Вопрос № 159336: 1)Доказать, что любой многочлен можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. 2)Доказать, что любую функцию, определенную на R, можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Такое представление единственное или нет?...
Вопрос № 159337: Здравствуйте! Помогите пожайлуста решить пример: Выполнить две итерации дихотомии поиска: <img src="http://rusfaq.ru/thumb.cgi?s=http://s42.radikal.ru/i098/0902/7b/06c15742cf7e.png&r=1&w=600"
border="0" class="pic"> на отрезке [1; 3]<...Вопрос № 159365: Помогите пожалуйста решить задачу! Даны диагонали параллелограмма d1= i - 2j + 3k; d2 {-1;2;-1}. Найти его площадь и длину одной из высот! ...
Вопрос № 159.336
1)Доказать, что любой многочлен можно представить в виде суммы четной и нечетной функций. 2)Доказать, что любую функцию, определенную на R, можно представить в виде суммы четной и нечетной функции. Такое представление единственное или нет?
Отвечает: Izmtimur
Здравствуйте, Филиппов Алексей Павлович! 1) Общее представление многочлена (полинома) степени n таково: Pn(x) - это сумма членов вида Ai*(x^i), где i меняется от 0 до n, Ai - некоторые коэффициенты (константы) Члены с четными степенями i - четные функции (в частности член A0*(x^0)=A0 - постоянная, четная функция), с нечетными степенями - нечетные функции. Так как сумма четных функций есть четная функция, а сумма нечетных функций - нечетная функция, то Qn(x) - сумма четных членов многочлена Pn(x),
т.е. сумма членов, для которых i представимо в виде 2*j (j - некоторое натуральное число или 0), будет четной функцией, а Rn(x) - сумма нечетных членов многочлена Pn(x), т.е. сумма членов, для которых i представимо в виде 2*j+1 (j - некоторое натуральное число или 0), будет нечетной функцией Однако Pn(x)=Qn(x)+Rn(x) - ч.т.д.
2) Если рассматривать данную задачу в контексте предыдущей, то можно обратиться к разложению функции в ряд Маклорена: F(x) - сумма
членов вида Fi(0)*(x^i)/i!, где i меняется от 0 до бесконечности, Ai - некоторые коэффициенты (константы), Fi(0) - значение производной i-го порядка от функции F(x) в точке 0, i! - факториал i Таким образом, если функция разложима в ряд Маклорена, то она (по сути) представима в виде многочлена (полинома) с бесконечным количеством членов и константным коэффициентом при i-ом члене вида Fi(0)/i!. Однако и такой ряд-полином можно представить (по аналогии с предыдущей задачей) в виде суммы двух степенных рядов,
в одном из которых все члены будут четными, а в другом - нечетными функциями, то есть в искомом виде F(x)=G(x)+H(x), где G(x) - четная, а H(x) - нечетная функция. Данное доказательство неприменимо для функций, не имеющих разложение в ряд Маклорена. Конечно, хотелось бы иметь "элементарное" доказательство данного факта. Представляю Вашему вниманию такое: Рассмотрим функции G(x)=(F(x)+F(-x))/2 H(x)=(F(x)-F(-x))/2 Их сумма равна F(x): G(x
)+H(x)=(F(x)+F(-x))/2 + (F(x)-F(-x))/2=F(x)/2+F(-x)/2+F(x)/2-F(-x)/2=F(x)/2+F(x)/2=F(x) С другой стороны, легко убедиться, что G(x) - четная функция, а H(x) - нечетная: G(-x)=(F(-x)+F(x))/2=(F(x)+F(-x))/2=G(x) H(-x)=(F(-x)-F(x))/2=-(F(x)-F(-x))/2=-H(x) Таким образом, функции G(x) и H(x) своим существованием подтверждают указанное в условии утверждение. Что касается вопроса, поставленного в п. 2, то тут ничего определенного сказать не могу. Интутитивно кажется, что разложение будет единственным
и иметь вид, показанный выше. Но строгого доказательства этого факта мне получить не удалось. P.S. Прошу прощения за "не совсем математические" обозначения производных i-го порядка.
Ответ отправил: Izmtimur (статус: 3-й класс)
Ответ отправлен: 04.02.2009, 14:50
Как сказать этому эксперту "спасибо"?
Отправить SMS
#thank 242892 на номер 1151 (Россия) | Еще номера >>
Вам помогли? Пожалуйста, поблагодарите эксперта за это!
Вопрос № 159.337
Здравствуйте! Помогите пожайлуста решить пример:
Выполнить две итерации дихотомии поиска: на отрезке [1; 3]
* Стоимость одного СМС-сообщения от 7.15 руб. и зависит от оператора сотовой связи.
(полный список тарифов)
** При ошибочном вводе номера ответа или текста #thank услуга считается оказанной, денежные средства не возвращаются.
*** Сумма выплаты эксперту-автору ответа расчитывается из суммы перечислений на портал от биллинговой компании.
