Вопрос № 143540: Здравствуйте.Помогите решить задание: Привести уравнение кривой второго порядка F(x;y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax+By+C=0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x^2-2x-y+2=0; x-y=0...Вопрос № 143542: Здравствуйте Эксперты! Помогите решить интегралы: 1)Вычислить определенные интегралы а)<sub>√3</sub>∫<sup>√8</sup>dx/(х√(1+х<sup>2</sup>))
б)<sub>-1</sub>∫<sup>1</sup> х<sup> 2 </sup>*L<sup>(-x/2)</sup>dx ...
Вопрос № 143.540
Здравствуйте.Помогите решить задание: Привести уравнение кривой второго порядка F(x;y)=0 к каноническому виду и найти точки пересечения ее с прямой Ax+By+C=0. Выполните графическую иллюстрацию полученного решения. x^2-2x-y+2=0; x-y=0
Отправлен: 10.09.2008, 09:39
Вопрос задала: Kristinka (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Kristinka!
Выполним следующие преобразования: x^2 - 2x + 2 - y = 0, (x^2 - 2x + 4) - 4 + 2 - y = 0, (x - 2)^2 - y - 2 = 0, (x - 2)^2 = y + 2 (*). Получили уравнение параболы.
Чтобы найти точки пересечения параболы с прямой Ax + By + C = 0 (**), необходимо решить совместно уравнения (*) и (**). Например, из (*) получаем, что y = (x - 2)^2 - 2 (***) и подставляем в (**). Тогда имеем Ax + B((x - 2)^2 - 2) + C =0, Ax + Bx^2 - 2Bx + 2B + C = 0, Bx^2 + (A - 2B)x
+ (2B + C) = 0, D = (A - 2B)^2 - 4B(2B + C).
Если D > = 0, то прямая и парабола пересекаются в точках (x1; y1) и (x2; y2), причем x1 = [(2B - A) - sqrt ((A - 2B)^2 - 4B(2B + C))] / 2B, x2 = [(2B - A) + sqrt ((A - 2B)^2 - 4B(2B + C))] / 2B, y1 = (x1 - 2)^2 - 2, y2 = (x2 - 2)^2 - 2. Понятно, что при D > 0 имеется две точки пересечения, при D = 0 - одна.
Что касается графической иллюстрации, то увы... Технически невозможно для меня дать иллю
страцию в имеющемся текстовом редакторе. Однако, ясно, что парабола, определяемая уравнением (***) получается из параболы y = x^2 при параллельном переносе, при котором вершина параболы из точки (0; 0) переходит в точку (2; -2). Для иллюстрации возможных случаев пересечения с прямой можно провести три прямые с подобранными коэффициентами так, чтобы одна из них не пересекалась с параболой, вторая имела одну точку пересечения, а третья - две...
Успехов!
С уважением.
--------- Пусть говорят дела
Ответ отправил: Mr. Andy (статус: Практикант)
Ответ отправлен: 10.09.2008, 23:56
2)Вычислить или доказать расходимость не собственных интегралов а)-∞∫0dx/(х2+10) б)2∫10dx(3√((x-2)2))
Отправлен: 10.09.2008, 10:00
Вопрос задал: Opium (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Mr. Andy
Здравствуйте, Opium!
1а) Пусть x = 1/t, t = 1/x. Тогда dx = -dt/t^2, и нижний предел интегрирования при новой переменной равен 1/√3, а верхний равен 1/√8, и ∫(от √3 до √8) dx/(х√(1+х^2)) = ∫ (от 1/√3 до 1/√8) (-dt/t^2)•(1/(1/t))•(1/√(1/t^2 + 1)) = = - ∫(от 1/√3 до 1/√8) dt/√(t^2 + 1) = ∫(от 1/√8 до 1/√3) dt/√(t^2 + 1) = = ln |t + √(t^2 + 1)| (1/√8, 1/√3) = ln
√3 - ln √2 = ln √(3/2).
1б) Пусть u = x^2, dv = L^(-x/2) • dx. Тогда du = 2•x•dx, v = - (2 / ln L) • L^(-x/2), и применяя формулу интегрирования по частям, получаем ∫(от -1 до 1) x^2 • L^(-x/2) • dx = = - (2 / ln L) • x^2 • L^(-x/2) (-1; 1) + (4 / ln L) • ∫(от -1 до 1) x • L^(-x/2) • dx (*).
В свою очередь, повторно применяя интегрирование по частям, находим ∫
(от -1 до 1) x • L^(-x/2) • dx = = - (2 / ln L) • x • L^(-x/2) (-1; 1) + (2 / ln L) • ∫(от -1 до 1) L^(-x/2) • dx = = - (2 / ln L) • x • L^(-x/2) (-1; 1) - (2 / ln L)^2 • L^(-x/2) (-1; 1) = ... (**).
Как говорится, остальное - дело техники, поэтому предлагаю Вам самостоятельно, используя формулу Ньютона - Лейбница, найти, чему равно выражение (**) и, подставив полученное значение в формулу (*), снова применить формулу Ньютона - Лейбница и найти
искомый ответ.
2а) По определению ∫(от -∞ до 0) dx / (x^2 + 10) = lim (a → -∞) ∫(от a до 0) dx / (x^2 + 10) = = lim (a → -∞) ((1 / √10) • arctg (x / √10)) (a; 0) = = 0 - (1 / √10) • (п/2) = п / (2 • √10), то есть заданный несобственный интеграл сходится и равен п / (2 • √10).
