Вопрос № 100344: В общем такая задача:написть уравнение ортогональной проекции прямой (х-4)/3=(у+1)/-2=z/4 на плоскость х-3у-z+8=0.Заранее благодарю....
Вопрос № 100.344
В общем такая задача:написть уравнение ортогональной проекции прямой (х-4)/3=(у+1)/-2=z/4 на плоскость х-3у-z+8=0.Заранее благодарю.
Отправлен: 31.08.2007, 12:31
Вопрос задал: Koster (статус: Посетитель)
Всего ответов: 1 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Koster!
Если прямая перпендикулярна плоскости, то её ортогональной проекцией будет точка - точка их пересечения. Данная прямая не перпендикулярна плоскости (направляющий вектор прямой (3,-2,4) не параллелен нормальному вектору плоскости (1,-3,-1)). Поэтому ход решения следующий: выберем на данной прямой две произвольные точки и составим уравнение плоскости k, проходящей через эти точки перпендикулярно данной плоскости; линия пересечения этих плоскостей будет искомой ортогональной проекцией прямой.
Найдём точку пересечения данной прямой и плоскости: решим систему уравнений
x-3y-z+8=0,
(x-4)/3=z/4,
(y+1)/-2=z/4.
Получим точку M(-5,5,-12). Направляющий вектор прямой имеет координаты (3,-2,4), поэтому точка N с координатами (-5+3,5+(-2),-12+4)=(-2,3,-8) лежит на прямой.
Пусть Ax+By+Cz+D=0 - плоскость k, проходящая через точки M, N, перпендикулярно плоскости x-3y-z+8=0. Тогда получаем систему уравнений
-5A+5B-12C+D=0, (точка M лежит в плоскости k)
-2A+3B-8C+D=0, (точка N лежит в плоскости k)
A-3B-C=0. (плоскости перпендикулярны)
Получаем решение: A=2B, C=-B, D=-7B. Пусть B=1, тогда уравнение плоскости k имеет вид 2x+y-z-7=0.
Искомая ортогональная проекция прямой - пересечение плоскостей x-3y-z+8=0 и 2x+y-z-7=0.
Если решим эту систему, то получим параметрическое уравнение проекции:
x=15-4t,
y=t,
z=23-7t.
Каноническое уравнение проекции имеет вид: (x-15)/(-4)=y/1=(z-23)/(-7).
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 5-ый класс)
Ответ отправлен: 31.08.2007, 13:47
