1e-2x+C2e-3x Общее решение неоднородного уравнения будем искать в виде y1=A cos 2x+B sin 2x Найдем y" и y' y1'=-2A sin 2x+2B cos 2x y1"=-4Acos2x-4B sin 2x Подставляем полученные y1, y1" и y1' в исходное уравнение -4Acos2x-4B sin 2x+5(-2A sin 2x+2B cos 2x)+6(A cos 2x+B sin 2x)=12 cos 2x Приравниваем коэффициенты одинаковых тригонометрических функций cos 2x: -4A+10B+6A=12 sin 2x: -4B-10A+6B=0 Решим систему уравнений 2A+10B=12 2B-10A=0 B=5A 2A+50A=12 A=3/13 B=15/13 Общее решения уравнения имеет вид y= C1e-2x+C2e-3x+3/13cos 2x+15/13 sin 2x Найдем частное решение уравнения Определим постоянные интегрирования y'=-2 C1e-2x-3 C2e-3x-6/13 sin 2x+30/13 cos 2x y= C1e-2x+C2e-3x+3/13cos 2x+15/13 sin 2x 3=- 2С1-3С2+30/13 1= C1+ C2+3/13 C1=3, C2=-29/13 Частное решение имеет вид: y= 3e-2x+C2e-3x-29/13cos 2x+15/13 sin 2x
Ответ отправил: Наталья (4-й класс) Оценка ответа: 5
Вопрос № 182434:
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:
Отправлен: 09.03.2011, 12:22 Отвечает Саныч (Специалист) : Здравствуйте, Ulitka71! Общее решение неоднородного линейного уравнения равно сумме общего решения y0 однородного уравнения y''-5y'+6y=0 и частного решения yn данного неоднородного уравнения. Для нахождения y0 найдем корни характеристического уравнения r2-5r+6=0; они равны 2 и 3. Тогда y0=C1e2x+C2e3x. Частное решение неоднородного уравнения ищем в виде: yn=(Ax+B)e-x. Находя первую и вторую производные, получим: y'n=(A-Ax-B)e-x, y''n=(-2A+Ax+B)e-x. Подставляя их у уравнение, получим, после сокращения на экспоненту: 12Ax-7A+12B=12x-7, откуда находим: A=1, B=0. Значит, yn=xe-x. Теперь общее решение запишется в виде: y=C1e2x+C2e3x+xe-x. Используя первое условие, получим: C1+C2=0. Дифференцируя общее решение, получим: y=2C1e2x+3C2e3x+(1-x)e-x, откуда после использования второго начального условия, получим: 2C1+3C2=-1. Умножая первое соотношение для постоянных на (-2) и складывая с только что полученным, получим C2=-1. Из любого уравнения для постоянных можно получить C1=1. Теперь частное решение будет иметь вид: y=e2x-e3x+xe-x.
Ответ отправил: Саныч (Специалист) Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.29 от 01.03.2011 |
Ответ поддержали (отметили как правильный):
| В избранное | ||
