Вопрос № 102223: Линия задана уравнением r=r(q) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от q=0 до q=2П, придавая q значение через промежуток П/8;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат,...Вопрос № 102256: Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 2 задачи:
1. Пересекаются ли в одной точке прямые (далее следуют две системы):
{ 2x-3y=6 {2x-3y=6
{3x+y=9 и {x+2y=4
{x+4y=3 {x-5y=5
Проверить построением.
2. Решить систему :<b...Вопрос № 102293: Выполнить следующие действия над комплексными числами:
1)u+v; 2)u-v; 3)u*v; 4)u/v; 5)n-й корень, где n=3, а под корнем v; 6)v^5
u=5-9i; v=-7-2i...Вопрос № 102341: Привет всем!
Срочно нужна Ваша помощь! Завтра контрольная и "непонятой" осталась одна тема - "Пределы" :)
1) Доказать по определению, что при n->∞ lim(-1)<sup>n</sup>≠-1 и lim(2<sup>(-1)<sup>n</sup>*n</sup>X...
Вопрос № 102.223
Линия задана уравнением r=r(q) в полярной системе координат. Требуется: 1) построить линию по точкам, начиная от q=0 до q=2П, придавая q значение через промежуток П/8;
2) найти уравнение данной линии в прямоугольной декартовой системе координат, у которой начало совпадает с полюсом, а положительная полуось абцисс - с полярной осью;
3) по полученному уравнению определить, какая это линия
r=1/(5+7sin q)
Отправлен: 16.09.2007, 16:21
Вопрос задал: John5613 (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: kopfschwarz
Здравствуйте, John5613!
1. Строите по точкам график. Для вас даже расчитал:
0 : 0,200
п/8 : 0,130
п/4 : 0,101
3п/8 : 0,087
п/2 : 0,083
5п/8 : 0,087
3п/4 : 0,101
7п/8 : 0,130
п : 0,200
9п/8 : 0,431
5п/4 : 19,899
11п/8 : -0,682
3п/2 : -0,500
13п/8 : -0,682
7п/4 : 19,899
15п/8 : 0,431
2п : 0,200
Строить нужно так: проводите луч, соответствующий углу, и затем от его начала проводите отрезок длиной в значение функции. Если это значение отрицательно, то проводите отрезок в направлении, обратном направлению луча. (Поскольку рисунок я не могу прикрепить, то уж сами как-нибудь).
2. Уравнения перехода от полярной СК в ПДСК: x=r*cos(t); y=r*sin(t). Из второго уравнения находим sin(t)=y/r. Тогда исходное уравнение будет иметь вид r=1/(5+7y/r). Разделим обе его части на r. Получим 1=1/(5r+7y), откуда 5r+7y=1. Далее заметим, что x^2+y^2=r^2*cos^2(t)+r^2*sin^2(t)=r^2, откуда r=sqrt(x^2+y^2). Получили уравнение вида 5sqrt(x^2+y^2)=1-7y. Возведя обе части в квадрат и преведя подобные, получаем 25x^2-24y^2+14y=1.
3. А это есть уравнение гиперболы. Если выделить полный квадрат и ввести замену переменной (это сами сделаете - нетяжело), то и вовсе получим ее каноническое уравнение.
Ответ отправил: kopfschwarz (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 16.09.2007, 17:58 Оценка за ответ: 5
Отвечает: Джелл
Здравствуйте, John5613!
1) для i от 0 до 16 Qi = i*П/8, Ri = 1/(5+7sin(Qi))
Строить линию можно и в полярной системе координат, и - сначала перевести в декартовую систему.
Ссылка на рисунки: http://slil.ru/24863370
а здесь более подробный: http://slil.ru/24863382
Как известно, полярные и декартовы системы координат связаны
x = r*cos(q), y = r*sin(q)
И обратно r^2 = x^2 + y^2, sin(q) = y/sqrt(x^2+y^2)
Подставляем в наше уравнение r=1/(5+7sin q) => sqrt(x^2+y^2) = 1/[5+7*y/sqrt(x^2+y^2)] => 1 = 5*sqrt(x^2+y^2)+7y => 1-7y = 5*sqrt(x^2+y^2) => 1+49y^2-14y = 25x^2 + 25y^2 => 24y^2-14y+1 = 25x^2
Это гипербола.
Ответ отправила: Джелл (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 16.09.2007, 21:51 Оценка за ответ: 5
Вопрос № 102.256
Уважаемые эксперты! Помогите, пожалуйста, решить 2 задачи:
1. Пересекаются ли в одной точке прямые (далее следуют две системы):
{ 2x-3y=6 {2x-3y=6
{3x+y=9 и {x+2y=4
{x+4y=3 {x-5y=5
Проверить построением.
2. Решить систему :
{ax-3y=1
{ax-2y=2
Заранее огромное спасибо! Swallow.
Отправлен: 16.09.2007, 20:58
Вопрос задала: Ласточка (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 4)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Ласточка!
1.1. Первая система имеет решение (3;0):
из второго уравнения выразим y
y = 3x-9; (*)
подставим (*) в первое уравнение и получим
2x-3*(3x-9) = 6,
-7x+27 = 6,
-7x = -21,
x = 3;
подставив (*) в третье уравнение, получим тот же ответ:
x+4*(3x-9) = 3,
13x-36 = 3,
13x = 39,
x = 3.
Так как система имеет решение, значит, данные три прямые пересекаются в одной точке. Чертёж: http://rapidshare.com/files/56157374/ris_1_1.gif (12 КВ).
1.2. Вторая система не имеет решения.
Выразим x из второго уравнения:
x = 4-2y. (**)
Подставим (**) в первое уравнение и получим:
2*(4-2y)-3y = 6,
8-4y-3y = 6,
-7y = -2,
y = 2/7.
Подставив (**) в третье уравнение системы, получим другой ответ:
4-2y-5y = 5,
-7y = 1,
y = -1/7.
Значит, система не имеет решения и данные прямые не пересекаются в одной точке. Чертёж: http://rapidshare.com/files/56157377/ris_1_2.gif (11 КВ).
2. Выразим y из второго уравнения:
y = a/2*x-1.
Подставим в первое уранвение:
ax-3*(a/2*x-1) = 2,
-a/2*x+3 = 1,
-a/2*x = -2,
x = 4/a.
Видим, что при a=0 решений нет.
При a не равном нулю система имеет решение: x=4/a,
y = a/2*4/a-1 = 2-1 = 1.
Ответ: при a=0 решений нет; при a не равном нулю единственное решение: x=4/a, y=1.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 16.09.2007, 21:34 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Огромное спасибо за помощь в решении моих задач, Агапов Марсель! Только, к сожалению я не могу открыть четрежи на этом сайте(rapidshare.com)=(
Вопрос № 102.293
Выполнить следующие действия над комплексными числами:
1)u+v; 2)u-v; 3)u*v; 4)u/v; 5)n-й корень, где n=3, а под корнем v; 6)v^5
u=5-9i; v=-7-2i
Отправлен: 17.09.2007, 10:19
Вопрос задал: John5613 (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: kopfschwarz
Здравствуйте, John5613! Чувствую подружимся мы с вами :)
Здесь всё легко... Просто представляйте число i как какую-то переменную, но имея в виду то, что i^2=-1. Тогда
1) u+v = (5-9i)+(-7-2i) = 5-9i-7-2i = (5-7)+(-9i-2i) = -2-11i.
2) u-v = 5-9i-(-7-2i) = 5-9i+7+2i = 12-7i.
3) u*v = (5-9i)(-7-2i)=5*(-7)+5*(-2i)+(-9i)*(-7)+(-9i)*(-2i) = -35-10i+63i+18i^2 (а это есть -1, см.выше) = -35-18-10i+63i = -53+53i
4) Для того, что преобразовать дробь, нужно числитель и знаменатель умножить на число, сопряженное знаменателю (т.е. число есть a+bi, то сопряженное ему - a-bi и наоборот). Таким образом получаем u/v = (5-9i)/(-7-2i) = [(5-9i)(-7+2i)] / [(-7-2i)(-7+2i)]. Числитель преобразуйте сами (так же как и п.3), а знаменателе получите разность квадратов, а именно (-7-2i)(-7+2i) = (-7)^2-(2i)^2 = 49-4*i^2 = 49-4*(-1) = 49+4 = 53. Ну остается только число, полученное в числителе разделить на 53 (т.е. если в числителе будет
a+bi, то в итоге будет a/53+b/53*i)
6) v^5 = (-7-2i)^5 = (-1)^5*(7+2i)^5 = -(7+2i)^5 = -(7+2i)*((7+2i)^2)^2 = -(7+2i)*(49+28i-4)^2 = -(7+2i)*(45+28i)^2 = -(7+2i)*(2025+2520i-784) = -(7+2i)(1241+2520i) = -3647-20122i.
5) Тут текстом не обойтись... ближе к вечеро письмо с картинкой кину ;)
Ответ отправил: kopfschwarz (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 17.09.2007, 13:36
Вопрос № 102.341
Привет всем!
Срочно нужна Ваша помощь! Завтра контрольная и "непонятой" осталась одна тема - "Пределы" :)
1) Доказать по определению, что при n->∞ lim(-1)n≠-1 и lim(2(-1)n*n≠0
2) Доказать по определению, что последовательность {Xn} расходится: Xn=(-1)n...
Ответ нужен до 8 часов по московскому времени сегодня, а то потом уже будет поздно :-))
Желательно с пояснениями... Хотя бы минимальными.
Всем ответившим пятерки!
Спасибо заранее.
Отправлен: 17.09.2007, 15:57
Вопрос задал: LexXx (статус: Практикант)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 10)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, LexXx!
1. Допустим, предел данной последовательности равен -1. Тогда для любого положительного e существует такое N, что для любого n>N выполняется неравенство
|-1-(-1)^n| < e.
Но при чётном n разность -1-(-1)^n равна -2.
Если мы, например, возьмём e=1, то для любого чётного n |-1-(-1)^n| = 2 > e = 1. Множество чётных чисел не ограничено сверху, поэтому для любого N найдётся чётное n > N, для которого |-1-(-1)^n| > 1.
Следовательно, предел последовательности не равен -1.
2. Допустим, предел равен 0. Тогда для любого положительного e существует такое N, что для любого n>N выполняется неравенство |0-2^((-1)^n*n)| < e, или, что равносильно, 2^((-1)^n*n) < e.
Но при четном n 2^((-1)^n*n) = 2^n.
Если, например, возьмём e=1, то для любого чётного n 2^n > 2^0 = 1.
Множество чётных чисел не ограничено сверху, поэтому для любого N найдётся чётное n > N, для которого |0-2^((-1)^n*n)| = 2^n > 1.
Следовательно, предел последовательности не равен нулю.
Данный предел не существует (или говорят, что он равен плюс бесконечности), так как последовательность не ограничена: существуют члены, по модулю бОльшие любого наперёд заданного числа.
3. Допустим, последовательность {(-1)^n} сходится. Пусть она сходится к числу p. Тогда для любого положительного e существует такое N, что для любого n>N выполняется неравенство
|p-(-1)^n| < e.
Могут быть два случая: p>=0 или p<0.
3.1. Если p>=0.
При нечётном n разность p-(-1)^n равна p+1.
Если возьмём, например, e = p+0.5 > 0, то для любого N найдётся нечётное n > N, такое, что |p-(-1)^n| = p+1 > p+0.5 = e.
Значит, p не может быть >=0.
3.2. Если p<0.
При чётном n разность p-(-1)^n равна p-1.
Возьмём, например, e = -p+0.5 > 0. Тогда для любого N найдётся чётное n > N, такое, что |p-(-1)^n| = |p-1| = |-(-p+1)| = -p+1 > -p+0.5 = e.
Значит, p не может быть отрицательным.
Получили, что p не может быть ни положительным, ни отрицательным, ни нулём. Значит, предположение неверно. Предел не существует.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 9-ый класс)
Ответ отправлен: 17.09.2007, 17:00 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Благодарю! Особенно за решение второй задачи! Всего доброго!
Отвечает: kopfschwarz
Здравствуйте, LexXx!
Давайте вместе попробуем... Для начала вспомним, что называется пределом числовой последовательности.
Числа А называется пределом числовой последовательности {Xn}, если для любого положительного числа e (e>0) существует такой член с номером n0 последовательности, что все члены после которого удовлетворяют неравенству |A-Xn|<e. Фактически это означает следующее. Отметим на числовой прямой точку x=A и отметим ее некоторую окрестность. Так вот это определение означает, что если А есть предел, то рано или поздно абсолютно все члены этой последовательности будут попадать в это окрестность, и ни один не "выпадет"
из нее, т.е. все члены будут сгущаться около этой точки А. Но если для любой окрестности (пусть даже бесконечно малой) будет находиться какой-то член, который выпадет из нее, то число А уже не будет называться пределом.
Вот давайте с примером 1 разберемся. Нужно доказать, что число -1 не есть предел. Мы предположим противное. Пусть -1 - это предел этой последовательности. Тогда, по определению, начиная с некоторого номера n0, абсолютно все члены последовательности будут удовлетворять неравенству |-1-(-1)^n|<e. Раскроем это неравенство:
-e < -1-(-1)^n < e,
1-e < -(-1)^n < 1+e
-1-e < (-1)^n < -1+e
Если мы сейчас возьмем, например, е=0.1 (в определении ведь сказано, что можно брать любое положительное е), то получим неравенство
-1.1 < (-1)^n < -0.9
Так вот тут самое главное. Какой бы номер n0 мы не брали, то после него обязательно найдется четный номер, для которого Xn будет равно (-1)^n=1 (т.к. n - четное). И эта единичка не попадает в отрезок [-1.1;-0.9]. Таким образом, нарушено условие произвольности выбора е. Мы показали, что есть такое число е, для которого любая подпоследовательность "вылетит" из соответствующей окрестности. Таким образом, число -1 никак не может быть пределом последовательности.
Сразу же относительно пункта 2. Снова предположим, что какое число А будет пределом, то рано или поздно (по мере возрастание номера) должно будет выполняться условие |A-(-1)^n|<e для всех членов последовательности. Если провести аналогичные преобразования (см. выше), то можно получить
A-e < (-1)^n < A+e
Опять-таки же, какое бы число А мы ни брали, то всегда можно найти какую-нибудь очень маленькую окрестность этой точки такую, что или 1, или -1 не попадут в нее. Можете в этом сами убедиться. Изобразите на листе бумаги числовую прямую и отметьте две точки 1 и -1 на достаточном расстоянии друг от друга. Так вот теперь "тыкайте" по прямой концом карандаша. Куда бы вы не ткнули, то, наверняка, в радиусе 1мм от этого места не будет обоих точек. А это и означает, что какой-то член последовательности вылетел
из этой окрестности и число А тогда не является пределом. Так вот поскульку такое наблюдается для всякого А, то и никакое А не будет являться пределом. Последнее и означает отсутствие предела, т.е. расходимость последовательности.
Теперь относительно предела со степенью двойки. Мы снова должны найти такой номер n0, чтобы выполнялось неравенство в определении предела, а именно
|0-2^((-1)^n * n)|<e
но оно равносильно
2^((-1)^n * n) < e.
И опять, какой бы номер мы не брали, после него обязательно найдется четный номер, для которого Xn = 2^((-1)^n * n) = 2^n. Дальше, если мы обзаведемся некоторой окрестностью нуля (пусть даже очень большой), то все равно найдется некоторый член, равный 2^n, который выскочет за эту окрестность, ведь радиус этой окрестности у нас будет фиксированный (мы уже для какого-то наперед выбранного числа е будем искать номер), а член 2^n может быть сколь угодно большим. Таким образом, снова для какого бы ни было числа е
мы всегда сможем обнаружить (с какого бы номера мы ни начали) некоторый номер, который вылетит за окрестность 0. Таким образом, 0 не является пределом.
Надеюсь моя белеберда вам чем-то поможет, если вконец не запутает :) Если что, пишите сюда в мини-форум - разберемся :)
Ответ отправил: kopfschwarz (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 17.09.2007, 17:12 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Отлично! Большое Спасибо! Вы мне очень помогли... Сейчас буду разбираться :))) Желаю удачи!
