Вопрос № 101314: Привет всем!
Помогите пожалуйста доказать с помощью метода математической индукции такой пример: а<sup>n+1</sup>-b<sup>n+1</sup>=(a-b)*(a+b)<sup>n</sup>.Дохожу до этого момента и не знаю, что дальше делать: а<sup>2</sup>*а<sup>n</sup>-b<sup>2</su...
Вопрос № 101.314
Привет всем!
Помогите пожалуйста доказать с помощью метода математической индукции такой пример: аn+1-bn+1=(a-b)*(a+b)n.Дохожу до этого момента и не знаю, что дальше делать: а2*аn-b2*bn=(а2-b2)*(a+b)n...
Спасибо заранее!
Отправлен: 08.09.2007, 18:26
Вопрос задал: LexXx (статус: Практикант)
Всего ответов: 3 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 1)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, LexXx!
Ваш пример доказать не получится, так как он не истинный.
Это равенство выполняется только для n=1, а уже начиная с n=2 оно становится неверным.
Пусть n=2, тогда согласно вашему примеру должно быть a^3-b^3 = (a-b)*(a+b)^2. Однако, если раскроем скобки в правой части, получим a^3+a^2*b-a*b^2-b^3, что, конечно же, не равно a^3-b^3. Точно так же и для n=3. Дальше я уже не стал проверять.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 08.09.2007, 18:43
Отвечает: Джелл
Здравствуйте, LexXx!
Вообще-то приведенная вами формула неверна. Проверьте хотя бы на третьей степени: a^3-b^3 = (a-b)*(a^2+ab+b^2)
Правильная формула: a^(n+1) - b^(n+1)=(a-b)*Сумма(a^i*b^(n-i)), где i пробегает значения от 0 до n
Доказательство:
База индукции: n=1 => a^2 -b^2 = (a-b)*(a+b)
n=2 => уже приведенный пример с разложением кубов.
Индукционное предположение: пусть для k>1 выполняется a^(k+1) -b^(k+1) =(a-b)*Сумма(a^i*b^(k-i)), где i пробегает значения от 0 до k
Индукционный переход: Попробуем доказать, что в таком случае, и для k+1 верна формула, то есть, что a^(k+2) -b^(k+2) = (a-b) *Сумма(a^i*b^(k+1-i)), где i пробегает значения от 0 до (k+1)
Доказательство:
Прибавим и отнимем к левой части формулы b*a^(k+1), затем сгруппируем члены:
a^(k+2) - b^(k+2) = a*a^(k+1) - b*b^(k+1) = a*a^(k+1) - b*a^(k+1) + b*a^(k+1) - b*b^(k+1) = (a-b)*a^(k+1) + b*(a^(k+1) - b^(k+1))
Подставляем нашу уже известную формулу => правая часть получившегося выражения равна (a-b)*a^(k+1) + b*(a-b)* Сумма(a^i*b^(k-i))
Выносим общий множитель (a-b) за скобку, а b вносим под знак суммы =>
a^(k+2) - b^(k+2) = (a-b)*(a^(k+1) + Сумма(a^i*b^(k-i+1)), где i пробегает значения от 0 до k
Но в последней скобке a^(k+1) можно внести под знак суммы - это будет последнее слагаемое, при i = k+1, и при внесении поменяются пределы суммирования.
Получаем требуемую формулу.
Что и требовалось доказать.
Ответ отправила: Джелл (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 08.09.2007, 19:53
Отвечает: Serega1988
Здравствуйте, LexXx!
а^(n+2) - b^(n+2)= (а^(n+1)-b^(n+1)) *(a+b)
Легко проверить, раскрыв в правой части скобки.
Далее, надеюсь, проблем не возникнет.
--------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время
Ответ отправил: Serega1988 (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 10.09.2007, 02:47
