RFpro.ru: Консультации по математике
Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Лучшие эксперты данной рассылки
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика элементарная и высшая
Вопрос № 182549: Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом: Неопределенный интеграл: ∫| x2 - 1 | dx . Как подсказал преподаватель, решение связано с доказательством непрерывности функции, но что дальше, ничего в го... Вопрос № 182552: Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:Найдите число натуральных корней уравнения:целая часть(х/2010)=целая часть(x/2011)+1.Заранее благодарен. ... Вопрос № 182553: Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе: Интеграл: ∫ ( cos x / (2 - cos x) ) dx. Заранее огромное спасибо)... Вопрос № 182549:
Здравствуйте! У меня возникли сложности с таким вопросом:
Отправлен: 18.03.2011, 17:39 Отвечает Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор) : Здравствуйте, John_the_Revelator! Модуль разбивает область определения функции (в данном случае - множество реальных чисел) на несколько интервалов (в данном случае 3) Интегрируем функцию в каждом интервале, учитывая, что константы интегрирования могут различаться Поскольку интегрируемая функция определена по всему множеству реальных чисел (следовательно, не имеет разрывов, где она стремится к бесконечности - а только в таких точках возможно скачкообразное изменение интеграла), её интеграл также является непрерывной функцией. То есть константы интегрирования должны быть такими, чтобы на границах интервалов значения функций совпадали Что в свою очередь сводится к следующим выражениям: Пусть C=C2, тогда интеграл принимает вид ----- Никогда не просите у химика просто СОЛЬ...
Ответ отправил: Roman Chaplinsky / Химик CH (Модератор)
Отвечает Орловский Дмитрий (Профессор) : Здравствуйте, John_the_Revelator! 1)Начинаем с области x≤-1 ∫|x2-1|dx=∫(x2-1)dx=x3/3-x+C 2) -1≤x≤1 ∫|x2-1|dx=∫(1-x2)dx=x-x3/3+C1 C1 подбираем из условия непрерывности в точке x=-1: x3/3-x+C=x-x3/3+C1 (при x=-1) ---> C1=C+4/3 т.е. интеграл равен x-x3/3+4/3+C 3) x≥1 ∫|x2-1|dx=∫(x2-1)dx=x3/3-x+C2 C2 подбираем из условия непрерывности в точке x=1: x-x3/3+4/3+C = x3/3-x+C2 (при x=1) ---> С2=С+8/3 Ответ: интеграл равен (x3/3)-x+C при x≤-1 x-(x3/3)+(4/3)+C при -1≤x≤1 (x3/3)-x+(8/3)+C при x≥1
Ответ отправил: Орловский Дмитрий (Профессор)
Отвечает Саныч (Специалист) : Здравствуйте, John_the_Revelator! Условие должно быть уточнено. Если под неопределенным интегралом понимается так называемая обобщенная первообразная F(x) такая, что она непрерывна на множестве (в данном случае R), и на этом множестве кроме быть может множества меры нуль (можно сказать кроме множества отдельного счетного числа точек) F'(x)=f(x); можно также говорить о точной первообразной, где всюду F'(x)=f(x). Будем понимать эту производную в точном смысле. Если |x|>1 (это решение неравенства x2-1>0), то получим одну из первообразных ∫|x2-1|dx=x3/3-x, а если |x|<1, то получим одну из первообразных ∫|x2-1|dx=-x3/3+x. Итак, имеем при x<-1 получим: F(x)=x3/3-x+C1 (1); при -1<x<1 F(x)=-x3/3+x+C2 (2); при x>1 F(x)=x3/3-x+C (3). Находим соотношение между постоянными исходя из условия не прерывности первообразной: предел слева функции (1) и предел справа фунции (2) при x->-1, а также при x->1 (справа (3) и слева (2)) дают С2-С1=4/3 и С2-С=-4/3, откуда С2=С-4/3, и С1=С-8/3. Ответ: при x<-1 F(x)=x3/3-x-8/3+C; при -1<=x<1 F(x)=-x3/3+x-4/3+C; при x>=1 F(x)=x3/3-x+C.
Ответ отправил: Саныч (Специалист)
Вопрос № 182552:
Уважаемые эксперты! Пожалуйста, ответьте на вопрос:Найдите число натуральных корней уравнения:целая часть(х/2010)=целая часть(x/2011)+1.Заранее благодарен.
Отправлен: 18.03.2011, 21:21 Отвечает Саныч (Специалист) : Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович! При натуральном x (положительным) легко видеть сразу несколько корней:x ∈{2010, 2*2010, 3*2010, ..., k*2010, ...}. Найдем все натуральные k, для которых решения имеют вид: x=k*2010. Для удобства уравнение запишем в виде: [x/2010]-[x/2011]=1. Имеем [k*2010/2010]=k, [k*2010/2011]<k. Если к тому же будет k*2010/2011>=k-1, то тогда будем иметь [k*2010/2011]=k-1 и уравнение будет удовлетворяться. Находим из этого условия k: k*2010/2011-k>=-1 -> k*((2010/2011)-1)>=-1 -> k*(-1/2011)>=-1 -> k<=2011. Итак, все решения уравнения имеют вид: x=k*2010, где k=1, 2, ... ,2011. Таких решений 2011 штук. P.S. Легко показать подстановкой в уравнение, что любое натуральное число из промежутка ((k-1)*2010, k*2010) не будет решением уравнения. Если что непонятно, то обращайтесь в мини-форум. С уважением
Ответ отправил: Саныч (Специалист) Оценка ответа: 3
Отвечает coremaster1 (Профессионал) : Здравствуйте, Тимофеев Алексей Валентинович! Уравнение имеет 4042110 натуральных корней. Ход решения на рисунке: 
Ответ отправил: coremaster1 (Профессионал) Оценка ответа: 5
Вопрос № 182553:
Здравствуйте! Прошу помощи в следующем вопросе:
Отправлен: 18.03.2011, 21:26 Отвечает Роман Селиверстов (Профессор) : Здравствуйте, John_the_Revelator! Для определения интеграла І воспользуемся универсальной заменой t=tg(x/2): Ответ:
Устранена неточность в промежуточном результате.
----- ∙ Отредактировал: Гордиенко Андрей Владимирович (Модератор) ∙ Дата редактирования: 20.03.2011, 08:11 (время московское)
Ответ отправил: Роман Селиверстов (Профессор)
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2011, Портал RFPRO.RU, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Калашников О.А. | Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2011.6.30 от 17.03.2011 |
| В избранное | ||
