Вопрос № 101852: Задача 1
На плоскости отмечены 10 точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Задача 2
Из колоды в 36 карт выбирают три карты. какова вероятность что они в...
Вопрос № 101.852
Задача 1
На плоскости отмечены 10 точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Задача 2
Из колоды в 36 карт выбирают три карты. какова вероятность что они все пиковой масти?
Задача 3
Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?
Задача 4
В классе Пети и Васи 31 человек. Сколькими способами можно выделить футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Вася не входили в команду одновременно?
Задача 5
Монету подбрасывают 10 раз подряд. Какова вероятность того, что выпадет 5 орлов?
Задача 6
Сколькими способами можно переставить буквы в слове "эпиграф" так, чтобы и гласные, и согласные шли в алфавитном порядке?
Задача 7
Из колоды выбирают 10 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз?
Задача 8
Сколько существует шестизначных чисел, у которых по 3 четные и нечетные цифры?
Задача 9
На прямой отмечено 10, а на параллельной ей прямой 11 точек. Ск. существует треугольников с вершинами в этих точках?
Задача 10
Дано: 15 человек
а) Сколькими способами можно разбить команду из 15 человек на три команды по 5 человек в каждой?
б) Сколькими способами можно выбрать две команды по 5 человек в каждой?
Задача 11
На шахматную доску произвольным образом ставят три белые пешки. С какой вероятностью все они окажуться на одной горизонтали?
Задача 12
Ск. существует десятизначных чисел, сумма цифр которых равна 4?
Задача 13
Человек имеет 6 друзей и в течение 5 дней приглашает к себе в гости троих из них так, чтобы компания ни разу не повторялась. Сколькими способами он может это сделать?
Задача 14
Колоду из 36 карт делят пополам. Какова вероятность того, что в каждой пачке будет по два туза?
Задача 15
Как известно, для участия в лотерее "Спортлото" нужно указать 6 номеров из имеющихся на карточке 45. Ваня заполнил одну карточку. Какова вероятность того, что он угадает: а) все 6 номеров б) ровно 3 номера?
Задача 16
Лестница состоит из 7 ступенек, не считая верхней и нижней площадки. Спускаясь, можно перепрыгивать через несколько ступенек (даже через все 7). Сколькими способами можно спуститься по этой лестнице?
Задача 17
Докажите, что из n предметов четное число предметов можно выбрать 2^n-1 (2 в степени n-1) способами
Задача 18
Докажите, что Cn^0-Cn^1+Cn^2-...+(-1)^n x Cn^n=0
Задача 19
Сколькими способами 12 пятаков можно разложить по 5 различным кошелькам так, чтобы ни один кошелек не оказался пустым?
Задача 20
Сколькими способами можно разрезать ожерелье, состоящее из 30 попарно различных бусин на восемь частей (резвь можно только между бусинами)?
В почтовом отделении продаються открытки 10 видов. Сколькими способами можно купитьв нем: а) 12 открыток б) 8 открыток в) 8 различных открыток?
Задача 23
В кошельке лежит по 20 монет достоинством 10,15 и 20 копеек. Сколькими способами можно из этих 60 монет выбрать 20?
Задача 24
Сколькими способами можно расположить в 9 лузах 7 белых и 3 черных шара? Часть луз может быть пустой, а лузы считаються различными
Задача 25
Поезду, в котором находятся m пассижиров, предстоит сделать n остановок. а) Сколькими способами могут выйти пассажиры на этих остановках? б) Решите ту же задачу, если учитываеться лишь кол-во пассажиров, вышедших н каждой остановке
Отвечает: Piit
Здравствуйте, Dzirtdourden!
Ниже приведенные решения можно скачать в формате pdf по адресу www.mathauto.ru/temp/solve.pdf - все формулы в нормальном читабельном виде
Задача 2<br>
Из колоды в 36 карт выбирают три карты. какова вероятность что они все пиковой масти?<br>
Решение<br>
Три карты из 36 можно выбрать `n=C_36^3={36!}/{3!(36-3!)}=7140` способами. Всего пик в 36 картах: от шестерки до 10 - 6,7,8,9,10 - 5; от вальта до туза - валет,дама,король,туз - 4. Итого пик 5+4=9. Нам из 9 пик надо выбрать 3 пики (т.к. по условию выбираем три карты и они должны быть пиками). Это можно сделать `m=C_9^3=84` способами. По классическому определению вероятности, искомая вероятность равна `P(A)=m/n=84/7140=1/85`. <br>
Ответ: `1/85`<br>
<br>
Задача 3<br>
Рота состоит из 3 офицеров, 6 сержантов и 60 рядовых. Сколькими способами можно выделить из них отряд, состоящий из офицера, двух сержантов и 20 рядовых?<br>
Решение<br>
Одного офицера из 3 имеющихся можно выбрать `A_1=3` способами, 2 сержантов из 6 - `A_2=C_6^2=15` способами, 20 рядовых из 60 - `A_3=C_60^20=4191844505805495`. По теореме умножения получим число способов, которыми можно сформировать отряд `m=A_1*A_2*A_3=3*15*4191844505805495=188633002761247275`. Всего нам надо выбрать 1+2+20=23 человека из 3+6+60=69. Это можно сделать `n=C_69^23=1202936975833188960` способами. Искомая вероятность по классическому определению равна `P(A)=m/n=188633002761247275/1202936975833188960=140502285/896001184~~0,157`<br>
Ответ: 0,157<br>
<br>
Задача 5<br>
Монету подбрасывают 10 раз подряд. Какова вероятность того, что выпадет 5 орлов?<br>
Решение<br>
Вероятность появления орла равна `p=1/2`, другой стороны монеты - `q=1-p=1/2`. По формуле Бернулли 5 орлов выпадет с вероятностью `P_10(k=5)=C_10^5p^5q^5=63/256~~0,2461`<br>
Ответ: 0,2461<br>
<br>
Задача 7<br>
Из колоды выбирают 10 карт. Какова вероятность того, что среди них окажется хотя бы один туз?<br>
Решение<br>
Всего карт 36, тузов - 4. Найдем вероятность того, что из выбранных 10 карт не будет ни одного туза (событие В). Всего 36-4=32 карты без тузов. Тогда `P(B)={C_32^10}/{C_36^10}=2990/11781~~0,2538`. Тогда искомая вероятность равна `P(A)=1-P(B)=1-2990/11781=8791/11781~~0,746`<br>
Ответ: 0,746<br>
Удачи!
--------- От алгоритмов к суждениям + самообучение
Ответ отправил: Piit (статус: 8-ой класс)
Ответ отправлен: 13.09.2007, 14:24 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо за решение
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Dzirtdourden!
Вот ещё несколько решений (в дополнение к ответу на вопрос №101850).
11. Первая пешка обязательно попадёт на какую-то горизонталь. Значит, нам надо подсчитать p - вероятность того, что на эту же горизонталь попадут и две другие пешки. После первой пешки на доске осталось 63 свободные клетки, в т.ч. 7 - на одной с ней горизонтали, а после попадания второй пешки на эту горизонталь на доске останется 62 свободные клетки, в т.ч. 6 на одной с ними горизонтали. Поэтому
p = 7/63*6/62 = 1/93.
Ответ: 1/93.
12. Сумма 4 может получиться из десяти слагаемых следующими способами (с точностью до порядка слагаемых):
4 = 4+0+0+0+0+0+0+0+0+0 = 3+1+0+0+0+0+0+0+0+0 = 2+2+0+0+0+0+0+0+0+0 = 2+1+1+0+0+0+0+0+0+0 = 1+1+1+1+0+0+0+0+0+0.
Число не может начинаться с нуля, поэтому:
12.1. если первая цифра 4, то число одно;
12.2. если первая цифра 3, то оставшуюся единицу можно поместить в любой из девяти младших разрядов, т.е. чисел получается девять;
12.3. если первая цифра 2, то
12.3.1. оставшуюся двойку можно поместить в любой из девяти младших разрядов, получим девять чисел;
12.3.2. две единицы можно разместить в девяти младших разрядах P(2,7)=9!/(2!*7!)=36 способами;
12.4. если первая цифра 1, то
12.4.1. оставшуюся тройку можно разместить в девяти младших разрядах девятью способами;
12.4.2. двойку и единицу можно разместить в девяти младших разрядах 9*8=72 способами;
12.4.3. три единицы можно разместить в девяти младших разрядах P(3,6)=9!/(3!*6!)=84 способами.
Итого получаем 1+9+(9+36)+(9+72+84)=220 чисел.
Ответ: 220 чисел.
16. На любую из ступенек можно либо наступить, либо её перепрыгнуть, т.е. получаем множество упорядоченных последовательностей длины 7, состоящих их "наступил" и "перепрыгнул". Всего таких последовательностей 2^7=128.
Ответ: 128 способов.
19. Предполагается, что пятаки неотличимы друг от друга.
Так как все кошельки должны быть непустыми, то положим в каждый по одному пятаку, а оставшиеся 7 пятаков разложим по кошелькам произвольным образом.
Первый из оставшихся пятаков можно положить в любой кошелёк, значит, имеется 5 способов. Аналогично для всех оставшихся пятаков. Всего получаем 5*5*5*5*5*5*5=5^7=78125 способов.
Ответ: 78125 способов.
21. Если бросать кубики по одному, результат от этого не изменится (число, выпавшее на одном кубике никак не влияет на число, выпавшее на любом другом кубике). Пусть числа выпали в следующем порядке: 1 десять раз подряд, 2 десять раз подряд, 3 десять раз подряд, 4 десять раз подряд, 5 десять раз подряд, 6 десять раз подряд. Вероятность этого равна p=(1/6)^60.
Перестановок с повторениями длины 60 состава (10,10,10,10,10,10) существует ровно
P(10,10,10,10,10,10) = 60!/(10!*10!*10!*10!*10!*10!).
Значит, искомая вероятность равна
p*P(10,10,10,10,10,10) ~~ 0.00075.
Ответ: ~~0.00075
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 7-ой класс)
Ответ отправлен: 13.09.2007, 15:25 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: спасибо за решение
Отвечает: Serega1988
Здравствуйте, Dzirtdourden!
Задача 1
N=10*9*8=720(1-ую точку выбираем 10 способами, 2-ую 9, 3-ью 8, т.к. никакие 2 не лежат на 1 прямой:только поэтому!!!!)
Задача 15
A)N=(45*44*43*42*41*40)/(6*5*4*3*2*1)
Задача 17
это выражение не выполняется для n=3(1,2,3 предметы - способы 1и2 1и3 2и3 =3способа, по вашей формуле 4)
--------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время
Ответ отправил: Serega1988 (статус: 3-ий класс)
Ответ отправлен: 13.09.2007, 23:10 Оценка за ответ: 4
Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Dzirtdourden!
Задача 1
На плоскости отмечены 10 точек, причем никакие три не лежат на одной прямой. Сколько существует треугольников с вершинами в этих точках?
Решение:
1 способ, на пальцах: Перенумеруем точки от 1 до 10. Первую вершину треугольника мы можем выбрать 10 способами, вторую – 9ю, третью – восемью. Итого 10*9*8=720 способов. Но поскольку треугольник АВС – это еще и треугольник АСВ, ВАС и т.д. то получается, что один и тот же треугольник мы выбираем 6 способами. То есть разных треугольников у нас всего 120.
2 способ, формулами:
Как известно, количество разных наборов по k штук из общего количества n штук равно "С-из-n-по-k" = n!/[k!(n-k)!]
То есть в нашем случае k=3, n=10, число треугольников = 120.
Задача 4
В классе Пети и Васи 31 человек. Сколькими способами можно выделить футбольную команду (11 человек) так, чтобы Петя и Вася не входили в команду одновременно?
Решение:
Всего способов набрать команду "С-из-31-по-11". При этом Петя и Вася будут входить в нее в "С-из-11-по-2" случаях, а не входить одновременно – в остальных [С-из-31-по-11] – [С-из-11-по-2] случаях.
Ответ: 4031960 способов
Задача 8
Сколько существует шестизначных чисел, у которых по 3 четные и нечетные цифры?
Решение:
Первая цифра четная в 4 случаях, нечетная – в 5 (из 9 возможных), все остальные цифры (не)четные в 5 случаях из 10 возможных. Если первая цифра четная, то нам остается выбрать только 2 четные цифры из 5 оставшихся, это C5^2 случаев, и в каждом случае 5 вариантов выбора цифры на каждую позицию цифры в числе (то есть если первая четная (это 4 случая), вторая четная (это 5 случаев), третья четная (5 случаев), то четвертая, пятая и шестая должны быть уже нечетной (это по 5 случаев), всего = 4*5*5*5*5*5 = 12500,
а таких 10 случаев), то есть всего получается 4*C5^2*5^5 = 125000. Если первая цифра нечетная, то нам надо выбрать 3 цифры из 5 => C5^3, всего получается 5*10*5^5= 156250.
Итого 281250 случаев.
Задача 18
Докажите, что Cn^0-Cn^1+Cn^2-...+(-1)^n x Cn^n=0
Решение:
n=1 Cn^0-Cn^1 = 0 верно.
Воспользуемся тождеством Cn^i = C(n-1)^i + C(n-1)^(i-1) (действительно, (n-1)!/[i!*(n-1-i)!] + (n-1)!/[(i-1)!*(n-i)!] = (n-1)!/[(i-1)!*(n-1-i)!]*{ 1/i + 1/(n-i)} = (n-1)!/[(i-1)!*(n-1-i)!]*n/[i*(n-i)] = n!/[i!*(n-i)]).
Тогда каждое слагаемое (кроме первого и последнего) в требуемом неравенстве можно разбить на 2, первое Cn^0 заменить на равное ему C(n-1)^0, а последнее на соответственно -...+(-1)^n x C(n-1)^(n-1) => Cn^0-Cn^1+Cn^2-...+(-1)^n x Cn^n = C(n-1)^0 – [C(n-1)^1 + C(n-1)^0] + [C(n-1)^2 + C(n-1)^1] -...+ -...+(-1)^ n * [C(n-1)^ ((n-1)-1) + C(n-1)^ (n-1)] + -...+(-1)^n * C(n-1)^ (n-1). Видим, что соответствующие слагаемые сокращаются и взаимно уничтожаются, в результате получается 0.
Ответ отправила: Джелл (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 16.09.2007, 07:39
