Вопрос № 182544: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дуги L. Интегрировать в направлении против часовой стрелки. ∫ydx+xdy, где L- первая четверть окружности. x=2cos t, y=2sin t
Вопрос № 182544:
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос: Вычислить криволинейный интеграл. Сделать чертеж дуги L. Интегрировать в направлении против часовой стрелки.
∫ydx+xdy, где L- первая четверть окружности. x=2cos t, y=2sin t L
Отвечает Саныч (Специалист) :
Здравствуйте, Посетитель - 364448! Интегрирование по первой четверти данной окружности означает, что путь интегрирования начинается от точки (2,0) декартовой системы координат (соответствующей значению t=0 параметра) до точки (0,2) (соответствующей значению t=pi/2 параметра) по дуге окружности. Если возвести обе части равенств x=2cos t и y=2sin t в квадрат и сложить их, то получим более привычное уравнение окружности x2+y2=22. Имеем: dx=-2sin t dt, dy=2c0s t dt.
Получим
Можно также предложить и второе решение. Замечаем, что данный интеграл по отрезку {0<=x<=2, y=0} равен нулю (y=0 и dy=0). То же самое справедливо и для отрезка {0<=y<=2, x=0} (здесь x=0 и dx=0). Добавляем эти отрезки к кривой L (четверь окружности) и получаем тот же самый интеграл, но по замкнутому контуру L1. Применяя к этому криволинейному интегралу формулу Грина (P=y, Q=x
), получим
Для нашего случая получим, под двойным интегралом (P'y=1, Q'x=1) (1-1)=0. Значит интеграл равен нулю.
Добавил рисунок
-----
∙ Отредактировал: Лысков Игорь Витальевич (Старший модератор)
∙ Дата редактирования: 17.03.2011, 18:59 (время московское)
Ответ отправил: Саныч (Специалист)
Ответ отправлен: 17.03.2011, 18:22
Номер ответа: 266297 Россия, Самара Абонент Skype: valera_kuz47
Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это! Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS#thank 266297
на номер 1151 (Россия) |
Еще номера »
Отвечает Орловский Дмитрий (Профессор) :
Здравствуйте, Посетитель - 364448! Альтернативное решение: подинтегральная форма ydx+xdy является полным дифференциалом функции φ(x,y)=xy, поэтому данный интеграл можно вычислить по формуле Ньютона-Лейбница для криволинейных интегралов: ∫ABdφ(x,y)=φ(B)-φ(A)=0*2-2*0=0 (начальная точка A(2;0) и конечная точка (0;2))
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Профессор)
Ответ отправлен: 17.03.2011, 22:38
Номер ответа: 266298 Россия, Москва Организация: МИФИ
Вам помог ответ? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это! Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS#thank 266298
на номер 1151 (Россия) |
Еще номера »
Оценить выпуск »
Нам очень важно Ваше мнение об этом выпуске рассылки!
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.