RFpro.ru: Математика
| Хостинг портала RFpro.ru: РАССЫЛКИ ПОРТАЛА RFPRO.RU
Чемпионы рейтинга экспертов в этой рассылке
/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные и естественные науки / Математика
Вопрос № 177231: Здравствуйте, уважаемые Эксперты. Помогите, пожалуйста, с системой) Надо найти все значения a, при которых система имеет решение lg y = lg (x+a), 0.5(8-x2) = a+y Заранее благодарю =)... Вопрос № 177237: Здравствуйте=) Помогите, пожалуйста, с решением системы: |sin (∏*(x+y)/2)| +(x-y-2)2 = 2 |2x+3|<=2 Заранее спасибо))... Вопрос № 177239: Здравствуйте, уважаемые Эксперты. Помогите, пожалуйста, решить систему: √[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2] = 2 1+x3+y3 = 2-x Заранее спасибо =))... Вопрос № 177242: Здравствуйте=) При каких значениях а система уравнений имеет единственное решение? y = √(x+1) y=a+x Заранее благодарю=)... Вопрос № 177246: Добрый день, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить уравнение: (5sinx+12cosx)(100+48cosx-13cos2x)=1757... Вопрос № 177231:
Здравствуйте, уважаемые Эксперты.
Отправлен: 14.03.2010, 01:46 Отвечает Лиджи-Гаряев Владимир, 5-й класс : Здравствуйте, Schuldig. |lg y = lg (x+a) |0.5(8-x^2) = a+y из первого уравнения => y=x+a и x+a>0 , подставим во второе уравнение 0.5(8-x^2) = a+y 0.5(8-x^2) = a+x+a 8-x^2=4*a+2*x x^2+2*x+4*(a-2)=0 Для существования вещественных корней, необходимо: D>=0 (D=2^2-4*1*4*(a-2) = 36-16*a) т.е. a<=9/4 тогда x1=(-2-sqrt(D))/2*1 и x2=(-2+sqrt(D))/2*1 т.к. x+a>0, получим x1+a>0 и x2+a>0 (-2-sqrt(36-16*a))/2+a>0 и (-2+sqrt(36-16*a))/2+a>0 получим (-2-2*sqrt(9-4*a))/2 +a > 0 ; (-2+2*sqrt(9-4*a))/2 +a > 0 sqrt(9-4*a) < a-1 (*) ; sqrt(9-4*a) > 1-a (**) неравенство (*) равносильно системе неравенств |a-1>0 или a>1 |9-4*a>=0 или a<=9/4 |9-4*a< (a-1)^2 или a^2+2*a-8>0 или (a+4)*(a-2)>0 ; (-∞;-4)U(2;+∞) Получится область :(2;9/4) неравенство (**) равн осильно совокупности двух систем неравенств: |1-a>=0 или a<=1 |9-4*a> (a-1)^2 или a^2+2*a-8<0 или (a+4)*(a-2)<0 ; (-4;2) Получится область :(-4;1] |1-a<0 или a>1 |9-4*a>=0 a<=9/4 Получится область :(1;9/4] Получим, что a принадлежит совокупности полученных областей (2;9/4)U(-4;1]U(1;9/4]=(-4;9/4] Ответ: (-4;9/4]
Ответ отправил: Лиджи-Гаряев Владимир, 5-й класс
Оценка ответа: 5
Вопрос № 177237:
Здравствуйте=)
Отправлен: 14.03.2010, 02:31 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Практикант : Здравствуйте, Schuldig. © Цитата: Да, вы правы... |sin (∏*(x+y)/2)| +(x-y-2)2 <=0 |2x+3|<=2 Спасибо) Во-первых, заметим, что |2x+3|<=2 ⇔ -5/2≤x≤-1/2. Далее, т.к. |sin (∏*(x+y)/2)| ≥ 0 и (x-y-2)2 ≥ 0, то |sin (∏*(x+y)/2)| +(x-y-2)2 ≤ 0 тогда и только тогда, когда имеет место система |sin (∏*(x+y)/2)| = 0 (x-y-2)2 = 0 ∏*(x+y)/2 = ∏*n (n∈Z) x-y=2 x+y = 2n (n∈Z) x-y = 2 x = n+1, y=n-1. Таким образом получаем, что и x, и y - целые числа, -5/2≤x≤-1/2, y = x-2.< br> Всем трем указанным условиям удовлетворяют только две пары чисел (x, y): x=-1, y=-3 и x=-2, y=-4. Ответ: (-1, -3), (-2, -4).
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Практикант
Оценка ответа: 5
Вопрос № 177239:
Здравствуйте, уважаемые Эксперты.
Отправлен: 14.03.2010, 02:46 Отвечает Быстров Сергей Владимирович, Практикант : Здравствуйте, Schuldig. Т.к. очевидно, что вопрос предназначен для школьника, решим задачу соответствующими методами (хотя, используя сведения из высшей математики, решение можно было бы значительно алгоритмизировать). Одно из решений системы найти легко - (0, 0). Далее рассмотрим функцию z(x) = √[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2] (заметим, что z от y не зависит - y рассматриваем как параметр). Исследуем функцию z(x) на экстремум: dz/dx = (x-1)/√[(x-1)2+y2] + (x+1)/√[(x+1)2+y2]. dz/dx = 0 ⇔ (1-x)/√[(x-1)2+y2] = (x+1)/√[(x+1)2+y2] = k, где k=const. Отсюда получаем систему (1-x) = k*√[(x-1)2+y2] (x+1) = k*√[(x+1)2+y2] (x-1)2 = k2*(x-1)2 + y2 (x+1)< sup>2 = k2*(x+1)2 + y2 (x-1)2 = (x+1)2 ⇔ x=0 (проверка показывает, что x=0 действительно является корнем уравнения dz/dx = 0). То, что x = 0 является точкой минимума z(x) можно убедиться, вычислив z'(1) и z'(-1) и по знаку полученных чисел определить характер монотонности z(x). В случае, когда y = 0, для любого x≠0 √[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2] > 2, что заведомо не удовлетворяет условию. Теперь предположим, что y≠0. В общем, все аналогично. Рассмотрев функцию z(y) = √[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2], приходим к выводу, что y = 0 - точка минимума этой функции (доказывается, в общем-то, аналогично и даже еще проще). Итак, при x≠0 и y≠0 √[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2]>2. Отв ет: x=y=0.
Ответ отправил: Быстров Сергей Владимирович, Практикант
Отвечает star9491, Студент : Здравствуйте, Schuldig. Для оценки наименьшего значения можно воспользоваться "неравенством треугольника" для модулей |a|+|b|≥|a-b| Тогда имеем √[(x-1)2+y2] + √[(x+1)2+y2]≥√[(x-1)2] + √[(x+1)2]=|x-1|+|x+1| Рассмотрим далее функцию f(x)=|x-1|+|x+1|. При x≤-1 f(x)=-2x≥2, при -1≤x≤1 f(x)=2, при x≥1 f(x)=2x≥2. Отсюда следует, что |x-1|+|x+1|=2 <---> -1≤x≤1. Таким образом, первое уравнение системы выполняется <---> -1≤x≤1 и y=0. Далее нам нужно решить второе уравнение в этих условиях, т.е. нужно решить уравнение 1+x3 = 2-x при -1≤x≤1 Здесь слева стоит строго возрастающая функция, а справа - строго убывающая. Поэтому данное уравнение не может иметь более одного решения. Легко проверяем, что x=0 решением является и удовлетворяет условию -1≤x≤1. Ответ: x=0, y=0 .
Ответ отправил: star9491, Студент
Вопрос № 177242:
Здравствуйте=)
Отправлен: 14.03.2010, 03:01 Отвечает Гаряка Асмик, Специалист : Здравствуйте, Schuldig. y=√x+1 - ветвь параболы. y=x+a - прямая. Они могут пересекаться в 2 точках, касаться или не пересекаться в зависимости от значения a. Точка касания определяется нулем дискриминанта. (a+x)2=x+1 x2+(2a-1)x+a2-1=0 D=(2a-1)2-4(a2-1)=4a2-4a+1-4a2+4=5-4a=0 a=1.25 x2+3/2x+9/16=0 (x+3/4)2=0 x=-3/4 y=1/2 При a<1.25 квадратное уравнение имеет 2 корня, но надо проверить на область определения. x1=(-(2a-1)-√D)/2)>-1 -(2a-1)-√D)/2>-2 -2a+3>√5-4a (-2a+3)2>5-4a, a<1.25 4a2-12a+9>5-4a 4a2-8a+4>0 4(a-1)2>0 y>0 y1=(-(2a-1)-√D)/2)/2+a>0 -2a+1-√D+2a>0 1-√D>0 √D<1 5-4a<1 4a>4 a>1 y2=(-(2a-1)+√D)/2)/2+a>0 1+√D>0 выполняется всегда при a<1.25 При 1<a<5/4 имеется 2 корня. При a>5/4 корней нет. Ответ: (-∞,1)∪{1.25} ----- Я ни от чего, ни от кого не завишу.
Ответ отправил: Гаряка Асмик, Специалист
Оценка ответа: 5
Отвечает star9491, Студент : Здравствуйте, Schuldig. 
Ответ отправил: star9491, Студент
Оценка ответа: 5
Вопрос № 177246:
Добрый день, уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить уравнение:
Отправлен: 14.03.2010, 17:46 Отвечает Гаряка Асмик, Специалист : Здравствуйте, Болдырев Тимофей. Значение первого множителя ограничено. Найдем его максимум. Для этого приравняем 0 производную 5cos-12sin=0 Здесь появился один из пифагоровых треугольников (5, 12, 13), благодаря чему можно посчитать cosx=12/13 sin x=5/13 25/13+144/13=13 Найдем максимум второго множителя -48sinx+26sin2x=0 12sinx-13sinxcosx=0 sin x=0 cos x=±1, cos2x=1, или cos x=12/13, cos2x=2*144/169-1=119/169 Максимум равен 100+48*12/13-13*119/169=100+48*12/13-119/13=1757/13 Максимум произведения равен 1757 и достигается, если x=arcsin(5/13)+2 πn ----- Я ни от чего, ни от кого не завишу.
Ответ отправил: Гаряка Асмик, Специалист
Отвечает star9491, Студент : Здравствуйте, Болдырев Тимофей. По формуле вспомогательного угла 5sinx+12cosx=13sin(x+φ), где φ=arcsin(12/13). Отсюда следует, что максимальное значение первого множителя равно 13. Во втором множителе cos2x=2cos2x-1 и он равен 113+48cosx-26cos2x=113+48t-26t2, где t=cos x. Абсцисса вершины квдратного трехчлена t=48/(2*26)=12/13, ордината=113+48*(12/13)-26(12/13)2=1757/13. Следовательно, максимальное значение второго множителя равен 1757/13. Так как произведение этих множителей равно 1757=13*(1757/3), то первый из них должен быть равен 13, а второй 1757/13. Это означает, что t=cosx=12/13 и 5sinx+12cosx=13, т.е. уравнение равносильно системе sinx=5/13 cosx=12/13 Это дает единственную серию x=arcsin(5/13)+2 pi n Ответ: x=arcsin(5/13)+2pi n (n -целое).
Ответ отправил: star9491, Студент
Оценить выпуск »
Задать вопрос экспертам этой рассылки »Скажите "спасибо" эксперту, который помог Вам!Отправьте СМС-сообщение с тестом #thank НОМЕР_ОТВЕТАна короткий номер 1151 (Россия) Номер ответа и конкретный текст СМС указан внизу каждого ответа.
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов) © 2001-2010, Портал RFpro.ru, Россия
Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Автор: Калашников О.А. | Программирование: Гладенюк А.Г. Хостинг: Компания "Московский хостер" Версия системы: 2010.6.14 от 03.03.2010 |
| В избранное | ||
