Вопрос № 142502: Уважаемые Знатоки и Эксперты! Помогите, пожалуйста, найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям: y"+y=4e^x, y(0)=4, y'(0)=-3 Я дошел до общего уравнения y=C1*e^cos(x)+C2*e^sin(...
Вопрос № 142.502
Уважаемые Знатоки и Эксперты! Помогите, пожалуйста, найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее условиям:
y"+y=4e^x, y(0)=4, y'(0)=-3
Я дошел до общего уравнения y=C1*e^cos(x)+C2*e^sin(x) и встал))) Заранее ОГРОМНОЕ спасибо!
Отправлен: 28.08.2008, 14:17
Вопрос задал: Grund (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Айболит
Здравствуйте, Grund! Давайте всё же начнём сначала . Вам следует указать что это линейное неоднородное дифференциальное уравнение 2 порядка с постоянными коэфициентами и правой частью специального вида . Преподаватель точно загрузиться ... Решение получается из 2 уравнений - обычно пишут у с линией и у со звёздочкой , тут пусть будет У(-) и У(*) соответственно . Для нахождения У(-) составляют характеристическое уравнение , в нашем случае получится : К^2 + 1 = 0 => K(1)=i , K(2)=-i . "i"
- комплексное число равное корню квадратному из (-1) . Отсюда получим уравнение У(-) . У(-)=С1*сosx+C2*sinx , где С1 и С2 - константы . У(*)= (X^r)*exp(альфа*х)*(С1*cos(бетта*x)+C2*cos(бетта*x)) , исходя из наших значений имеем альфа=1 , бетта=0 , r=0 - показывает сколько корней из У(-) совпало с У(*) . Итого имеем У(*)=А*ехр(х) , А - постоянная , ехр(х) - число е в степени х . Коэфициент А находим не пребигая к условию , используем формулу У"+Y=4*exp(x) .<
br>Y'=A*exp(x)=Y" => A*exp(x)+A*exp(x)=4*exp(x) => A=2 . Коэфициенты С1 и С2 найдём исходя из начального условия . Сначала запишем полученое решение , потом от него надо взять производную . У(х) = У(-) + У(*) = С1*сosx+C2*sinx+2*ехр(х) => Y'(x) = -C1*sinx + C2*cosx + 2*exp(x) . Подставив начальные условия получим систему из 2 уравнений относительно С1 и С2 , и найдём их . sin0=0 , cos0=1 , exp0=1 . Y(0) = 4 = C1*cos0 + C2*sin0 + 2*exp0 Y'(0) = -3 = -C1*sin0 + C2*cos0
+ 2*exp0 Получаем систему ... C1*1 + C2*0 + 2*1 = 4 => C1=2 -C1*0 + C2*1 +2*1 = -3 => C2=-5 Всё ! Теперь можно писать ответ . ОТВЕТ : У(Х) = 2*сos(x) - 5*sin(x) + 2*exp(x) .
--------- Творение Творца перенимает на себя качества Творца.
Ответ отправил: Айболит (статус: Студент)
Ответ отправлен: 28.08.2008, 15:36 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Всё верно! Не сообразил, что ДВА уравнения необходимы!
ОГРОМНОЕ СПАСИБО!!!
