Вопрос № 142590: Переформулирую вопрос: как найти объем тела, если его поверхность ограничена ф-й f(x,y,z)=c и парой плоскостей типа y=a и y=b (a,b,c - константы). Помогите также найти интеграл: ∫x<sup> 2 </sup>/root3(1-2*x<sup> 3 </sup>+x<sup> 6 </sup>)dx, ...Вопрос № 142629: Уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста найти общее решение дифференциального уравнения: (x^2 - y^2)y'=2xy Заранее
благодарен....
Вопрос № 142.590
Переформулирую вопрос: как найти объем тела, если его поверхность ограничена ф-й f(x,y,z)=c и парой плоскостей типа y=a и y=b (a,b,c - константы). Помогите также найти интеграл: ∫x 2 /root3(1-2*x 3 +x 6 )dx, где root3 - кубический корень
Отправлен: 29.08.2008, 13:07
Вопрос задал: Blackie (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Blackie! Должны быть ещё дополнительные условия . В Вашем случае у=а и у=b - играют роль пределов интегрирования по у ... Интеграл просто решить заменой или введением функции под знак дифференциала . Преобразуем немного выражение в знаменателе . X^6 - 2*X^3 + 1 = ( X^3 - 1 )^2 . Кажется далее Вы уже сами понимаете ... Делаем замену X^3 - 1 = y => dy = 3 * X^2 * dx . W47;x^2 /root3(1-2*x 3 +x 6 )dx = (1/3)*W47;((Y^(-2/3))*dy = (1/3)*root3(Y) + C , C - const . Если нет
пределов интегрирования переходим к старім переменным . ОТВЕТ : W47;x 2 /root3(1-2*x 3 +x 6 )dx = (1/3)*root3[(X^3)-1] + C . Успехов .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: Студент)
Ответ отправлен: 29.08.2008, 18:13 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: По первой части вопроса не очень подробно. В том-то и дело, что нет никаких доп. условий, просто сказано найти и все.
Вопрос № 142.629
Уважаемые эксперты! Помогите пожалуйста найти общее решение дифференциального уравнения: (x^2 - y^2)y'=2xy
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Тесля Дмитрий Владимирович! Это обычное однородное дифференциальное уравнение 1 порядка . Для нахождения его решения делим правую и левую части на (х^2) , можно ещё делить на ху или у^2 . Получается следующее . [1-(y/x)^2]*Y'=2*(y/x) . Теперь делаем замену у/х=u -> y=x*u -> dy/dx=u+x*(du/dx) . (1-u^2)*(u+x*u')=2u => u+u^3=x*(1-u^2)*(du/dx) => ((1-u^2)/(u+u^3))*du=dx/x . Интегрируя правую и левую части находим решение относительно С - постоянной . Пусть ?
- знак интеграла . ?[dx/x]=?[(1-u^2)*du/(u*(1+u^2))]=A*?[du/u]+?[(C*u+D)*du/(1+u^2)] . A=(1-u^2)/(1+u^2)[при u=0]=1 . 1+(u^2)+C*(u^2)+D*u=1-(u^2) => {C=-2;D=0}. ?[dx/x]=?[du/u]-?[2udu/(1+u^2)] => Ln[C*x]=Ln[u]-Ln[1+u^2] => C*x=u/(1+u^2) . ОТВЕТ : C = y/(x^2+y^2) , где С - константа .
Есть ещё 1 способ решения - через интегрирующий множитель в уравнении полного дифференциала . (x^2 - y^2)dy=2xydx => 2ху*dy+(y^2-x^2)*dx=0=P(x;y)dx+Q(x;y)
dy Далее найдём часные производные dQ/dx и dP/dy . Через клавиатуру не набрать значки часной производной ... dQ/dx=-2x ; dP/dy=2x . Пусть t - интегрирующий множитель . t=exp{?[((dQ/dx)-(dP/dy))*dy/P(x;y)]}=exp{?[(-2x-2x)*dy/2xy]}=exp{-2*?[dy/y]}=> t=exp(-2*Ln[y])=1/(y^2)=t . Поделив правую и левую части исходного равенства на y^2 получаем уравнение в полных дифференциалах : (((х/y)^2)-1)*dy=2*(x/y)*dx . 2*(x/y)*dx + (1-((x/y)^2))*dy = 0 . Теперь частные производные будут равны между
собой и можно будет решить это уравнение как уравнение в полных дифференциалах . dQ/dx=-2x/(y^2)=dP/dy . P(x;y)=du/dx и Q(x;y)=du/dy - тут тоже имеются ввиду часные производные . U=?[P(x;y)*dx] + G(y) , вместо G обычно пишут греческое фи от игрек . U(x;y)=?2xydx+G(y)=y*(x^2)+G(y) . Далее находим часную производную du/dy и сравниваем её с Q(x;y) , так определится G(у) и , собственно , решение всего уравнения . du/dy=G'(y)+(x^2)=Q(x;y)=(y^2)-(x^2)
=> G'(y)=(y^2)-2*(x^2) . Интегрируем правую и левую части по У и находим G(y) . G(y)=(1/3)*(y^3)-2*y*(x^2)+C , C=const . U(x;y)=?2xydx+G(y)=y*(x^2)+G(y)=(1/3)*(y^3)-y*(x^2)+C . ОТВЕТ : U(x;y)=(1/3)*(y^3)-y*(x^2)+C . Надеюсь , что ответы разные только ввиду разных методов решения .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: Студент)
Ответ отправлен: 30.08.2008, 17:12 Оценка за ответ: 4
