Вопрос № 100971: Здраствуйте, умы России!
Страна на Вас держится))))
В общем третий день в универе - и уже проблемы!
Задали нам задачи на дом, а тут такое дело - не знаю как решаются, даже идеи нет:
1. Как возвести квадратную матрицу 2x2 в n-ную степе...
Вопрос № 100.971
Здраствуйте, умы России!
Страна на Вас держится))))
В общем третий день в универе - и уже проблемы!
Задали нам задачи на дом, а тут такое дело - не знаю как решаются, даже идеи нет:
1. Как возвести квадратную матрицу 2x2 в n-ную степень?
2. Как сделать тоже самое, если вместо чисел там тригонометрические функции?
3. Как возвести матрицу с главной диагональю n-ной длины в n-ную степень (элементы главной диагонали обозначены переменными с индексами 1->n) если элементы вне главно диагонали равны нулю?
Прошу помогите, мож где есть литературка, мож автора скажите где это написано для тупых!
Спасибо!
Отправлен: 05.09.2007, 19:54
Вопрос задал: Newjew (статус: Студент)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 3)
В общем случае: просто умножить единичную матрицу на заданную n раз. Можно поискать закономерность и выразить ее, как функцию от n.
Точно также. Сумма произведений элементов. Тригонометрические функции — это алгебраические выражения. С ними оперировать, я думаю, вы умеете. Скорей всего, полученное выражение свернется в функцию от, например, двойного аргумента. Например:
(cos kx | sin kx)
(–sin kx | cos kx)
умножить на
(cos x | sin x)
(–sin x | cos x)
будет равняться
(cos (k+1)x | sin (k+1)x)
(–sin (k+1)x | cos (k+1)x)
Путь элементы главной диагонали будут a1..an, тогда такая матрица в степени n будет представлять из себя матрицу, у которой главная диагональ будет состоять из элементов a1n, a2n, ..., ann. Доказывается по методу математической индукции.
--------- Не узнаешь - не попробуешь.
Ответ отправил: Сухомлин Кирилл Владимирович (статус: Специалист)
Ответ отправлен: 05.09.2007, 20:09 Оценка за ответ: 4 Комментарий оценки: 2, 3 - Огромнейшее спасибо!!!! А вот для 3-го есть где нибудь доказательство, а то наш препод придирается! 1 - Думаете, не искал, но выходит что такой закономерности нет, во всяком случае у меня!
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Newjew!
1. Сначала объясню правило умножения матриц (мне кажется, вы этого не знаете) на примере квадратных матриц 2х2.
a b k p ak+bm ap+bn
c d * m n = ck+dm cp+dn
Чтобы получить 2-ю степень матрицы, нужно её умножить саму на себя; 3-я степень - это произведение матрицы на её 2-ю степень; 4-я степень - произведение матрицы на её 3-ю степень и так далее.
2. Если вместо чисел a, b, c, d, k, p, m, n даны тригонометрические функции, порядок деёствий тот же. Кроме того, после нахождения 2-й степени можно упростить выражения, использовав тригонометрические тождества, а уже потом начать считать 3-ю степень; упростить выражения в 3-й степени матрицы, и приступить к вычислению 4-й степени и т.д. Но это нужно лишь для того, чтобы получающиеся выражения не были слишком громоздкими.
3. Если у матрицы все элементы вне главной диагонали нулевые, то возведение в степень производится очень просто: надо только возвести в n-ю степень каждый элемент диагонали, и получим n-ю степень матрицы.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 05.09.2007, 21:20
Отвечает: Джелл
Здравствуйте, Newjew!
(Отвечаю уже с учетом ваших вопросов в минифоруме)
Суть таких задач (со степенью n) в том, чтобы возвести матрицу в квадрат, затем в куб, затем в 4 степень, уловить получающуюся закономерность и вывести общую формулу. Можно ручками, можно на машине.
Вопрос такой: вы принцип математической индукции уже проходили, или нет? С помощью этого принципа легко обосновать, что эта выведенная формула и есть требуемая. А вот если без него... ну попробуем )
ваша матрица
(2 | -1)
(3 | -2)
Умножаем ее на себя, получаем
(2 | -1)^2 = (1 | 0)
(3 | -2) (0 | 1)
То есть единичную матрицу. Получается, что куб этой матрицы - снова она сама же, 4я степень - снова единичная матрица, и так далее.
Отсюда ответ: если n - нечетно, то матрица в степени n - снова она сама, если четно - то единичная матрица.
2) вышеуказанный принцип годится для любых матриц, в том числе и для тех, у кого вместо чисел стоят тригонометрические функции. Умножаете, подмечаете закономерность, выводите общую формулу...
3) Как доказать? Без принципа матиндукции - никак. Ну то есть можно конечно на пальцах: возвести в квадрат, получить матрицу, у которой в главной диагонали стоят квадраты диагональных элементов, возвести матрицу в куб - получить матрицу, у которой по диагонали - кубы, и так далее. И сказать, что и дальше то же самое. Но это строго говоря, не доказательство.
Принцип матиндукции (если кратенько) заключается в следующем:
0) Утверждаем, что для всех n >= n-нулевого выполняется некая общая формула (в нашем случае, что диагональная матрица в степени n есть матрица, по диагонали которой стоят исходные диагональные элементы в степени n, а все остальные элементы = 0). Это - утверждение индукции.
1) убеждаемся, что для каких-то частных случаев (то есть для n-нулевого) выполняется некая закономерность. Ну вот как у нас, например, в случае возведения матрицы в степень.
Это так называемая база индукции, и здесь нужно быть очень аккуратным: мало ли, может, это просто совпадение. Неправильно взятая база приводит к противоречиям.
Ну, в нашем случае все чисто. Для n=1,2,3 все выполняется. То есть у нас n-нулевое = 0.
И переходим ко второму шагу матиндукции:
2) утверждаем, что для какого-то k наша формула выполняется, то есть диагональная матрица в степени k есть диагональная матрица с элеменами а1^k,а2^k,...,аn^k
3)если мы сумеем на основе этого утверждения доказать, что тогда и для k+1 наша формула справедлива, то тем самым будет доказано общая формула.
то есть требуется в общую формулу вместо n подставить k+1 - получим то, что надо доказать. Затем взять наше утверждение для k и попытаться перевести его к степени k+1.
Я вас еще не запутала? ;) К этому надо просто привыкнуть. Решить пару-тройку задач на матиндукцию, понять и привыкнуть...
Итак, решаем: попробуем перейти к k+1. У нас есть матрица в степени k. Чтобы перейти к степени k+1 нужно эту матрицу еще раз умножить на начальную. Умножаем... Получаем - то, что надо! матрицу, по диагонали которой стоят элементы в степени k+1.
Принцип матиндукции выполнен, следовательно, наша формула верна для любого n.
Ответ отправила: Джелл (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 06.09.2007, 09:28 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Качественный ответ и без оценки ясен, комментировать больше нечего, завтра надеюсь сдам!
