Вопрос № 144327: Уважаемые, эксперты, помогите,пожалуйста, справиться с одной задачей по геометрии. Очень надеюсь на вашу помощь. Ребро куба равно a. Найти расстояние между диагональю куба и скрещивающимся с ней ребром....Вопрос № 144341: Здравствуйте, помогите пожалуйста доказать тригонометрическое тождество. 2arccos(квадратный_корень_из_(1+x)/2) = arccosx ...
Вопрос № 144.327
Уважаемые, эксперты, помогите,пожалуйста, справиться с одной задачей по геометрии. Очень надеюсь на вашу помощь.
Ребро куба равно a. Найти расстояние между диагональю куба и скрещивающимся с ней ребром.
Отправлен: 18.09.2008, 18:36
Вопрос задал: Daiger (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Daiger!
Предлагаю следующее решение.
Пусть в основании куба лежит квадрат ABCD, а верхней гранью является квадрат A1B1C1D1, причем точка A1 расположена над точкой A, точка B1 - над точкой B и т. д. Проведем в кубе диагональ, например, AC1, и найдем расстояние от нее до скрещивающегося с ней ребра, например, A1B1.
Через концы ребер AA1, AB, AD проведем плоскость и рассмотрим, в каком отношении она делит диагональ AC1. Диагональ AC1 лежит в плоскости AA1C1C. Построим прямую пересечения
этой плоскости с плоскостью BDA1. Вершина A1 - одна из точек этой прямой. Прямые AC и BD пересекаются в центре O квадрата ABCD. Это вторая точка пересечения плоскостей BDA1 и AA1C1C. Значит, указанные плоскости пересекаются по прямой A1O. Проводим эту линию и получаем точку M пересечения диагонали AC1 с плоскостью BDA1.
Из подобия треугольников AMO и C1MA1 (по углам) имеем: AM / C1M = AO / C1A1. Учитывая, что AO = AC / 2 = A1C1 / 2, получаем AM / C1
M = 1 / 2.
Прямая AC является проекцией наклонной AC1 на плоскость ABCD, поскольку C1C ⊥ ABCD. Грань ABCD - квадрат, значит, AC ⊥ BD. Отсюда по прямой теореме о трех перпендикулярах получаем, что AC1 ⊥ BD. Совершенно аналогично устанавливаем, что AC1 ⊥ BA1. Значит, AC1 ⊥ BDA1.
Из выведенного и доказанного выше следует, что расстояние между диагональю AC1 и скрещивающимся с ней ребром A1B1 равно расстоянию от точки M до точки A1. Но MA1^2 = AA1^2 - AM^2, AA1
= a, AM = AC1 / 3 = a√3 / 3, MA1^2 = a^2 - a^2 / 3 = (2/3) • a^2, MA1 = a•√(2/3).
Ответ: a•√(2/3).
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 20.09.2008, 20:11 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо огромное за столько подробное решение. Отлично.
Отправлен: 18.09.2008, 21:28
Вопрос задал: Daiger (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, alex145! Вобще есть табличная формула удвоения для обратных тригонометических функий . В частности для арккосинуса имеем : 2*arccosx = arccos(2*(x^2)-1) при x>=0 ( больше или равно 0 ) , 2*arccosx = Pi - arccos(2*(x^2)-1) при x<=0 . Только в нашем случае вместо простого х имеем sqrt((х+1)/2) ... Как известно arccos(-x)=Pi - arccosx и sqrt - корень квадратный . Докажем случай при х>=0 . 2*arccos(sqrt((1+x)/2)) = arccos(2*((1+x)/2)-1) = arccos(1+x-1) = arccosx . Так
же докажем тождество и при х<=0 . 2*arccos(sqrt((1-x)/2)) = Pi - arccos(2*((1-x)/2)-1) = (2*Pi) - arccos(1-x-1) = (2*Pi) - arccos(-x) = = Pi - Pi + arccosx = arccosx . Доказательства крайне элементарные поэтому у меня возникают сомнения : может быть , Вас попросят доказать , между делом , и формулу удвоения арккосинуса ? Как Вы должны знать arccos(cosx) = x npи 0<=x<=Pi . В нашем случае делаем замену х=соsу , тогда получим 2*arccos(cosy) =
arccos(2*((cosy)^2)-1) = arccos(cos(2*y)) => 2*y = 2*y . Это значит что тождество верное . При Pi<=x<=2*Pi доказательство такое же ввиду чётности косинуса .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: Студент)
Ответ отправлен: 19.09.2008, 05:31 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо за развёрнутый ответ.
