/ НАУКА И ОБРАЗОВАНИЕ / Точные науки / Математика

Выпуск № 708
от 30.09.2008, 21:35

Вопрос № 144.990

Здравствуйте! Помогите пожайста в реш. диф. урав-я. Опред.-ть и записать структуру частного решения y* лин.-го неоднородного диф. урав.-я по виду функции f(x) 1. y"+36y=f(x); a) f(x)=4xe^-x; b) f(x)=2sin 6x Найти частное реш-е диф. уравнения, удовлетворяющее данным нач. усл.м 1. y"+10y'+34y=-9e^-5x, y(0)=0 y'(0)=6 Найти общее решение диф. урав-я 1. y"+2y'-3y=(12x^2+6x-4)e^x 2. y"-5y'-6y=3 cos x+19 sin x 3. a) y"+4y'+20y=0 b) y"-3y'-10y=0 c) y"-16y=0

Отправлен: 25.09.2008, 12:20 Вопрос задал: Dragonlio (статус: Посетитель) Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Dragonlio! <b>y''+4y'+20y=0</b> Подстановка: y=e^(tx), y'=t*e^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)+4t*e^(tx)+20e^(tx)=0 t^2+4t+20=0 - <i>характеристическое уравнение</i> t1=-2+4i, t2=-2-4i - <i>комплексно-сопряженные корни характеристического уравнения</i> y1=e^(-2x)*cos4x, y2=e^(-2x)*sin4x <b>y=C1*e^(-2x)*cos4x+C2*e^(-2x)*sin4x</b> <b>y"-3y'-10y=0</b> Подстановка: y=e^(tx), y'=t*e^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)-3t*e^(tx)-10e^(tx)=0 t^2-3t-10=0 t1=5, t2=-2 y1=e^(5x), y2=e^(-2x) <b>y=C1*e^(5x)+C2*e^(-2x)</b> <b>y"-16y=0</b> Подстановка: y=e^(tx), y'=t*e^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)-16e^(tx)=0 t^2-16=0 t1=4, t2=-4 y1=e^(4x), y2=e^(-4x) <b>y=C1*e^(4x)+C2*e^(-4x)</b>

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.09.2008, 10:23 Оценка за ответ: 5

Отвечает: Айболит Здравствуйте, Dragonlio! у"+36у=f(x) Прежде всего составим характеристическое уравнение : у"->k^2 , y'->k , y->1 . (k^2)+36=0=>k(1,2)=+-6*i Y*=(e^(alfa*x))*(x^r)*(P(n)*cos(betta*x)+Q(m)*sin(betta*x)) alfa=0 , betta=6 , m=n=0 , r-число совпадения корней , m и n - порядок многочленов возле синуса и косинуса . a) f(x)=4x*(e^-x) r=0 -> Y*=A*cos(6*x)+B*sin(6*x) . b) f(x)=2*sin(6*x) r=2 -> Y*=A*(x^2)*cos(6*x)+B*(x^2)*sin(6*x) Я точно не помню , может тут r=1 , тогда домножать следует не на х^2 , а просто на х . y"+10y'+34y=-9*(e^-5x) , y(0)=0 , y'(0)=6 . (k^2)+10*k+34=0 D=(b^2)-4*a*c=100-4*1*34=100-136=-36 => sqrt(D)=+-6*i . Здесь і - комплексное число -> i=sqrt(-1) , sqrt - корень квадратный . k1=(1/(2*a))*(-b-sqrt(D))=(1/(2*1))*(-10-6*i)=-5-3*i . k2=(1/(2*a))*(-b+sqrt(D))=(1/(2*1))*(-10+6*i)=-5+3*i . Y1 заменим на у с линией , а У2 на у со звёздочкой . У1=(e^(-5*x))*(C1*c os(3*x)+C2*sin(3*x)) . У2=(e^(alfa*x))*(x^r)*(P(n)*cos(betta*x)+Q(m)*sin(betta*x)) alfa=-5 , betta=3 , r=0 , m=n=o . Y2=A*(e^(-5*x)) , (Y2)'=-5*A*(e^(-5*x)) , (Y2)"=25*A*(e^(-5*x)) . (Y2)"+10*(Y2)'+34*(Y2)=-9*(e^(-5*x)) (e^(-5*x))*(25*A+10*(-5)*A+34*1)=-9*(e^(-5*x)) (34-50+25)*A=-9 => A=-1 -> Y2=-(e^(-5*x)) . Y(x)=Y1+Y2=(e^(-5*x))*(C1*cos(3*x)+C2*sin(3*x)-1) Y'(x)=(e^(-5*x))*((3*C2-5*C1)*cos(3*x)-(5*C2+3*C1)*sin(3*x)+5) Подставив в последние 2 выражения начальные условия найдём С1 и С2 , это будет легко так как cos0=e^0=1 и sin0=0 . У(0)=0=(e^0)*(C1*cos0+C2*sin0) Y'(0)=6=(e^0)*((3*C2-5*C1)*cos0-(5*C2+3*C1)*sin0+5) 0=1*(1*C1+0*C2)=>C1=0 6=1*((3*C2-5*0)*1-(5*C2+3*0)*0+5)=3*C2+5=6=>3*C2=1=>C2=1/3 . ОТВЕТ : У(х)=(e^(-5*x))*((1/3)*sin(3*x)-1) . --------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.

Ответ отправил: Айболит (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.09.2008, 23:00 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: большое вам спасибо! выражаю устную благодарность!

Вопрос № 145.000

Ребят выручайте!!! Не сочтите за лодыря, но данный пример решить не в силах, прошу помочь =(( Разложить функцию в ряд Фурье: _____ ( π ________ -п<=x<0 f(x)= < _____ ( п-x _______ 0<=x<=п T=2п

Отправлен: 25.09.2008, 13:44 Вопрос задал: Потапов Алексей Алексеевич (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Потапов Алексей Алексеевич! Решение. Заданная функция является нечетной, поэтому она разлагается в ряд Фурье по синусам. Находим коэффициенты b(n): b(n) = (2/π)∫(от 0 до π) f(x)sin nxdx = (2/π)π∫(от 0 до π) sin nxdx = -(2/n)cos nx|(0; π) = = -(2/n)(cos nx – cos 0) = -(2/n)((-1)^n – 1) = (2/n)(1 – (-1)^n) = = 0, n = 2k, k = 1, 2, … = 4/(2k – 1), n = 2k – 1, k = 1, 2, … Следовательно, f(x) = 4∑(от k = 1 до k = ∞) sin (2k – 1)x/(2k – 1) = 4((sin x)/1 + (sin 3x)/3 + (sin 5x)/5 + …). --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 27.09.2008, 17:51

Вопрос № 145.007

Здравствуйте помогите пожалуйста с Примерами!!!: 1.Найти предел не используя правило Лопиталя и эквивалнтности: lim(1-2х/1+3х)(В степени) 5/х х→0 2.Найти предел функций,используя эквивалентные бесконечно малые величины: а) lim при х→0 ln(1-3x)/5arctg6x б) lim при х→0 ln(1+tgx)(в степени)2/lncos5x

Отправлен: 25.09.2008, 14:58 Вопрос задала: Анна Андреевна (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Анна Андреевна! lim(x->0)[(1-2x)/(1+3x)]^(5/x) Воспользуемся пределом lim(x->0)[(1+x)^(1/x)]=e lim(x->0)[(1-2x)/(1+3x)]^(5/x)=lim(x->0)[(1+3x-5x)/(1+3x)]^(5/x)=lim(x->0)[1+(-5x/(1+3x))]^(5/x)= =lim(x->0)[[1+(-5x/(1+3x))]^[(-(1+3x)/5x)*(5*(-5x)/(x*(1+3x))] lim(x->0)[1+(-5x/(1+3x))]^(-(1+3x)/5x)=e lim(x->0)[(5*(-5x)/(x*(1+3x))]=lim(x->0)[-25/(1+3x)]=-25 lim(x->0)[(1-2x)/(1+3x)]^(5/x)=e^(-25) lim(x->0)[ln(1-3x)/5arctg6x] Воспользуемся эквивал. величинами lim(x->0)[ln(1+tx)/x]=t lim(x->0)[arctgx]=x lim(x->0)[ln(1-3x)/5arctg6x]=lim(x->0)[(ln(1+(-3)x)/x)*(x/5arctg6x)]=-3*1/(5*6)=-1/10

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.09.2008, 11:03 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 145.019

Здравствуйте! Помогите в решение: Найти общее диф. урав.-я: 1. a) y"+4y'+20y=0 b)y"-3y'-10y=0 c) y"-16y=0

Отправлен: 25.09.2008, 16:58 Вопрос задал: Dragonlio (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, Dragonlio! y''+36y=4xe(-x) y''+36y=0 y=e^(tx), y'=te^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)+36e^(tx)=0 t^2+36=0 t1=6i, t2=-6i t=-1 (показатель степени экспоненты в правой части) не является корнем характеристического уравнения, поэтому общее решение ищем в виде y=e^(rx)*P(x), где Р(х)=ах+с, где а и с - неизвестные константы у=е^(-x)*(ax+c) yo=C1*cos6x+C2*sin6x+е^(-x)*(ax+c) y''+36y=2sin6x t=6i является корнем характеристического уравнения (см. предыдущий пример) Значит общее решение ищем в виде y=x[P(x)coswx+Q(x)sinwx], где P(x)=a, Q(x)=b у=x[acos6x+bsin6x] yo=C1*cos6x+C2*sin6x+x[acos6x+bsin6x] y''+10y'+34y=-9e^(-5x) y''+10y'+34y=0 y=e^(tx), y'=te^(tx), y''=t^2*e^(tx) t^2*e^(tx)+10*te^(tx)+34e^(tx)=0 t^2+10t+34=0 t1=-5+3i, t2=-5-3i t=-5 не является корнем характеристического уравнения yo=e^(-5x)*a yo'=-5ae^(-5x) yo''=25ae^(-5x) 25ae^(-5x)-50ae^(-5x)+34ae^(-5x)=-9e^(-5x) 25a-50a+34a=-9 9a=-9 a=-1 yo=-e^(-5x) y=C1*e^(-5x)cos3x+C2*e^(-5x)*sin3x-e^(-5x)

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.09.2008, 17:50 Оценка за ответ: 5

Вопрос № 145.028

помогите пожалуйста упростить,заранее спасибо за помощь) ((1-tgß)÷(1-ctgß)) -sec ß

Отправлен: 25.09.2008, 18:02 Вопрос задал: G-buck (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Yulia Tsvilenko Здравствуйте, G-buck! ((1-tgx)/(1-ctgx))-secx=((1-(sinx/cosx))/(1-(cosx/sinx)))-(1/cosx)=[sinx(cosx-sinx)]/[cosx(sinx-cosx)]-(1/cosx)= =-[sinx(sinx-cosx)]/[cosx(sinx-cosx)]-(1/cosx)=-(sinx+1)/cosx

Ответ отправила: Yulia Tsvilenko (статус: Студент) Ответ отправлен: 26.09.2008, 17:07

Вопрос № 145.030

((1-tgß)÷(1-ctgβ)) 2 -sec 2 ß

Отправлен: 25.09.2008, 18:08 Вопрос задал: G-buck (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Химик CH Здравствуйте, G-buck! ((1-tgß)÷(1-ctgβ)) 2 - sec 2ß = ((1-sinß/cosß)÷(1-cosß/sinß)) 2 - 1/cos2ß = (((cosß-sinß)/cosß)÷((sinß-cosß)/sinß)) 2 - 1/cos2ß = (((cosß-sinß)*sinß)÷((sinß-cosß)*cosß)) 2 - 1/cos2ß =((cosß-sinß)÷(sinß-cosß))2 *(sinß÷cosß)2 - 1/cos2ß = (sinß÷cosß)2 - 1/cos2ß = tg2ß - (1+tg2ß) = -1 --------- А пятно на потолке - это последствия эксперимента? - Нет, это сам химик...

Ответ отправил: Химик CH (статус: Студент) Ответ отправлен: 25.09.2008, 18:36

Вопрос № 145.032

1 Партия деталей из 20 штук, содержащая 4 бракованные детали, проходит технический контроль. Проверяется качество пяти деталей, случайным образом выбранных из этой партии. Если среди них найдется хотя бы две бракованных, то партия бракуется. Найти вероятность того, что партия будет забракована. 2 Группе из 20 студентов к зачету предложено 20 задач. Студент X умеет решать ровно одну из этих задач. Студенты по одному подходят к столу преподавателя и случайным образом выбирают карточку с задачей. Зачет считается сданным, если студент решает выбранную задачу. Выбранные карточки обратно не возвращаются. Сравнить вероятности событий A(1)={Студент сдаст зачет, подходя к столу преподавателя первым} и A(3)={Студент сдаст зачет, подходя к столу преподавателя третьим} 3 На факультете в среднем десять процентов студентов являются отличниками. Найти вероятность того, что в группе из трех, случайным образом выбранных студентов, отличников будет меньше , чем не отличников. 4 При переливании крови необходимо учитывать группы крови больного и донора. Человеку, имеющему четвертую группу крови, можно перелить кровь любой группы; человеку со второй и третьей группой крови можно перелить кровь той же группы, или первой; человеку с первой группой можно перелить кровь только первой группы. Среди населения 33,7% имеют первую, 37,5% — вторую, 20,9% — третью и 7,9% — четвертую группу крови. Найти вероятность того, что случайно выбранному больному можно перелить кровь случайно выбранного донора. 5 Двое рабочих посменно работают на станке, изготавливая однотипные детали. Производительность первого вдвое выше производительности второго. Процент брака в продукции первого рабочего составляет 5%, а в продукции второго рабочего — 10%. Наугад выбранное из произведенной ими продукции изделие оказалось бракованным. Найти вероятность того, что оно изготовленно первым рабочим. 6 Вероятность выигрыша на один лотерейный бил ет равна 0,1. Определить сколько билетов нужно купить, чтобы вероятность выигрыша хотя бы по одному из билетов была не менее 0,9. 7 Компания проводит конкурс на замещение 5 вакантных должностей во вновь образовавшемся отделе. В среднем каждый 3 обратившийся претендент устраивает компанию. Найти вероятность того, что для завершения конкурса компании потребуется просмотреть 8 претендентов. 8 На столе находятся 2 урны. В первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 2 черных. Из каждой урны вынимают по 1 шару. Найти вероятность того, что они будут одинакового цвета. 9 В корзине находятся 3 новых и 2 игранных теннисных мяча. Для игровой теннисной партии из корзины извлекли 2 мяча, и после окончания партии вернули их обратно. Затем для второй партии снова извлекли 2 мяча, которые оказались игранными. Найти вероятность того, что оба мяча выбранных для первой партии тоже были игранными.

Отправлен: 25.09.2008, 18:36 Вопрос задал: Carneiros (статус: Посетитель) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)

Отвечает: Копылов Александр Иванович Здравствуйте, Carneiros! 1 Партия деталей из 20 штук, содержащая 4 бракованные детали, проходит технический контроль. Проверяется качество пяти деталей, случайным образом выбранных из этой партии. Если среди них найдется хотя бы две бракованных, то партия бракуется. Найти вероятность того, что партия будет забракована. Событие, состоящее в том, что будет забраковано хотя бы две детали – это сумма событий - забракованы 2 или 3 или 4 детали (бракованных всего 4): P=(P(2)+P(3)+P(4) Задача на Гипергеометрическое распределение. P = (С(4,2)*С(16,3)/С(20,5) + (С(4,3)*С(16,2)/С(20,5) + (С(4,4)*С(16,1)/С(20,5) = 0,216718 + 0,030960 + 0,001032 = 0,24871 2 Группе из 20 студентов к зачету предложено 20 задач. Студент X умеет решать ровно одну из этих задач. Сту-денты по одному подходят к столу преподавателя и случайным образом выбирают карточку с задачей. Зачет считается сданным, если студент решает выбранную задачу. Выбранные карточки обра тно не возвращаются. Сравнить вероятности событий A(1)={Студент сдаст зачет, подходя к столу преподавателя первым} и A(3)={Студент сдаст зачет, подходя к столу преподавателя третьим} P(A(1)) = 1/20 A(3) – это условное событие, состоящее в том, что 1 и 2 студент не вытащат его задачу: P(A(3)) = 19/20 * 18/19 *1/18 =1/20 Итог : события A(1) и A(3) одинаковы. 8 На столе находятся 2 урны. В первой 2 белых и 3 черных шара, во второй – 4 белых и 2 черных. Из каждой урны вынимают по 1 шару. Найти вероятность того, что они будут одинакового цвета. Событие состоит в том, что будут либо два белых либо два черных шара. P = 2/5*4/6 + 3/5*2/6 = 7/15 = 0.4(6)

Ответ отправил: Копылов Александр Иванович (статус: 9-ый класс) Ответ отправлен: 26.09.2008, 14:27

Вопрос № 145.033

Здравствуйте, уважаемые эксперты! Есть две задачки. Одна по механике, вторая - по информатике. На счет второй - мне главное метод решения, а код - не проблема. 1) Три точки находятся в вершинах равностороннего треугольника со стороной а. Эти точки начинаю двигаться с постоянной по модулю скоростью так, что первая точка держит курс на вторую, вторая - на третью, третья - на первую. Через сколько времени они встретятся. 2) Даны три положительных числа А, В, С. А и В - стороны прямоугольника, С - сторона квадрата. Вопрос: сколько квадратов можно уложить в этот прямоугольник? Операций умножения и деления производить нельзя. Хотелось бы получить ответы как можно быстрее. Заранее благодарен всем откликнувшимся. С уважением, Пётр.

Отправлен: 25.09.2008, 18:44 Вопрос задал: Silent_Control (статус: 4-ый класс) Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)

Отвечает: Mr. Andy Здравствуйте, Silent_Control! По первой задаче замечу следующее. В любой момент времени движущиеся точки будут расположены на некоторой окружности, радиус которой постепенно уменьшается от a/√3 до 0. При этом они будут иметь радиальные составляющие скорости, равные v√3/2. Следовательно, точки встретятся через время t = (a/√3)•2/(v√3) = 2a/(3v). Что касается второй задачи, то решить ее скоро не получается. Если в течение двух дней не получится, то придется отказаться от ее решения. Загвоздка в том, что мне непонятно, как можно сравнивать меры, обходясь без деления и умножения... Занимаюсь поиском алгоритма, позволяющего обойтись без этих операций. С уважением. --------- Пусть говорят дела

Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант) Ответ отправлен: 26.09.2008, 01:37 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Большое спасибо! Кстати, некоторый алгоритм ко второй задаче я нашел, но пока воплотить в жизнь не смог. Мысль такая: если стороны А и В меньше С, значит существует как минимум 1 квадрат. Тогда делаем цикл для переменной А до тех пор, пока А-С не станет меньше нуля. Далее делаем шаг со стороной В и снова повторяем цикл с А.

© 2001-2008, Портал RusFAQ.ru, Россия, Москва. Авторское право: ООО "Мастер-Эксперт Про" Техподдержка портала, тел.: +7 (926) 535-23-31 Хостинг: "Московский хостер" Поддержка: "Московский дизайнер" Авторские права | Реклама на портале ∙ Версия системы: 5.3 RC 2 от 09.09.2008
RusFAQ.ru | MosHoster.ru | MosDesigner.ru | RusIRC.ru Kalashnikoff.ru | RadioLeader.ru | RusFUCK.ru