Вопрос № 143242: Здраствуйте уважаемые эксперты, Помогите решить несколько математических задач, у самого неполучается :( Задачи в приложении. Очень хотелосьбы чтобы ктонибуть показал детальное решение данных задач, т.к. у самого неочень получается. Заранее ...Вопрос № 143256: Вот уже неделю решаю контрольную по математике и никак не получаеться решить один интеграл: 1) Найти неопределеного интеграл dx/(x-4)^2*(x^2+16)...
Вопрос № 143.242
Здраствуйте уважаемые эксперты, Помогите решить несколько математических задач, у самого неполучается :( Задачи в приложении. Очень хотелосьбы чтобы ктонибуть показал детальное решение данных задач, т.к. у самого неочень получается. Заранее Спасибо.
Приложение:
Отправлен: 06.09.2008, 22:05
Вопрос задал: Станислав (статус: 1-ый класс)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 2)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Станислав!
1. 1. Установим сходимость заданного ряда. Найдем сначала предел последовательности, составленной из членов ряда, то есть lim (n→∞) (2n-1)/(2^n).
Используя свойства пределов, представим этот предел в виде разности: lim (n→∞) (2n-1)/(2^n) = lim (n→∞) (2n)/(2^n) - lim (n→∞) 1/(2^n).
В полученной разности lim (n→∞) 1/(2^n) = 0. В самом деле, |1/(2^n) – 0| = |1/(2^n)| < ε при всех n > N = =
log(2) (1/ε).
Кроме того, lim (n→∞) (2n)/(2^n) = 2∙lim (n→∞) n/(2^n), а поскольку 1/(2^n) ≤ n/(2^n) ≤ 2/n (так как n/(2^n) /1/(2^n) = n ≥ 1, и 2/n - n/(2^n) = = [(2^(n+1) – n^2) / (n∙2^n)] > 0), и lim (n→∞) 1/(2^n) = 0, lim (n→∞) 2/n = 0, то по теореме о промежуточной переменной lim (n→∞) n/(2^n) = 0.
Следовательно, lim (n→∞) (2n
-1)/(2^n) = lim (n→∞) (2n)/(2^n) - lim (n→∞) 1/(2^n) = 0 (разность двух бесконечно малых последовательностей суть бесконечно малая последовательность). Необходимое условие сходимости ряда выполнено.
П
олучили последовательность частичных сумм. Теперь остается только найти аналитическое выражение для общего члена этой последовательности и его предел при n→∞. Но, увы, найти требуемое аналитическое выражение у меня не получилось…
2.1. При n=1 имеем 1^3 = 1, 1*(1+1)*(1+2)/3 = 1*2*3/3 = 2, и равенство не выполнятся.
При n=2 имеем 1^3 + 2^3 = 1 + 8 = 9, 2∙(2+2)∙(2+3)/3 = 2∙4∙5/3 = 40/3, и равенство снова не выполняется.
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Cкыбицкий Сергей Анатолийович! Это подинтегральное выражение разлагается на 3 , а может быть и на 4 простейшие дроби которые мы и будем интегрировать . Ещё можно вычислить этот интеграл с помощью вычетов , если нужен именно второй метод - отпишитесь , я напишу и второй . Решение этого интеграла практически сводится к нахождению коэфициентов А , В , С и D . INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = INT[A*dx/(x-4)^2] + INT[B*dx/(x-4)] + INT[(C*x+D)*dx/(x^2+16)] Приняв за х=4 найдём коэфициенты А и
В . А = 1/(x^2+16) = 1/(16+16) = 1/32 ; B = (1/(x^2+16))' = -2*x/(x^2+16)^2 = -2*4/(16+16)^2 = -8/(32*32) = -1/128 . Теперь составим равенство с помощью которого легко найдём оставшиеся коєфициенты С и D , приведя все 3 интеграла к общему знаменателю . A*(x^2+16) + B*(x-4)*(x^2+16) + (C*x+D)*((x-4)^2) = 1 . Раскрываем скобки и подставляем уже найденные коэфициенты А и В , далее групируем члены с одинаковыми степенями Х и помним что в результате должна о
статься только 1 . ((x^2)/32) + (1/2) - ((x^3)/128) + ((x^2)/32) - (x/8) +(1/2) + C*(x^3) - 8*C*(x^2) + 16*C*x + D*(x^2) - 8*D*x + 16*D = 1 . Поймите правильно что я в уме разложил (х-4)^2 = (x^2) - 8*x + 16 . Теперь обратим внимание на коэфициенты возле (х^3) , изначально в числителе есть только 1 и ни одного члена с какой бы то ни было степенью Х , поэтому в сумме коэфициенты возле любой степени Х должны равняться нулю , в том числе и Х в 3 степени , выводим члены с х^3 и их сумму приравниваем к нулю
: -((x^3)/128) + C*(x^3) = 0 = (x^3)*(C-(1/128)) => C = 1/128 . Далее находим члены с нулевой степенью Х ( то есть свободные члены , не перемноженые на Х , Х^0=1) : (1/2)+(1/2)+16*D=1 => D=0 . Из всех коэфициентов проще всего было определить D . Теперь возвращаемся к начальному равенству и легко находим 3 неопределёёных интеграла , их сумма и будет решением заданого интеграла , только не забудем дописать константу С так как искомый интеграл неопределённый
. Простые коэфициенты выносим за знак интеграла . INT[A*dx/(x-4)^2] = (1/32)*INT[dx/(x-4)^2] = -1/(32*(x-4)) . INT[B*dx/(x-4)] = (-1/128)*INT[dx/(x-4)] = (-1/128)*Ln[x-4] , тут логарифмическое выражение пишем в модуле , а не в скобках ... INT[(C*x+D)*dx/(x^2+16)] = (1/128)*INT[(x+0)*dx/(x^2+16)] = (1/256)*INT[2*x*dx/(x^2+16)] = = (1/256)*Ln[x^2+16] = (1/128)*Ln[sqrt(x^2+16)] , тут знак модуля не сильно нужен так как сумма квадратов будет больше нуля кроме случая комплексных чисел , где х больше
4i по модулю , і=sqrt(-1) . sqrt - корень квадратный . Ну вот и всё , теперь осталось только сложить полученные интегралы . INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = (-1/(32*(x-4))) + (-1/128)*Ln[x-4] + (1/128)*Ln[sqrt(x^2+16)] + С , С=const . Зная свойства логарифма можно немного сократить ответ . ОТВЕТ: INT[dx/(((x-4)^2)*(x^2+16)) = (-1/(32*(x-4))) + (1/128)*Ln[(sqrt(x^2+16))/(x-4)] + C . Р.S. Преподаватель будет счастлив узнать что в случае ненулевого коэфициен
та D у нас был бы ещё и 4 интеграл , который решился бы как (D/4)*arctg(x/4) . Успехов .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: Студент)
Ответ отправлен: 07.09.2008, 13:10
