Вопрос № 156642: Уважаемые эксперты , помогите ,пожалуйста,решить зад. Дана треугольная пирамида с вершинами в точках S(6;1;7);А(7;-1;-6);В(-1;7;-1);С(-1;-6;-7). Найти: а)уравнение плоскости ,проходящей через точки А,В,С; б)величину угла между ребром SС и гранью АВС;...
Вопрос № 156.642
Уважаемые эксперты , помогите ,пожалуйста,решить зад. Дана треугольная пирамида с вершинами в точках S(6;1;7);А(7;-1;-6);В(-1;7;-1);С(-1;-6;-7). Найти: а)уравнение плоскости ,проходящей через точки А,В,С; б)величину угла между ребром SС и гранью АВС; в) площадь грани АВС; г) уравнение высоты ,выпущенной из вершины S на грань АВС , и её длину; д) объём пирамиды SАВС.
Отправлен: 04.01.2009, 17:18
Вопрос задала: Ermolenko (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Гордиенко Андрей Владимирович
Здравствуйте, Ermolenko!
Вектор [→AB, →AC] перпендикулярен плоскости ABC, проходящей через точки A, B, C, поэтому его можно принять в качестве нормального вектора этой плоскости. Общее уравнение плоскости имеет вид 17x – 48y + 104z + D = 0, а поскольку плоскость проходит, в частности, через точку A, постольку после подстановки координат этой точки в общее уравнение плоскости получаем 17*7 – 48*(-1) + 104*(-6) + D = 0, 119
+ 48 – 624 + D = 0, D = 457, 17x – 48y + 104z + 457 = 0 – искомое общее уравнение плоскости.
Находим каноническое уравнение прямой SC, воспользовавшись уравнением прямой, проходящей через две точки: (x – 6)/(-1 – 6) = (y – 1)/(-6 – 1) = (z – 7)/(-7 – 7), (x – 6)/(-7) = (y – 1)/(-7) = (z – 7)/(-14), или (x – 6)/1 = (y – 1)/1 = (z – 7)/2.
Находим угол между прямой SC и плоскостью ABC: sin φ = |17*1 – 48*1 + 104*2|/(√(1^2 + 1^2 + 2^2)*√((17)^2 + (-48)^2 + (104)^2))
= = 177/(√6*√13409) = 177/√80454 ≈ 0,6240, φ = arcsin (177/√80454) ≈ 38º 37’ или φ = 180º - 38º 37’ = 141º 23’.
Находим площадь S грани ABC как половину модуля векторного произведения [→AB, →AC]: S = (1/2)*|[→AB, →AC]| = (1/2)*√((17)^2 + (-48)^2 + (104)^2) = (1/2)*√13409 ≈ 57,9 (кв. ед.). Находим координаты вектора →AS: →AS =
(6 - 7; 1 – (-1); 7 – (-6)) = (-1; 2; 13).
Находим объем V пирамиды SABC как 1/6 модуля смешанного произведения {→AS, →AB, →AC}: V = (1/6)*|{→AS, →AB, →AC}| = (1/6)*1239
= 206,5 (куб. ед.).
Поскольку V = (1/3)*S*h, где h – высота, опущенная из вершины S на грань ABC, то h = 3V/S = 3*(1/6)*1239/((1/2)*√13409) = 1239/√13409 ≈ 10,7.
Поскольку нормальный вектор (17; -48; 104) плоскости ABC является направляющим вектором высоты, опущенной из вершины S на основание ABC, а указанная высота проходит через точку S, то ее каноническое уравнение имеет вид (x – 6)/17 = (y – 1)/(-48) = (z – 7)/104.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
