RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 182539: Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос: 1. Представить заданную функцию ω=f (z), где z=x+ij, в виде ω=u(x,y)+ij(x,y); проверить, явялется ли она аналитической. Если да, то найти значение ее производной в... Вопрос № 182539:
Здравствуйте, уважаемые эксперты! Прошу вас ответить на следующий вопрос:
Отправлен: 17.03.2011, 07:47 Отвечает Саныч (Специалист) : Здравствуйте, vera-nika! 6. Применяем преобразование Лапласа к обеим частям дифференциального уравнения (X(p) - преобразование Лапласа для решения x(t)). Получим p2X(p)-4X(p)=1/p2-1/p. Выражая из этого алгебраического уравнения изображение решения X(p), получим Для определения неизвестных коэффициентов A, B, C, D получим соотношение Пусть p=0. Тогда сразу получим A=-1/4. Если p=2, то C=-1/16; при p=-2 имеем D=-3/16. Наконец, если p=1, то B=1/4. Итак, Теперь, переходя к оригиналу (к x(t)) и пользуясь свойствами (линейность) и таблицей изображений Лапласа (1/p <-> 1; 1/p2 <-> t; 1/(p-2) <-> e2t; 1/(p+2) <-> e-2t), п олучим решение Решение задачи 2. Интегрирование осуществляется по замкнутому контуру - окружности радиуса 3 с центром в начале координат. Подинтегральная функция имеет полюса первого порядка (простые полюса) z=-2i и z=4i. Полюс z=4i не входит в область интегрирования (он лежит на мнимой оси y в точке y=4, что соответствует комплексному числу 4i). Согласно теореме Коши о вычетах, данный интеграл равен произведению вычета подинтегральной функции относительно полюса z=-2i на 2*pi*i. Находим вычет (Res f(-2i)) подинтегральной функции f(z)=sin z/((z+2i)(z-4i)) в точке z=-2i: Теперь величина интеграла J, равна (с учетом, что sin(2i)=ish2=i(e2-e-2)/2): Задача 1. Видимо, должно быть z=x+iy, а ω=u(x,y)+ij(x,y) это ` 9;=u(x,y)+iv(x,y). Имеем iz2=i(x+iy)2=i((x2-y2)+2ixy)=-2xy+i(x2-y2). Тогда f(z)=exp(-2xy+i(x2-y2))=e-2xy ei(x[sup]2-y2)[/sup]= =e-2xy(cos(x2-y2)+isin(x2-y2)). Отсюда видно, что u(x,y)=e-2xycos(x2-y2), v(x,y)=e-2xysin(x2-y2). Условия аналитичности функции f(z): u'x=v'y, u'y=-v'x. Проверим эти условия. Как видно, условия Коши-Римана (условия аналитичности) выполняются. Следовательно функция является аналитической и мы получим: P.S. На самом деле, заданы две точки z0, так как √i есть два числа: √i=+-√2(1+i)/2.
Добавил решение задач 2 и 1
----- ∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор) ∙ Дата редактирования: 17.03.2011, 13:15 (время московское)
Ответ отправил: Саныч (Специалист) Оценка ответа: 5
Отвечает Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал) : Здравствуйте, vera-nika! Решение первой задачи. отсюда Т.о., ω(z)=F(x,y)=u(x,y)+iv(x,y), где Проверяем аналитичность полученной функции по условию Коши-Римана: если данные условия будут выполнены, то тогда производная может быть представлена в следующем виде: Вычисляем частные производные вещественных функций: Т.о., условия Ко ши-Римана выполнены, т.е. функция является аналитической. Определяем производную: Представим заданную точку в тригонометрической форме. Т.о., Заметим, что Отсюда:
Ответ отправил: Абаянцев Юрий Леонидович aka Ayl (Профессионал) Оценка ответа: 5
Отвечает Орловский Дмитрий (Профессор) : Здравствуйте, vera-nika! 3) u(x,t)=u1(x,t)+u1(x,t), где u1(x,t)=0,5(φ(x-at)+φ(x+at))=0,5(sin5(x-at)+sin5(x+at))=sin5x*cos5at u2(x,t)=(1/2a)∫x-atx+atψ(ξ)dξ=(1/2a)∫x-atx+atξdξ=(1/4a)ξ2x-atx+at=((x+at)2-(x-at)2)/(4a)=xt Ответ: u(x,t)=sin5x*cos5at+xt
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Профессор) Оценка ответа: 5
Отвечает Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) : Здравствуйте, vera-nika! Предлагаю Вам решение пятого задания.  С уважением. ----- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) Оценка ответа: 5
Отвечает vitalkise (Профессионал) : Здравствуйте, vera-nika! Предлагаю решение 4 задачи: ut=4uxx u(x,0)=x+3 u(0,t)=u(1,t)=0 Решение. Будем искать (не равное нулю) решение уравнения в виде произведения двух функций, одна из которых зависит только от х, а другая – только от t, т.е. u(x,t)=X(x)T(t). Подставляя это выражение в уравнение ut=a2uxx имеем X(x)T'(t)=a2X''(x)T(t). Здесь a2=4. После деления на X(x)T(t) получим: 1/a2*T'(t)/T(t)=X''(x)/X(x). Это равенство двух отношений, зависящих только от х и только от t, возможно только в случае, если оба отношения равны постоянному числу – λ. (λ>0): 1/a2*T'(t)/T(t)=X''(x)/X(x)= - λ т.е. X''(x)+λX(x)=0 T'(t)+λ*a2*T(t)=0 Первое уравнение системы с граничными условиями X''(x)+λX(x)=0 X(0)=X(1)=0 представляет собой задачу Штурма-Лиувиля на отыскание собственных функций и собственных значений дифференциального оператора. Из общего решения уравнения X(x)=A*cos(√(λ*x))+B*sin(√(λ*x)) использованием краевых условий X(0)=A*cos(0)+B*sin(0)=A=0 X(1)=A*cos(√(λ))+B*sin(√(λ))=B*sin(√(λ))=0 находим собственные значения λ=λn=(п*n)2 и собственные функции Xn(x)=Bn*sin(n*п*x). Второе уравнение системы T'(t)+λ*a2*T(t)=0 имеем решение T(t)=C*e -λ*a^2*t. Таким образом, общее решение исходного уравнения принимает вид un(x,t)=X(x)T(t)=Cn*e -(п*n*a)^2*t*sin(п*n*x). Поскольку при любых n полученная функция является решением нашего дифференциального уравнения, то и сумма этих решений так же будет являться решением исходного дифференциального уравнения: u(x,t)=∑Cn*e -(п*n*a)^2*t*sin(п*n*x). Подставляя сюда начальное условие u(x,0)=∑Cn*sin(п*n*x)=x+3 Последняя формула показывает, что величины Cn являются коэффициентами разложения функции x+3 в ряд Фурье по синусам в интервале (0,1): Cn=2/l*01∫f(x)sin(пnx/l)dx, Cn=2*01∫(x+3)sin(пnx)dx Интегрируя два раза по частям Cn=2/(nп)*(4*( -1)n+1+3) Получим окончательный ответ u(x,t)=∑2/(nп)*(4*( -1)n+1+3)*e -4(п*n)^2*t*sin(п*n*x). Текс ответа в прикрепленном файле. Будут вопросы обращайтесь в мини-форум. Удачи 
Прикрепленный файл: загрузить »
Ответ отправил: vitalkise (Профессионал) Оценка ответа: 5
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.30 от 17.03.2011 |
| В избранное | ||
