Вопрос № 158000: Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите решить задачи. 1. Найти экстремумы функции z=1/2xy+(47-x-y)(x/3+y/4). 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4 и x+y=5...
Вопрос № 158001: Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите решить задачи. 1. Найти экстремумы функции z=1/2xy+(47-x-y)(x/3+y/4). 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4 и x+y=5...Вопрос № 158063:
помогите пожалуйста вычислить предел x→0 lim x/√1+2x - 1...Вопрос № 158081: Здравствуйте, помогите решить пожалуйста вот такой пример: ∫(от 1 до 4) ((√y-1/y)*√(1+1/4y)) по dy....
Вопрос № 158.000
Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите решить задачи. 1. Найти экстремумы функции z=1/2xy+(47-x-y)(x/3+y/4). 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4 и x+y=5
отвечая на вопрос №1... находим первые производные по х и у: dz/dx=-y/12-2*x/3+47/3 dz/dy=-x/12-y/2+47/4
далее находим стационарные точки, т.е. приравниваем к нули обе полученные производные. получаем одну точку (21;20)
теперь находим вторые производные: по х дважды, по у дважды и по ху. Итак: d2z/dx2=-2/3 d2z/dy2=-1/2 d2z/dxdy=-1/12
Далее:
(-2/3)*(-1/2)-(-1/12)^2=47/144
что больше 0. И так как вторая производная
z по х меньше нуля, то имеем локальныйй максимум в нашей стационарной точке.
отвечая на вопрос №2.
находим точки пересечения... это 2 точки: х1=1; у1=4; х2=4; у2=1.
искомая площадь будет равна
интеграл от 1 до 4 от (5-x - 4/x)dx=15/2-8ln(2) или примерно 1,955.
Ответ отправил: evgmax (статус: 1-й класс)
Ответ отправлен: 19.01.2009, 01:19
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 241550 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 158.001
Здравствуйте уважаемые эксперты, помогите решить задачи. 1. Найти экстремумы функции z=1/2xy+(47-x-y)(x/3+y/4). 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями xy=4 и x+y=5
Отвечает: Кучумов Евгений Владимирович
Здравствуйте, Lukovsky Sergey ! 1) Необходимые (но не достаточные) условия экстремума функции двух и более переменных выполняются, если частные производные первого порядка данной функции, по всем независимым переменным, обращаются в ноль для данной точки: dz/dx=0, dz/dy=0. dz/dx=1/2*y-(x/3+y/4)+1/3*(47-x-y)=-2/3*x-1/12*y+47/3=0; dz/dy=1/2*x-(x/3+y/4)+1/4*(47-x-y)=-1/12*x-1/2*y+47/4=0. Решив систему указанную систему, которую можно записать как 8*x+y=188; x+6*y=141, найдём стационарные точки
(в данное случае это одна точка): x=21, y=20 (Проверьте!). Для того, чтобы выяснить, является ли данная точка экстремумом (и каким именно) или просто особой точкой найдём вторые частные производные A=d^2(z)/dx^2, B=d^2(z)/(dxdy), C=d^2(z)/dy^2 в найденной точке и составим дискриминант D=A*C-B^2. Если D>0, то функция в данной точке имеет экстремум, а именно максимум, если A>0 (или C>0), и минимум, если A<0 (или C<0). Если D<0, то в данной точке э
кстремума нет. Это достаточные условия экстремума. Если D=0, то требуются дополнительные исследования данной точки (сомнительный случай). A=-2/3; B=-1/12; C=-1/2, D=1/3-1/144=47/144>0 - точка является максимумом, т.к. A<0 (Проверить расчёт обязательно!).
2)Найдём точки пересечения указанных кривых: y=5-x, x*(5-x)=4 -> x^2-5*c+4=0, x1=1 (y1=4), x2=4 (y2=1). На интервале [1,4] (5-x)>4/x. Следовательно, площадь фигуры будет равна S=int[(5-x)-(4/x),x1=1,x2=4]=5*x-x^2/2-4*ln(x)|[1,4]=(12-4*ln(4))-(9/2-4*ln(1))=15/2-8*ln(2)~1.96
(кв.ед.) (Проверить!)
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
