Вопрос № 101111: Здраствуйте, уважаемые математики!
Привыкайте, что я поселюсь в этой рубрике на ближайшие 4 года!
Так вот задачи на мат. индукцию (слава богу с матрицами разобрались)!
1. 1/2*3/4*...*(2n-1)/2n < 1/(2n+1)^1/2 - доказать неравенство
2. ...Вопрос № 101201: Помогите решить интеграл sqrt(x*x-4)/x по dx или подскажите, в какую сторону копать. Пробовал замену x=2/sin(t), но потом получается интеграл ctg^2(t) по dt - не знаю что с этим делать....
Вопрос № 101.111
Здраствуйте, уважаемые математики!
Привыкайте, что я поселюсь в этой рубрике на ближайшие 4 года!
Так вот задачи на мат. индукцию (слава богу с матрицами разобрались)!
1. 1/2*3/4*...*(2n-1)/2n < 1/(2n+1)^1/2 - доказать неравенство
2. n^(n+1) > (n+1)^n - то же самое!
Пожалуйста, помогите срочно, завтра сдавать! Пожалойста, кто может!
И если можно, есть ли какая нибудь книжка где именно примеры решения таких задач?
Спасибо, помогайте, на Вас только надежда!
Отправлен: 06.09.2007, 21:27
Вопрос задал: Newjew (статус: Студент)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Newjew!
1.
n=1: 1/2 < 1/sqrt(3) – истинное неравенство, т.к. 2 > sqrt(3);
пусть верно для n=k: 1/2*3/4*...*(2k-1)/2k < 1/sqrt(2k+1); (*)
докажем для n=k+1, т.е. докажем, что 1/2*3/4*...*(2k-1)/(2k)*(2k+1)/(2k+2) < 1/sqrt(2k+3);
умножим (*) на (2k+1)/(2k+2) и получим
1/2*3/4*...*(2k-1)/(2k)*(2k+1)/(2k+2) < (2k+1)/((2k+2)*sqrt(2k+1)) = sqrt(2k+1)/(2k+2); (**)
если докажем, что sqrt(2k+1)/(2k+2) <= 1/sqrt(2k+3), доказательство на этом завершится:
воспользуемся известным неравенством sqrt(a*b)<=(a+b)/2,
пусть a=2k+1, b=2k+3, тогда
sqrt(a*b) = sqrt(2k+1)*sqrt(2k+3),
(a+b)/2 = (2k+1+2k+3)/2 = 2k+2,
т.е.
sqrt(2k+1)*sqrt(2k+3) <= 2k+2,
разделим обе части неравенства на (2k+2)*sqrt(2k+3) и получим
sqrt(2k+1)/(2k+2) <= 1/sqrt(2k+3). (***)
а уже из (**) и (***) следует, что
1/2*3/4*...*(2k-1)/(2k)*(2k+1)/(2k+2) < 1/sqrt(2k+3).
Неравенство доказано.
2.
это неравенство выполняется, начиная с n=3: 3^4 > 4^3;
полное доказательство длинное, поэтому я не буду его целиком воспроизводить;
при вычислении предела limit{n->бесконечность}(1+1/n)^n доказывается, что (1+1/n)^n <= 3 (см., например, Шилов Г.Е. "Математический анализ. Части 1-2. Функции одного переменного", параграф "Основные теоремы о числовых последовательностях"; или - Банах С. "Дифференциальное и интегральное исчисление", параграф "Вычисление некоторых пределов. Число е"). Так как n>=3, а для n=3 неравенство мы проверили, то можем взять n>3, и тогда (1+1/n)^n <= 3 < n, или
(1+1/n)^n < n (при n>3), отсюда
((n+1)/n)^n < n;
умножим обе части на n^n и получим
(n+1)^n < n*n^n = n^(n+1),
что и требовалось доказать.
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 06.09.2007, 22:50 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо!
1. а) База индукции: n = 1 => 1/2 < 1/3^1/2 верно
б) Индукционное предположение: Пусть для k выполняется 1/2*3/4*...*(2k-1)/2k < 1/(2k+1)^1/2
в) Надо доказать, что и для k+1 верно 1/2*3/4*...*(2(k+1)-1)/2(k+1) < 1/(2(k+1)+1)^1/2, т.е. 1/2*3/4*...*(2k+1)/2(k+1) < 1/(2k+3)^1/2
Доказательство: Итак, у нас есть 1/2*3/4*...*(2k-1)/2k < 1/(2k+1)^1/2
Если умножим обе части неравенства на (2k+1)/2(k+1), то получим
1/2*3/4*...*(2k-1)/2k*(2k+1)/2(k+1) < (2k+1)/2((2k+1)^1/2)(k+1)
Слева - левая часть нашего неравенства, которое требуется доказать. То есть если мы докажем, что полученная правая часть (2k+1)/2((2k+1)^1/2)(k+1) < 1/(2k+3)^1/2, то тем самым докажем требуемое неравенство.
Итак, преобразуем полученное неравенство в эквивалентное: разделим числитель и знаменатель левой части на ((2k+1)^1/2)
(2k+1)^1/2)/2(k+1) < 1/(2k+3)^1/2
Перенесем все корни в левую часть, а все, что без корней - в правую
[(2k+1)(2k+3)]^1/2) < 2(k+1)
Возведем это неравенство в квадрат (поскольку k у нас > 0, то все множители положительные, и неравенства не нарушаются)
(2k+1)(2k+3) < 4(k+1)^2
=> 4k^2 + 8k +3 < 4k^2 +8k +4 - получили эквивалентное требуемому очевидно верное всегда неравенство!
Мы доказали индукционный переход.
По предположению матиндукции получаем, что для любого n>0 выполняется 1/2*3/4*...*(2n-1)/2n < 1/(2n+1)^1/2
Задача №2
n^(n+1) > (n+1)^n
а) база индукции: n=1,2 не годится, а вот начиная с n=3 индукционное предположение начинает выполняться, 3^4 = 81 4^3 = 64, 81 > 64
б) индукционное предположение: k^(k+1) > (k+1)^k, или, иными словами (разделив обе части неравенства на k^k),
k > (1+1/k)^k
в) индукционный переход: надо доказать, что для k+1 неравенство тоже верно. То есть что
k+1 > (1+1/(k+1))^(k+1)
Доказательство:
Т.к. 1+1/(k+1) < 1+1/k
=> (1+1/(k+1))^(k+1) < (1+1/k)^(k+1)
Разложим правую часть на сомножители
(1+1/k)^(k+1) = [(1+1/k)^k]*(1+1/k)
По индукционному предположению (1+1/k)^k < k
=> (1+1/k)^(k+1) < k*(1+1/k), т.е.
(1+1/k)^(k+1) < k+1
То есть пришли к требуемому утверждению:
(1+1/(k+1))^(k+1) < k+1
Итак, для любого n>2 выполняется неравенство
n^(n+1) > (n+1)^n
Ответ отправила: Джелл (статус: 4-ый класс)
Ответ отправлен: 07.09.2007, 15:31 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Жалко что я уже сдал!
Вопрос № 101.201
Помогите решить интеграл sqrt(x*x-4)/x по dx или подскажите, в какую сторону копать. Пробовал замену x=2/sin(t), но потом получается интеграл ctg^2(t) по dt - не знаю что с этим делать.
Отправлен: 07.09.2007, 15:38
Вопрос задал: Shb (статус: Посетитель)
Всего ответов: 2 Мини-форум вопроса >>> (сообщений: 0)
Отвечает: Агапов Марсель
Здравствуйте, Shb!
Попробуем замену t^2=x^2-4. Тогда x^2=t^2+4 и
2t*dt = 2x*dx = 2x^2*dx/x = 2(t^2+4)*dx/x,
т.е. dx/x = t*dt/(t^2+4).
Интеграл примет вид
integral(t*t*dt/(t^2+4)) = integral(t^2/(t^2+4)*dt) = integral(dt) - 4*integral(dt/(t^2+4)) = t - 4*1/2*arctg(t/2) + C = t - 2*arctg(t/2) + C.
Перейдём обратно к переменной x и получим
integral(sqrt(x^2-4)/x*dx) = sqrt(x^2-4) - 2*arctg(sqrt(x^2-4)/2).
Ответ отправил: Агапов Марсель (статус: 6-ой класс)
Ответ отправлен: 07.09.2007, 16:06 Оценка за ответ: 5 Комментарий оценки: Спасибо. Проблема решена.
Отвечает: Serega1988
Здравствуйте, Shb!
Правильно начали делать:
1.распишем ctg^2(t)=1/sin^2(t)-1
2.загоняем 1/(sin^2(t)) под dt=(-1) по d(ctgt), дальше проблемы посчитать, надеюсь, не составляет.
--------- Мы все ошибаемся. Одни много, другие всё время
Ответ отправил: Serega1988 (статус: 2-ой класс)
Ответ отправлен: 08.09.2007, 11:50
